14
1.2 SUBESPAÇOS VETORIAIS
No exemplo 1 do item 1.1.3 nós mostramos que o R3, com as operações usuais, é um espaço vetorial. No
exemplo 4 do mesmo item nós mostramos que W, com as mesmas operações, é também um espaço vetorial. Entre-
tanto, podemos observar que W é um subconjunto de R3 que é, ele próprio, um espaço vetorial. Na verdade, ocorre
que dado um espaço vetorial V, é muitas vezes possível formar outro espaço vetorial usando um subconjunto W de
V e as operações de V. Como V é um espaço vetorial, as operações de soma e multiplicação por um escalar sempre
produzem um outro vetor de V. Agora, para que um subconjunto W de V seja um espaço vetorial, o conjunto W
deve também ser fechado para as operações de soma e multiplicação por um escalar. Ou seja, a soma de dois ele-
mentos de W tem que ser um elemento de W e a multiplicação de um elemento de W por um escalar tem que per-
tencer a W.
1.2.1 Definição.
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V, se valem as seguintes proprie-
dades:
(i) O vetor nulo de V está em W;
(ii) Se u W e v W então u + v W;
(iii) Se u W e R então u W.
Observações.
Alguns textos substituem a propriedade (i), nessa definição, pela suposição de que W não é vazio. Nesse caso (i)
pode ser deduzido de (iii). A melhor forma de verificar se W é subespaço é observando primeiro se ele contém o
vetor nulo de V. Se 0 está em W, então as propriedades (ii) e (iii) precisam ser verificadas. De outro modo, se 0
não está em W, então W não pode ser um subespaço e assim, as propriedades (ii) e (iii) não precisam ser verifica-
das;
A propriedade (ii) diz que W é fechado para a soma, ou seja, a soma de dois elementos de W é sempre um ele-
mento de W. E a propriedade (iii) diz que W é fechado para a multiplicação por um escalar, isto é, toda vez que um
elemento de W é multiplicado por um escalar, o resultado é um elemento de W;
É fácil ver que as oito propriedades da definição 1.1.1 continuam válidos em W. As propriedades A3 e A4 se-
guem do teorema 1.1.2 e da propriedade (iii) da subespaço. As outras seis propriedades são válidas para todos os
elementos de V, logo, em particular, são válidas para todos os elementos de W. Portanto, todo subespaço de um
espaço vetorial é ele próprio um espaço vetorial.
1.2.2 Exemplo. Consideremos, como no exemplo 2, item 1.1.4 desta unidade, o espaço vetorial V = R2 com as
operações (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 – 1, y1 + y2 – 1)
(x1, y1) = (x1 – + 1, y1 – + 1).
e os seguintes subconjuntos de V:
W1 = {(1, 1)} (lembre que (1, 1) = 0 de V)
W2 = {(x, x) R2 / x R}
W3 = V.
Verifiquemos que W1, W2 e W3 são subespaços vetoriais de V.
Sejam u = (1, 1) W1, v = (1, 1) W1 e R;
0 = (1, 1) W1;
