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Transformadas de Laplace
Engenharia Mecânica - FAENGSISTEMAS DE CONTROLESISTEMAS DE CONTROLEProf. Josemar dos Santos
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Transformadas de Laplace
SumárioSumário^ •^ Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle^ •^ Definições Básicas;^ •^ Exemplos.^ •^ Transformadas de Laplace^ •^ Definição;Transformada de Laplace; •^ Transformada de Laplace;^ •^ Exemplo.
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Transformadas de Laplace
Sistemas de ControleSistemas de Controle Objetivo:j •Introduzir ferramental matemático, conceitos fundamentais e algumastécnicas de Modelagem de Sistemas Dinâmicos e de Engenharia deControle Moderno;Controle Moderno;•Utilização do Scilab como ferramenta computacional de engenhariapara aplicação dos conceitos e técnicas de controle e modelagem. Ementa: • Introdução à engenharia de controle de sistemas.Preliminares matemáticas Re isão de Números Comple os e• Preliminares matemáticas: Revisão de Números Complexos eTransformadas de Laplace.• Conceitos e técnicas de modelagem de sistemas.• Funções de transferência e diagramas de blocos.• Critérios de desempenho, estabilidade e realimentação de sistemas.• Técnicas de síntese de controle pelo método do lugar das raízes e
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de resposta em freqüência.• Projeto de compensadores.
Transformadas de Laplace
Sistemas de ControleSistemas de Controle Livro Texto: • Nise, N.^ Engenharia de Sistemas de Controle
, 3a edição, LTC
Editora , 2002. Bibliografia Complementar: • Franklin, G.; Powell, J.D.
Feedback Control of Dynamic Systems
,
Prentice-Hall 2005Prentice-Hall,2005.• Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno
, 4a edição, Prentice-
Hall, 2003.Dorf R C^
Sistemas de Controle Moderno
LTC Editora 2001
Sistemas^
de Controle Moderno
, LTC Editora, 2001.
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Transformadas de Laplace
Sistemas de ControleSistemas de Controle Critério de Avaliação
ç P10 4+P20 4+AT0 2P10,4+P20,4+AT0,**
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle^ •^ Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle^ •^ Definições Básicas;^ •^ Exemplos.^ •^ Transformadas de Laplace^ •^ Definição;Transformada de Laplace; •^ Transformada de Laplace;^ •^ Exemplo.
Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de ControleIntrodução
a Sistemas de Controle
-^ Controle Controle
é o ato de comandar, dirigir, ordenar,manipular alguma coisa ou alguém. Assim, ummanipular alguma coisa ou alguém. Assim, umsistema^ de^
controle
é^ um
conjunto
de
componentes que tem por função dirigir algumacomponentes que tem por função dirigir algumacoisa (ou alguém).
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de ControleIntrodução
a Sistemas de Controle
-^ Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de umsistema podem ser chamadas de entradas ou saídas.–^ Entradas
são grandezas que estimulam, excitam um sistema Também chamadas de Referência ou dosistema. Também chamadas de Referência ou doinglês,^ Set Point (SP). – Saídas^ são as reações, respostas, do sistema a umou mais estímulos externos. Também chamadas deou mais estímulos externos. Também chamadas deVariável do Processo ou do inglês,
Process Variable
(PV).
Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de Controle Introdução Sistema de controle a malha fechada (SCMF)
a Sistemas de Controle
de controle a malha fechada (SCMF) Nome dado ao sistema de controle realimentado. Num SCMF adif^
t^ f^ ê i^ ( i^ l d
t^ d )^
did^ d^
iá^ l
diferença entre a referência (sinal de entrada) e a medida da variávelcontrolada (sinal realimentado), também chamada de sinal de erroatuante, é introduzido no controlador de modo a reduzir o erro e trazera saída do sistema a um valor desejado O termo controle a malhaa saída do sistema a um valor desejado. O termo controle a malhafechada sempre implica o uso de ação de controle realimentado a fimde reduzir o erro do sistema.
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de ControleIntrodução
a Sistemas de Controle
-^ SCMF x SCMA
Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de ControleIntrodução
a Sistemas de Controle
-^ Componentes de um Sistema de Controle^ SP^
MV^
PV
Controlador^
Atuador^
Planta
±
Sensor
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Transformadas de Laplace
Modelo MatemáticoModelo MatemáticoConceitos BásicosConceitos Básicos^ Modelo Matemático^ Consiste em aplicar as leis físicas fundamentais de ciênciae engenharia para se obter uma representação matemáticad^
i tde um sistema.• Circuitos Elétricos – Lei de Ohm e as Leis de Kirchoff • Sistemas Mecânicos – Leis de Newton^ Entrada^
Saída Descriçãomatemática
Transformadas de Laplace
Modelo MatemáticoModelo MatemáticoConceitos BásicosConceitos Básicos^ Modelo Matemático^ Equações Diferenciais
1
1
d^ y a adt^
d^ y dt^
dya a ydt^
d^ x b dt^
d^ xb dt^
dxb b xdt^
n nn^ n
n n^
m mm^ m
m m
+^
+^ +^ +^ =^
+^
+^ +^ +
− −−^
− −−
1 11 1 0
1 11 1 0
...^
...
y - saída do sistemat^ d^
d^ i t x - entrada do sistema
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Transformadas de Laplace
d^ l^
á i Modelo MatemáticoConceitos BásicosConceitos Básicos^ Modelo Matemático: ExemploCircuito RLC
Transformadas de Laplace
d^ l^
á i Modelo MatemáticoConceitos BásicosConceitos Básicos^ Modelo Matemático: ExemploComponente^ Tensão-corrente
Corrente-tensão
Tensão-carga
ImpedânciaAdmitânciaZ(s) = V(s)/I(s)Y(s) = I(s)/V(s)
Tabela 1 - Relações Tensão-corrente, Tensão-carga, e Impedâncias de capacitores, resistores eindutores Componente^
Tensão-corrente^
Corrente-tensão^
Tensão-carga^
Z(s) = V(s)/I(s)^ Y(s) = I(s)/V(s)
Indutor Nota: ν(^ t^ )^ = V (volts)^ i ( t^ ) = A (ampères)^
q (^ t^ ) = Q (coulombs) C = F (farads) R =
Ω^ (ohms) G =^ (mhos) L = H (henries)
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Nota:^ ν(^ t^ )^ V (volts),
i (^ t^ )^ A (ampères),
q (^ t^ )^ Q (coulombs), C
F (farads), R^ Ω
(ohms), G^ (mhos), L
H (henries)
Transformadas de Laplace
M^ d^ l^
M^ t^ áti Modelo Matemático^ Conceitos BásicosConceitos Básicos^ Modelo Matemático: Exemplo^ Circuito RLC
t di ∫ t Ri diL
)( 1 )( )( )(
∫^
=
+^
tv di t C Ridt L
0
)( )( )( )(
τ τ
Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace^ •^ Método para solucionar equações diferenciais ordinárias^ •^ É uma operação semelhante à transformada logarítmica •^ É uma operação semelhante à transformada logarítmica^ •^ Equações diferenciais são transformadas em equaçõesalgébricasalgébricas^ •^ Realiza-se operações no domínio “s”^ •^ Retorna ao domínio “t” através da transformada inversa
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Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de LaplaceEsquematicamenteEsquematicamente
Transformadas de Laplace
Transformada de Laplace^ Matemático francês LAPLACE (1749-1827) inventou um métodopara resolver equações diferenciais da seguinte forma•Multiplica cada termo da equação diferencial por e
-st
•Integra cada termo em relação ao tempo de ZERO aINFINITO• “s” é uma constante de unidade 1/tempo
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Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de LaplaceConceitos Básicos:Conceitos Básicos:^ Transformada de Laplace
(^ )^
(^ )[ ]^
(^ )^ dtetft
fs
F^
∞ st − ∫ L Transformada
de Laplace ( ) (^ )[^ ]^
(^ )^ dtetft
fs
F^
=∫
0 L Em que
ω σ js += é uma variável complexa Onde: F(s) - símbolo da transformada de Laplacef(t) - função contínua em 0 < t < infinitoL^ operador de Laplace L^ - operador de Laplace
Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de LaplaceConceitos Básicos:Conceitos Básicos:^ Transformada Inversa de LaplaceTransformada
Inversa de Laplace^ [
]
( )^
(^ )[ ]
f t^
f s
−^1 = L
Onde: f(t) - função que não é definida para t < 0-1^ L- operador da inversa de Laplace
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Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de LaplaceConceitos Básicos:Conceitos Básicos:^ Tabela de Transformadas de Laplace
Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace PROPRIEDADES • PROPRIEDADES 1 - SOMA DE DUAS FUNÇÕES
Ç
( )^ ( )[
]^
( )[ ]^
( )[ ]^
( )^ ( )
sFs
Ftf
tf
tft
f^
(^21) 2 1 (^21)
+^
L
L
L^ 2 - MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE
(^ )[ ]^
(^ )[ ]^
(^ )
L^
L
af^ t^
a^ f^ t^ aF
s =^
=
(^ )[ ]^
(^ )[ ]^
(^ )
L^
L
af^ t^
a^ f^ t^ aF
s =^
=
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Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace PROPRIEDADES • PROPRIEDADES 3 – FUNÇÃO COM ATRASO NO TEMPOÇ^ (^
)[ ]^
(^ )
L^ f^ t^ t^
t^ s −^0 e F s − = (^) ( ) 0
[^ ]^0
(^ )^
∞
∞
∫
∫
(^ )[ ]^
(( ) )^ (^
)^
L^ f^ t^ t^
f^ t^ t^ e^
d t^ t^
e^ f^ t e
dt s t^ t^
s t^
s t
−^ =^
−^
−^ −^ −^ =
−∫
∫ 0 0
00 0
0
0
(^ )[ ]^
(^ )
L^ f^ t^ t^
s t^0 e F s − = 0
(^ )[ ]
Transformadas de Laplace
R^ f^ ê^
i^ Bibli
áfi Referências Bibliográficas^ BEGA E A (Organizador) Instrumentação Industrial 1a ed Rio de Janeiro:BEGA, E. A. (Organizador). Instrumentação Industrial 1a. ed. Rio de Janeiro:Interciência, 2003. 541 p.FRANKLIN, G.F., POWELL, J.D., EMAMI-NAEINI, A. Feedback Control of Dynamic
y
Systems 3a. ed. USA: Addison-Wesley Publishing Company, 1994. 778 p.GARCIA, CLAUDIO. Modelagem e Simulação 1a. ed. São Paulo: EDUSP, 1997. 458 p.MARLIN, T. Process Control - Designing Processes and Control Systems for DynamicsPerformance 1a. ed. USA: McGraw-Hill, 1995. 954 p.NISE, N.S. Engenharia de Sistemas de Controle 3a. Edição ed. São Paulo: LTC, 2002.695 p.OGATA K Engenharia de Controle Moderno 4a ed São Paulo: Pearson
Prentice Hall
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno 4a. ed. São Paulo: Pearson - Prentice Hall,2005. 788 p.
