Baixe Telecurso 2000 - matematica -volume 1 e outras Notas de estudo em PDF para Teatro, somente na Docsity!
O Telecurso 2000 é uma proposta de educa- ção a distância para dar atendimento, prioritariamenteprioritariamenteprioritariamenteprioritariamenteprioritariamente, a jovensjovensjovensjovensjovens e adultosadultosadultosadultosadultos que desejam fazer o curso ou complementar sua escolaridade até o nível de 2∫ Grau, bem como adquirir competências básicas para o exercício de uma profissão. No Telecurso 2000, o participante tem a oportunidade de adquirir conheci- mentos gerais correspondentes ao ensino de 3™ à 8™ séries do 1∫ Grau, às três séries do 2∫ Grau e, ainda, conhecimentos específicos relativos aos Cursos Profis- sionalizantes. Constitui-se, também, numa possibilidade de reciclagem para os professo- res e num reforço à aprendizagem dos participantes de modo geral, dentro da perspectiva de um processo permanente de educação.
Quais s„o as disciplinas
No Telecurso 2000, as disciplinas curriculares apresentam esta estrutura:
1º1º1º1º1º GRAUGRAUGRAUGRAUGRAU 11111 ™ FASEFASEFASEFASEFASE - ---- LÍNGUALÍNGUALÍNGUALÍNGUALÍNGUA PORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESA ,,,,, MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA EEEEE HISTÓRIAHISTÓRIAHISTÓRIAHISTÓRIAHISTÓRIA 22222 ™ FASEFASEFASEFASEFASE - ---- LÍNGUALÍNGUALÍNGUALÍNGUALÍNGUA PORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESA ,,,,, MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA EEEEE CIÊNCIASCIÊNCIASCIÊNCIASCIÊNCIASCIÊNCIAS 33333 ™ FASEFASEFASEFASEFASE - ---- INGLÊSINGLÊSINGLÊSINGLÊSINGLÊS ,,,,, MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA ,,,,, CIÊNCIASCIÊNCIASCIÊNCIASCIÊNCIASCIÊNCIAS EEEEE GEOGRAFIAGEOGRAFIAGEOGRAFIAGEOGRAFIAGEOGRAFIA 2º2º2º2º2º GRAUGRAUGRAUGRAUGRAU 11111 ™ FASEFASEFASEFASEFASE - ---- LÍNGUALÍNGUALÍNGUALÍNGUALÍNGUA PORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESA ,,,,, MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA ,,,,, FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA EEEEE BIOLOGIABIOLOGIABIOLOGIABIOLOGIABIOLOGIA 22222 ™ FASEFASEFASEFASEFASE - ---- LÍNGUALÍNGUALÍNGUALÍNGUALÍNGUA PORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESA ,,,,, MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA ,,,,, FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA EEEEE QUÍMICAQUÍMICAQUÍMICAQUÍMICAQUÍMICA 33333 ™ FASEFASEFASEFASEFASE - ---- QUÍMICAQUÍMICAQUÍMICAQUÍMICAQUÍMICA ,,,,, HISTÓRIAHISTÓRIAHISTÓRIAHISTÓRIAHISTÓRIA ,,,,, INGLÊSINGLÊSINGLÊSINGLÊSINGLÊS EEEEE GEOGRAFIAGEOGRAFIAGEOGRAFIAGEOGRAFIAGEOGRAFIA CURSOSCURSOSCURSOSCURSOSCURSOS PROFISSIONALIZANTESPROFISSIONALIZANTESPROFISSIONALIZANTESPROFISSIONALIZANTESPROFISSIONALIZANTES 11111 ™ FASEFASEFASEFASEFASE - ---- UNIVERSOUNIVERSOUNIVERSOUNIVERSOUNIVERSO MECÂNICOMECÂNICOMECÂNICOMECÂNICOMECÂNICO ,,,,, ORGANIZAÇÃOORGANIZAÇÃOORGANIZAÇÃOORGANIZAÇÃOORGANIZAÇÃO DODODODODO TRABALHOTRABALHOTRABALHOTRABALHOTRABALHO ,,,,, NORMALIZAÇÃONORMALIZAÇÃONORMALIZAÇÃONORMALIZAÇÃONORMALIZAÇÃO ,,,,, MATERIAISMATERIAISMATERIAISMATERIAISMATERIAIS ,,,,, LEITURALEITURALEITURALEITURALEITURA EEEEE INTERPRETAÇÃOINTERPRETAÇÃOINTERPRETAÇÃOINTERPRETAÇÃOINTERPRETAÇÃO DEDEDEDEDE DESENHODESENHODESENHODESENHODESENHO MECÂNICOMECÂNICOMECÂNICOMECÂNICOMECÂNICO ,,,,, ELEMENTOSELEMENTOSELEMENTOSELEMENTOSELEMENTOS DEDEDEDEDE MÁQUINASMÁQUINASMÁQUINASMÁQUINASMÁQUINAS ,,,,, CÁLCULOCÁLCULOCÁLCULOCÁLCULOCÁLCULO TÉCNICOTÉCNICOTÉCNICOTÉCNICOTÉCNICO 22222 ™ FASEFASEFASEFASEFASE - ---- LEITURALEITURALEITURALEITURALEITURA EEEEE INTERPRETAÇÃOINTERPRETAÇÃOINTERPRETAÇÃOINTERPRETAÇÃOINTERPRETAÇÃO DEDEDEDEDE DESENHODESENHODESENHODESENHODESENHO MECÂNICOMECÂNICOMECÂNICOMECÂNICOMECÂNICO ,,,,, METROLOGIAMETROLOGIAMETROLOGIAMETROLOGIAMETROLOGIA ,,,,, HIGIENEHIGIENEHIGIENEHIGIENEHIGIENE EEEEE SEGURANÇASEGURANÇASEGURANÇASEGURANÇASEGURANÇA DODODODODO TRABALHOTRABALHOTRABALHOTRABALHOTRABALHO ,,,,, QUALIDADEQUALIDADEQUALIDADEQUALIDADEQUALIDADE ,,,,, PROCESSOSPROCESSOSPROCESSOSPROCESSOSPROCESSOS DEDEDEDEDE FABRICAÇÃOFABRICAÇÃOFABRICAÇÃOFABRICAÇÃOFABRICAÇÃO ,,,,, ENSAIOSENSAIOSENSAIOSENSAIOSENSAIOS DEDEDEDEDE MATERIAISMATERIAISMATERIAISMATERIAISMATERIAIS 33333 ™ FASEFASEFASEFASEFASE - ---- QUALIDADEQUALIDADEQUALIDADEQUALIDADEQUALIDADE AMBIENTALAMBIENTALAMBIENTALAMBIENTALAMBIENTAL ,,,,, TRATAMENTOTRATAMENTOTRATAMENTOTRATAMENTOTRATAMENTO TÉRMICOTÉRMICOTÉRMICOTÉRMICOTÉRMICO ,,,,, MANUTENÇÃOMANUTENÇÃOMANUTENÇÃOMANUTENÇÃOMANUTENÇÃO ,,,,, PROCESSOSPROCESSOSPROCESSOSPROCESSOSPROCESSOS DEDEDEDEDE FABRICAÇÃOFABRICAÇÃOFABRICAÇÃOFABRICAÇÃOFABRICAÇÃO ,,,,, TRATAMENTOTRATAMENTOTRATAMENTOTRATAMENTOTRATAMENTO DEDEDEDEDE SUPERFÍCIESSUPERFÍCIESSUPERFÍCIESSUPERFÍCIESSUPERFÍCIES ,,,,, AUTOMATIZAÇÃOAUTOMATIZAÇÃOAUTOMATIZAÇÃOAUTOMATIZAÇÃOAUTOMATIZAÇÃO ///// AUTOMAÇÃOAUTOMAÇÃOAUTOMAÇÃOAUTOMAÇÃOAUTOMAÇÃO
Cada fase tem a duração média de seis meses. O participante pode iniciar seus estudos na fase que for melhor para sua realidade, para seus interesses e para suas necessidades.
Recursos de aprendizagem
O Telecurso 2000 combina o uso de programas de TV (teleaulas) com materiais impressos próprios, referentes a cada disciplina, permitindo - além da aprendizagem dos conteúdos - a construção de novos conhecimentos e sua aplicação.
- Cada aula na TV tem duração de 15 minutos.
- Nos livros do Telecurso, o participante estuda, pesquisa e realiza exercícios.
- É importante o uso de dicionários e de diferentes materiais de leitura: jornais, revistas, livros, entre outros, que enriqueçam a aprendizagem.
O Telecurso 2000
Como participar
O Telecurso 2000 é aberto a todos os interessados, e o participante pode trabalhar de várias formas, escolhendo a alternativa que lhe seja mais adequada e que se ajuste à sua possibilidade de participação.
Alternativa 1 Freqüentando a telessala instalada numa instituição privada ou pública. Neste caso, o participante: l faz sua inscrição; l freqüenta o curso no local e nos horários estipulados pela instituição. Trata-se da recepção organizadarecepção organizadarecepção organizadarecepção organizadarecepção organizada, na qual os alunos se reúnem com a presença do Orientador de Aprendizagem e realizam atividades individuais ou em grupo.
Alternativa 2 Assistindo às teleaulas, sozinho ou em pequenos grupos, em qualquer lugar em que haja um aparelho de TV disponível: em casa, na casa de um amigo, no sindicato, na igreja, no clube e até no trabalho, sem necessitar da presença do Orientador de Aprendizagem durante a veiculação dos programas. Essa alternativa atende aos que têm dificuldade de freqüentar diariamente uma sala de aula. Neste caso, o participante: l faz sua inscrição num centro controlador; l freqüenta o curso pelo menos uma vez por semana. Trata-se da recepção controladarecepção controladarecepção controladarecepção controladarecepção controlada, com a presença do Orientador de Apren- dizagem para tirar dúvidas, orientar, analisar exercícios, trocar idéias, fornecer leituras suplementares e avaliar o desempenho do aluno.
Alternativa 3 Assistindo às teleaulas em qualquer lugar, sem nenhuma orientação ante- rior ou posterior e, portanto, sem freqüentar a telessala ou o centro controlador. Trata-se da recepção livre ou isoladarecepção livre ou isoladarecepção livre ou isoladarecepção livre ou isolada, destinada aos participantes querecepção livre ou isolada tenham total impossibilidade de freqüentar uma telessala ou centro controlador.
Como obter certificado de conclus„o
O participante poderá prestar os exames supletivos oficiais, oferecidos pelas Secretarias de Educação de cada EstadoSecretarias de Educação de cada EstadoSecretarias de Educação de cada EstadoSecretarias de Educação de cada EstadoSecretarias de Educação de cada Estado. Os procedimentos são os seguintes: l informar-se sobre datas de inscrição, local e documentos necessários; l inscrever-se; l prestar os exames das matérias que desejar, não necessitando aguardar a con- clusão de todo o telecurso; l pedir, no local em que realizou as provas, o atestado da matériaatestado da matériaatestado da matériaatestado da matériaatestado da matéria em que foi aprovado - quem é aprovado em determinada matéria não precisa mais prestar exame dessa disciplina; l solicitar à Secretaria de Educação o certificado de conclusãocertificado de conclusãocertificado de conclusãocertificado de conclusãocertificado de conclusão, quando tiver sido aprovado em todas as matérias do currículo do Telecurso 2000.
1
Em todos os exemplos desta aula, usaremos apenas números inteiros. Eles A U L A são os nossos conhecidos 0, 1, 2, 3, ... e também os negativos - 1, - 2, - 3, ....
A adiÁ„o
Podemos pensar na operação de adição quando queremosjuntarjuntarjuntarjuntarjuntar as coisas que estão separadas.
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 27 alunos, outra com 31 alunos e outra com 18 alunos. Quantos alunos existem ao todo nessa escola? Para reunir os alunos das 3 turmas, devemos somar a quantidade de alunos de cada turma. A operação que devemos fazer é:
Existem, portanto, 76 alunos76 alunos76 alunos76 alunos76 alunos nessa escola.
Cada um dos números de uma soma chama-separcelaparcelaparcelaparcelaparcela. Na operação de adição, podemos somar as parcelas em qualquer ordem. Por isso, temos certeza de que 18 + 27 + 31 também dá 76 7676 76.^76 Devemos ainda lembrar que números negativos também podem ser soma- dos. Por exemplo, a soma de - 12 com - 5 dá (^) - ---- 17171717 17. Para escrever essa operação fazemos assim:
- --^ 12 + (12 + (12 + (12 + (12 + (-----^ 5) =5) =5) =5) =5) =^ - ----^1717171717
Observe que colocamos - 5 entre parênteses para evitar que os sinais de + e de - fiquem juntos. Mas existe outra maneira, mais simples, de escrever a mesma operação. Veja:
- - - --^1212121212 - ----^ 5 =5 =5 =5 =5 =^ - ----^1717171717
A subtraÁ„o
Podemos pensar na operação de subtração quando queremos tirar uma quantidade de uma outra para ver quanto sobra. Veja o exemplo.
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Uma secretária recebeu a tarefa de preparar 90 envelopes de correspondên- cia. Até a hora do almoço, ela já tinha feito 52. Quantos ela ainda tem de fazer? Temos aqui um exemplo claro de operação de subtração. A operação que devemos fazer é:
9090909090 - ----^ 52 = 3852 = 3852 = 3852 = 3852 = 38
Assim, depois do almoço, a secretária deverá preparar ainda 38 envelopes38 envelopes38 envelopes38 envelopes38 envelopes.
Nossa aula
1
A U L A Observe agora que, em uma subtração, quando o segundo número é maior que o primeiro, o resultado é negativo. Veja:
99999 - ----^ 5 = 45 = 45 = 45 = 45 = 4 55555 - ---- 9 =9 =9 =9 =9 = - ---- 44444
Para visualizar as operações de adição e subtração, representamos os núme- ros inteiros como pontos de uma reta.
Na operação 9 + 5 = 149 + 5 = 149 + 5 = 149 + 5 = 149 + 5 = 14, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a direitadireitadireitadireitadireita e chegamos ao número 14.
Na operação 9 9999 - ---- (^) 5 = 45 = 45 = 45 = 45 = 4, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a esquerdaesquerdaesquerdaesquerdaesquerda e chegamos ao número 4.
Na operação 5 + 9 = 145 + 9 = 145 + 9 = 145 + 9 = 145 + 9 = 14, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a direitadireitadireitadireitadireita e chegamos ao número 14.
Na operação 5 5555 - ---- (^) 9 =9 =9 =9 =9 = (^) - ---- 4444 4, partimos do número 5, andamos 9 unidades para aesquerdaesquerdaesquerdaesquerdaesquerda e chegamos ao número - 4.
Para resumir, as regras são as seguintes:
l Escrever 5 55 5 ou + 5 (^5) + 5+ 5+ 5+ 5 é a mesma coisa. l Quando sinais de números e sinais de operações aparecerem juntos, então: (+) (+) = (+) (+) (-) = (-) (-) (+) = (-) (-) (-) = (+)
Por exemplo:
5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8 5 + (- 3) = 5 - 3 = 2 5 + (+ 3) = 5 - 3 = 2 5 - (- 3) = 5 + 3 = 8
Veja, a seguir, como devemos proceder numa situação em que há soma e subtração de diversos números.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-5 +
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-9 +
A U L A 1.1.1.1.1. Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o resultado. Por isso:
55555 ¥^ 7 = 77 = 77 = 77 = 77 = 7^ ¥^55555
2.2.2.2.2. Quando temos várias multiplicações seguidas, qualquer uma delas pode ser feita primeiro. Por exemplo:
22222 ¥ 33333 ¥ 5555 5 ===== (2(2(2(2(2 ¥ 3)3)3)3)3) ¥ 55 5 = 55 === 6= 6666 ¥ 55 5 = 55 ==== 30 30303030 22222 ¥ 33333 ¥ 5555 5 ===== 2 2222 ¥ (3(3(3(3(3 ¥ 5)5)5)5)5) ==== 2= 2222 ¥ 15151515 15 ===== 30 30303030 22222 ¥ 33333 ¥ 55 5 = 55 ==== (2(2(2(2(2 ¥ 5)5)5)5)5) ¥ 33 3 = 33 === 10= 10101010 ¥ 3333 3 ===== 30 30303030
3.3.3.3.3. Quando um número multiplica uma soma, ele multiplica cada parcela dessa soma. Por exemplo:
22222 ¥ (3 + 4 + 5) = 2(3 + 4 + 5) = 2(3 + 4 + 5) = 2(3 + 4 + 5) = 2(3 + 4 + 5) = 2 ¥ 12 = 2412 = 2412 = 2412 = 2412 = 24 Ou, ainda:
22222 ¥^ (3 + 4 + 5) = 2(3 + 4 + 5) = 2(3 + 4 + 5) = 2(3 + 4 + 5) = 2(3 + 4 + 5) = 2^ ¥^ 3 + 23 + 23 + 23 + 23 + 2^ ¥^ 4 + 24 + 24 + 24 + 24 + 2^ ¥^ 5 = 6 + 8 + 10 = 245 = 6 + 8 + 10 = 245 = 6 + 8 + 10 = 245 = 6 + 8 + 10 = 245 = 6 + 8 + 10 = 24
Falta apenas recordar o que ocorre quando temos multiplicações com números negativos. As regras são as seguintes:
(+)(+)(+)(+)(+)^ ¥^ (((((-----))) =))==== (((((-----)))))
(((((-----)))))^ ¥^ (+)(+)(+)(+)(+) ===== (((((-----)))))
(((((-----)))))^ ¥^ (((((-----))) =))==== (+)(+)(+)(+)(+)
Vamos ver alguns exemplos para entender bem essas regras.
l Para calcular 4 ¥ (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas iguais a - 3. Daí: 44444 ¥^ (((((-----^ 3) = (3) = (3) = (3) = (3) = (-----^ 3) + (3) + (3) + (3) + (3) + (-----^ 3) + (3) + (3) + (3) + (3) + (-----^ 3) + (3) + (3) + (3) + (3) + (-----3)3)3)3)3) 44444 ¥^ (((((-----^ 3) =3) =3) =3) =3) =^ - ----^33333 - ----^33333 - ----^33333 - ----^33333 44444 ¥^ (((((-----^ 3) =3) =3) =3) =3) =^ - ----^1212121212
l Para entender que o produto de dois números negativos é positivo vamos lembrar que o produto de qualquer número por zero dá zero. Portanto:
(((((----- 3)3)3)3)3) ¥ 0 = 00 = 00 = 00 = 00 = 0
Vamos então escrever essa igualdade assim:
(((((-----^ 3)3)3)3)3)^ ¥^ (((((-----^ 2 + 2) = 02 + 2) = 02 + 2) = 02 + 2) = 02 + 2) = 0
É a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma das propriedades da multiplicação, podemos escrever a mesma coisa de forma ainda diferente. Veja:
(((((-----^ 3)3)3)3)3)^ ¥^ (((((-----^ 2) + (2) + (2) + (2) + (2) + (-----^ 3)3)3)3)3)^ ¥^ 2 = 02 = 02 = 02 = 02 = 0
?????^ - ---- 6 6666
Ora, sabemos que (- 3) ¥ 2 dá - 6. Logo, devemos ter (- 3) ¥ (- 2) = 6 para que a soma seja zero.
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A divis„o A U L A
Podemos pensar na divisão quando queremos dividir um total de partes iguais ou quando queremos saber quantas vezes um número cabe no outro.
EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4
Desejamos colocar 80 lápis em 5 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo número de lápis. Quantos lápis devemos pôr em cada caixa?
A resposta é fácil. Bastadividirdividirdividirdividirdividir 80 por 5.
Logo, cada caixa deve conter 16 lápis.
No exemplo que acabamos de ver, a divisão foiexataexataexataexataexata ou seja, conseguimos colocar a mesma quantidade de lápis em cada caixa sem que sobrasse nenhum. O que aconteceria, entretanto, se tivéssemos 82 lápis para pôr nas 5 caixas? Á resposta é fácil. Cada caixa continuaria com 16 lápis, mas sobrariam 2. Veja a operação:
Na operação acima, 82 é odividendodividendodividendodividendodividendo, 5 é odivisordivisordivisordivisordivisor, 16 é oquocientequocientequocientequocientequociente e 2 é orestorestorestorestoresto. Esses quatro números se relacionam da seguinte forma:
8282828282 ===== 55555 ¥^1616161616 +++++ 22222
(dividendo) = (divisor)(dividendo) = (divisor)(dividendo) = (divisor)(dividendo) = (divisor)(dividendo) = (divisor)^ ¥^ (quociente) + (resto)(quociente) + (resto)(quociente) + (resto)(quociente) + (resto)(quociente) + (resto)
Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!Atenção! O resto é semprepositivopositivopositivo epositivopositivo menormenormenormenormenor que o divisor.
Ao fazer uma divisão, estaremos sempre encontrando dois novos números: o quociente e o resto. Vamos ver mais um exemplo do uso dessa operação em um problema.
dividendo divisor quociente
resto
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Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4 A U L A Um trabalhador recebe R$12 por dia de trabalho, mais uma gratificação de R$8 por semana. Sabendo que cada semana tem 6 dias de trabalho, quanto esse trabalhador deverá ter recebido após 4 semanas?
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5 Descubra que números estão faltando nas operações abaixo: a)a)a)a)a) 12^ ¥ ........^ =
b)b)b)b)b) ........^8 5 26
c)c)c)c)c) 148 = 6^ ¥^ ........^ + 4
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6 Certo automóvel faz, na estrada, 12 km por litro de gasolina. Para fazer uma viagem de 340 km, o proprietário colocou no tanque 30 litros de gasolina. Esse combustível será suficiente?
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7 Em uma festa, as mesas do salão são quadradas e acomodam, no máximo, 4 pessoas. Para que 150 pessoas possam se sentar, quantas mesas serão necessárias?
Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8 Uma escola tem 4 salas e cada sala tem 30 carteiras. Na primeira sala existem 26 alunos, na segunda 24, na terceira, 23 e na quarta, 19. Quantos alunos ainda podem ser matriculados?
Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9 João tem um terreno retangular de 20m de frente por 30m de fundo, e deseja cercá-lo com uma cerca de arame com 5 fios.
Quantos metros de arame ele deverá comprar?
2
A U L A
Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 25 de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos duas dessas partes. Entretanto, se substituir- mos o “bolo” por uma unidade qualquer, a fração 25 é um número e, como tal, possui seu lugar na reta numérica. Para fazer a marcação na reta numérica, dividimos a unidade em 5 partes e tomamos duas
Por outro lado, a fração é também o resultado da divisão de dois números; por exemplo, a fração 25 , que é o resultado da divisão de 2 por 5. Observe o desenho a seguir:
Duas unidades foram divididas em 5 partes iguais.
Nesta aula vamos estudar as frações, suas propriedades e a forma de representá-las por números decimais.
A divis„o prolongada
Imagine que R$25,00 devam ser divididos igualmente entre 4 pessoas. Quanto cada uma deverá receber? Sabemos que 25 não é múltiplo de 4, e portanto, a quantia que cada um deve receber não será um número inteiro. Para isso existem os centavos. Vamos então lembrar como fazemos a divisão de 25 por 4.
//////////25 25252525 44444
- ---- 2424242424 66666 0.0.0.0.0.lllll
FraÁıes e
n˙meros decimais
2
A U L A
IntroduÁ„o
Nossa aula
0 2 5
1 2
2 5
2 5
2 5
2 5
2 5
2
2
A U L A FraÁıes iguais:
Sabemos que a fração 12 é igual ao número decimal 0,5. Entretanto, as frações 24 ,^36 ,^48 ,^ ... são também iguais a 0,5. Temos aqui um primeiro exemplo de frações iguais:
=====^
=====^
=====^
Como fazemos para obter frações iguais? A propriedade que enunciamos a seguir responde a essa pergunta.
Uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimosUma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimosUma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimosUma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimosUma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerado e o denominador pelo mesmo número.o numerado e o denominador pelo mesmo número.o numerado e o denominador pelo mesmo número.o numerado e o denominador pelo mesmo número.o numerado e o denominador pelo mesmo número.
Observe os exemplos:
Os dois últimos exemplos são importantes porque mostram como simplifi- car frações. Se em algum problema aparece a fração 1322 , podemos, em seu lu- gar, usar a fração 38 , que representa o mesmo número e é mais simples. A propriedade que vimos é fundamental para as operações de adição e subtração de frações.
OperaÁıes com fraÁıes
Sabemos que é muito fácil somar ou subtrair frações que tenham o mesmo denominador. Neste caso, basta somar ou subtrair os numeradores. Assim:
Observe outro exemplo e a simplificação do resultado.
2
Como faremos, então, para somar ou subtrair frações com denominadores A U L A diferentes? Não é difícil. Vamos tentar representar as frações dadas por outras, iguais às que temos, mas com denominadores iguais. É o que veremos a seguir.
AdiÁ„o e subtraÁ„o de fraÁıes
Tomemos como exemplo, a soma 14 +^16. Os denominadores são diferentes. Então, buscamos um número que seja múltiplo de ambos. Encontramos 12, que é múltiplo de 4 e também de 6. Vamos então representar as duas frações dadas com esse mesmo denomina- dor. Observe:
Então,
Acabamos de somar duas frações com denominadores diferentes. A subtra- ção é feita da mesma forma. Devemos também igualar os denominadores. Consideremos então a diferença 45 -^38. Qual será o novo denominador que devemos escolher? Pense um pouco e observe a solução.
Então,
MultiplicaÁ„o de fraÁıes
Se na solução de algum problema devemos calcular, por exemploa terçaa terçaa terçaa terçaa terça parte de dois quintosparte de dois quintosparte de dois quintosparte de dois quintosparte de dois quintos, estamos frente a uma situação em que devemos multipli- car duas frações. A regra é a seguinte:
Para multiplicar duas frações,Para multiplicar duas frações,Para multiplicar duas frações,Para multiplicar duas frações,Para multiplicar duas frações, multiplique os numeradores e os denominadoresmultiplique os numeradores e os denominadoresmultiplique os numeradores e os denominadoresmultiplique os numeradores e os denominadoresmultiplique os numeradores e os denominadores
Assim:
2
A U L A
8 25 = 8^ ∏^ 25 = 0,32 = 32% 5 8 = 5^ ∏^ 8 = 0,625 = 62,5% 4 7 = 4^ ∏^7 @^ 0,5714 = 57,14%
Repare que nesse último exemplo fizemos uma aproximação. Na prática, usamos duas ou, no máximo, três casas decimais em nossas aproximações.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1 Simplifique as frações abaixo. Exemplo:
a)a) a)a)a)^
c)c)c)c)c)^
b)b) b)b)b)^
d)d)d)d)d)^
Exercício 2Exercício 2 Exercício 2Exercício 2Exercício 2 Complete os espaços abaixo com os sinais de <<<<< (menor), >>>> (maior)>
ou ===== (igual). Exemplo: 2
....^5
Solução:^8
Æ
}^8
a)a) a)a)a)^
c)c)c)c)c)^
b)b) b)b)b)^
d)d)d)d)d)^
Exercício 3Exercício 3 Exercício 3Exercício 3Exercício 3 Efetue:
a)a)a)a)a)^
c)c)c)c)c)^
b)b) b)b)b)^
d)d)d)d)d)^
ExercÌcios
2
A U L A Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4 Efetue:
a)a)a)a)a)^
c)c)c)c)c)^
b)b)b)b)b)^
d)d)d)d)d)^1 +^
Φ Η
Ι Κ
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5 Calcule as porcentagens: a)a)a)a)a) 10% de 120 b)b)b)b)b) 24% de 500 c)c)c)c)c) 5% de 60 d)d)d)d)d) 12,5% de 72
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6 Transforme as frações em números decimais aproximados. Dê as respostas com duas decimais. Entretanto, observe a terceira casa decimal. Se ela for menor que 5, mantenha o valor da segunda casa. Se ela for maior ou igual a 5, aumente de uma unidade a segunda casa. Exemplo: 1 7
a)a)a)a)a)^
c)c)c)c)c)^
b)b)b)b)b)^
d)d)d)d)d)^
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7 Escreva as frações abaixo como porcentagens. Não dê respostas com mais de duas decimais. Aproxime se necessário:
a)a)a)a)a)^
b)b)b)b)b)^
c)c)c)c)c)^
3
Nossa aula A U L A Para começar esta aula, pense no seguinte problema: uma mulher de 25 anos é casada com um homem 7 anos mais velho que ela. Qual é a soma das idades desse casal? Pense e responda. Não é difícil responder. O marido tem:
25 + 7 = 32 3232 32 anos 32
Portanto, a soma das idades do casal é:
25 + 32 = 57 575757 57 anos
Agora vamos ver outro problema semelhante: o marido de certa mulher é 7 anos mais velho que ela. Quando nasce a primeira criança do casal, as idades dos dois somam 70 anos. Qual a idade da mulher? Podemos perceber que essa resposta não virá tão facilmente quanto a do problema anterior. É interessante, por isso, que você pegue papel e lápis, e tente responder à pergunta. Será isso o que também faremos na próxima aula, quando mostraremos que alguns problemas tanto podem ser resolvidos pelo raciocínio aritmético quanto pelo algébrico. Agora, queremos mostrar-lhe como resolver este problema pela álgebra, pois cremos que você saberá reconhecer o valor dessa nova forma de raciocínio.
O nascimento do ìxî
Para resolver esse problema, poderíamos pensar assim: já que não sabemos a idade da mulher, nós escrevemos ????? em seu lugar. Com isso, podemos escrever o que sabemos do problema: que a soma das idades da mulher e de seu marido é 79. Assim:
idade daidade daidade daidade daidade da^ idade doidade doidade doidade doidade do mulhermulhermulhermulhermulher maridomaridomaridomaridomarido
Continuando, encontraremos:
?????^ +++++^ ?????^ +++++^77777 =====^7979797979
2 ?2 ?2? =2 ?2 ?====^7272727272
?????^ =====^7272727272 ¸¸¸¸¸^22222
?????^ =====^3636363636
Portanto, a idade da mulher é 36 anos. Para conferir, basta ver qual é a idade do marido e qual é a soma das idades. Não é fácil? Pois esta é a essência do chamado raciocínio algébrico - e daqui a pouco nós o recordaremos para você. Por enquanto, repare que o raciocínio é exatamente igual ao de uma outra pessoa que, no lugar de ?????, usasse um outro símbolo qualquer para representar um número.
{ {
3
Por exemplo, alguém poderia pensar assim: “Como não sei a idade procu- A U L A rada, deixo um espaço para ela dentro deste quadradinho, e então escrevo o que sei.” Ficaria assim:
Resolvendo esta equação (que é como chamamos em álgebra o procedimen- to de encontrar o número procurado), chegamos a:
= 36= 36= 36= 36= 36, como antes.
Ou seja, o símbolo que cada pessoa escolhe para ajudá-la a resolver o problema não é importante. Observe que o raciocínio é o mesmo.
Sendo assim, podemos usarqualquer símboloqualquer símboloqualquer símboloqualquer símboloqualquer símbolo (lembre-se disso, pois às vezes os símbolos escolhidos podem ajudar bastante na resolução de problemas que encontramos na vida - e até nos motivar mais a enfrentar esses problemas). É comum, em Matemática, usarmos a letra “xxxxx” para designar o número que estamos procurando - aincógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnita, como se diz. Também em outras ciências e na literatura em geral a letra “xxxx” tem sido usada para designar algo desconhecidox ou misterioso. Como exemplos, temos: o “raio xraio xraio xraio xraio x”, que assim foi chamado porque desco- nhecia-se o que ele era; uma certa “faculdade xfaculdade xfaculdade xfaculdade xfaculdade x”, relacionada com o desenvol- vimento da consciência do homem (segundo o escritor britânico Colin Wilson); o “cavalheiro x”“cavalheiro x”“cavalheiro x”“cavalheiro x”, personagem misterioso de algum romance ou novela etc.“cavalheiro x” No caso do problema anterior, então, sua equação fica assim, usando xxxxx:
x + ( x + 7) = 79x + ( x + 7) = 79x + ( x + 7) = 79x + ( x + 7) = 79x + ( x + 7) = 79
Compare com as outras duas formas de escrevê-la. Não é a mesma coisa? E resolvendo a equação, obtemos x = 36x = 36x = 36x = 36x = 36 para a idade da mulher, como antes. Seguindo a tradição matemática, também adotaremos o xxxxx quando o símbolo for indiferente.
Resumindo o raciocÌnio algÈbrico: outro problema
João avalia que, de sua caixa d’água de 1000 litros, restavam apenas uns 100 litros. Para enchê-la de novo precisou fazer 45 viagens carregando uma lata cheia d’água. Qual a capacidade aproximada da lata? E quanto pesava a água na lata? As etapas importante do nosso raciocínio acima são as seguintes. Procure compreender a idéia geral do raciocínio: como vimos, ele é fruto do bom senso.
ETAPA 1ETAPA 1ETAPA 1ETAPA 1ETAPA 1^ - ----^ Dando nome aos “bois”Dando nome aos “bois”Dando nome aos “bois”Dando nome aos “bois”Dando nome aos “bois”
O que precisamos saber para resolver o problema: isto será xxxxx. Neste exemplo, xxxx = capacidade da lata. Em seguida, usamos xx xxxx para escrever o que sabemos; quer dizer, montamos a equação do problema.
