Cálculo Diferencial e Integral de Várias Variáveis: Exercícios Resolvidos, Notas de aula de Análise Funcional

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Instituto Politécnico de Leiria

Escola Superior de Tecnologia e Gestão

Apontamentos Teóricos

de

Análise Matemática

Funções Reais de Várias Variáveis Reais

Engenharia Eletrotécnica

Ano letivo 2011/

Pedro Matos

Alexandra Seco

Luís Cotrim

Departamento de Matemática

Outubro/

Índice

• 1 Funções de Várias Variáveis
  • 1.1 Definições
  • 1.2 Limites e Continuidade
  • 1.3 Derivadas Parciais
    • 1.3.1 Interpretação geométrica da derivada parcial
  • 1.4 Derivadas Parciais de Ordem Superior à Primeira; Teorema de Schwarz
  • 1.5 Planos Tangentes
  • 1.6 Derivada da Função Composta. Regra da Cadeia
  • 1.7 Derivadas Direccionais e Vector Gradiente
  • 1.8 Máximos e Mínimos de Funções de Duas Variáveis
  • 1.9 Extremos Condicionados. Multiplicadores de Lagrange

1 Funções de Várias Variáveis

Até agora, foram apenas estudadas funções dependentes de uma única variável: a função y era

conhecida quando era dado um valor da variável independente x.

Todavia, na maior parte dos casos, as variações de um fenómeno dependem de várias grandezas. Tais

funções, que dependem de várias variáveis susceptíveis de variarem cada uma delas independentemente

das outras, dizem-se ”funções de várias variáveis”. Vamos estudá-las neste capítulo, dando sobretudo

atenção ao caso das funções de duas variáveis.

1.1 Definições

Definição 1.1.1 (Função de Várias Variáveis) Seja D ⊂ R

n

. Uma função f definida em D é uma

correspondência que a cada elemento de D associa um único elemento z ∈ R :

f : D ⊂ R

n −→ R

(x 1 ,x 2 ,... , xn) ֒→ z = f (x 1 ,x 2 ,... , xn)

O conjunto D é o domínio de f.

Exemplos 1.1.2 São inúmeros os problemas das áreas da Física, Química, Economia e das Ciências

Sociais que são modelados por funções de várias variáveis. Apresentam-se em seguida alguns exemplos.

1

1. A função F de duas variáveis definida por:

F (r, θ) =

G m M

r 2

, rr

representa a grandeza da força gravitacional entre dois corpos, onde r é a distância entre eles, θ é

a posição angular de um em relação ao outro, m e M são parâmetros que definem as massas dos

corpos e G a constante de proporcionalidade.

2. A função u definida por:

u(x, t) = 100 sin

π

L

x

exp

t

1 Exemplos dos apontamentos teóricos elaborados por Cidália Macedo, Ana Mendes e Leonel Vicente (Dep. de Matemát-

ica da ESTG-IPLeiria).

x

2 − y

2 ≥ 0 ⇔ (x − y) (x + y) ≥ 0

⇔ (y ≤ x ∧ y ≥ −x) ∨ (y ≥ x ∧ y ≤ −x)

y

x

x 2 + y 2 = 1

y = x

2. g (x) =

x − 1.

D = {x ∈ R : x − 1 ≥ 0 } = [1, +∞[

x

3. h (x, y) =

x − 1.

D =

(x, y) ∈ R

2 : x − 1 ≥ 0

y

x

4. i (x, y, z) =

4 − x − y − z.

D =

(x, y, z) ∈ R

3 : 4 − x − y − z ≥ 0

z

y

z = 4 −−−− x −−−− y

Exercício 1.1.4 Determine e represente graficamente o domínio das funções definidas por:

1. f (x, y) = arcsin

x 2

• y 2

• ln

y x

2. g (x, y) =

9 − x 2

• ln (x + y − 2).

Definição 1.1.5 (Gráfico de uma Função) Dada uma função f de domínio D ⊂ R n , chama-se gráfico

de f ao conjunto

G = {(x 1 ,... , xn, z) : (x 1 ,... , xn) ∈ D ∧ z = f (x 1 ,... , xn)} ⊂ R

n+ .

Exemplos 1.1.6 1. Se y = f (x) define uma função real de uma variável real com domínio D então

o seu gráfico

G = {(x, y) : x ∈ D ∧ y = f (x)}

é, em geral, uma curva de R 2 .

2. Se z = f (x, y) define uma função real de duas variáveis reais com domínio D ⊂ R

2 então o seu

gráfico

G = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D ∧ z = f (x, y)}

é, em geral, uma superfície de R 3 .

Num sistema de eixos rectangular oxyz, o domínio D ⊂ R

2 de uma função z = f (x, y) será rep-

resentado pelo conjunto dos pontos (x, y, 0) com (x, y) ∈ D; o valor de f (x, y) será a distância medida

plano z = k.

É importante notar que, quando um ponto (x, y) percorre uma curva de nível, os valores da função

permanecem constantes.

A representação das curvas de nível para diferentes valores de k é uma técnica usada, por exemplo, na

confecção de mapas topográficos: curvas que unem pontos com a mesma altitude, sabendo-se que duas

curvas de nível consecutivas correspondem, por exemplo, a uma diferença de dez metros de altitude. A

sua maior concentração corresponde a uma região mais íngreme.

Configurações análogas aparecem em mapas metereológicos. Se f (x, y) representa a pressão atmos-

férica no ponto (x, y), as curvas de nível são as isobáricas (curvas sobre as quais a pressão é constante);

se f (x, y) representa a temperatura no ponto (x, y), as curvas de nível são as isotérmicas (curvas sobre

as quais a temperatura é constante).

Mapa Topográfico Mapa metereológico (isotérmicas)

Exemplo 1.1.9 Esboce algumas curvas de nível associadas à função

f (x, y) = 9 − x 2 − y 2 com D =

(x, y) : x 2

• y 2 ≤ 9

Exercício 1.1.10 Determine o domínio, esboce o gráfico das seguintes funções e trace algumas das suas

curvas de nível:

1. f (x, y) =

1 − x 2 − y 2 .

2. f (x, y) = 2 − x 2 − y 2 .
3. f (x, y) = 1 −

x 2

• y 2 .

4. f (x, y) = 1 − x − y.
5. f (x, y) =

1 − x 2 .

6. f (x, y) =

x 2

Exercício 1.1.11 Considere o campo de pressões definido por

f (x, y) = 5x

2

• y

2

. Determine:

1. A pressão nos pontos (− 2 , 4) , (3, 0) e (5, −7).
2. As curvas de nível (isobáricas) de f. Esboce algumas dessas linhas.
3. A pressão sobre os pontos da parábola y = 2x 2 e sobre a recta y = 3x + 1.
4. A região na qual 1 ≤ f (x, y) ≤ 9.

1.2 Limites e Continuidade

Definição 1.2.1 (Vizinhança ε de A) Sejam A = (a, b) um elemento de R 2 e ε um número real pos-

itivo. Chama-se vizinhança ε de A ao conjunto dos pontos de R

2 cuja distância a A é inferior a ε:

Vε (A) =

(x, y) ∈ R

2 :

(x − a)

2

• (y − b)

2 < ε

1. |a + b| ≤ |a| + |b|
2. |a − b| ≤ |a| + |b|

a

2

= |a|

2 = a

2

4. |a| =

a 2 ≤

a 2

• b 2

Exemplo 1.2.3 Prove, usando a definição que

lim (x,y)→(0,0)

xy √ x^2 + y^2

Seja f (x, y) =

xy √ x 2

• y 2

. Seja ε > 0. Pretendemos encontrar δ > 0 tal que

xy √ x 2

• y 2

< ε sempre que 0 <

x 2

• y 2 < δ.

Mas ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

xy √ x 2

• y 2

|x| × |y| √ x 2

• y 2

x 2

• y 2 ×

x 2

• y 2 √ x 2
• y 2

x 2

• y 2

Assim, se escolhermos δ = ε virá

xy √ x 2

• y 2

< ε.

Para funções reais de uma variável real, a aproximação de x a x 0 só pode ser efectuada de duas formas:

por valores à direita de x 0 ou por valores à esquerda de x 0.

x

x 0

Sabemos que:

• se lim x→x

0

f (x) = lim x→x

− 0

f (x) então existe e é igual lim x→x 0

f (x).

• se lim x→x

0

f (x) = lim x→x

− 0

f (x) então não existe lim x→x 0

f (x).

z =

xy √ x 2

• y 2

-4-

z^0

-4 -2 00 2 4 2 4

3

2

1

xy

z =

x 2 − y 2

x 2

• y 2

x

4

2

(^00)

y

4

1

z^ -2 0

2

z =

xy

2

x 2

• y 4

-0.

x y

4

-0.

z 2 -

0 0 2 4

No caso de funções de duas variáveis, a situação é mais complexa, pois podemos permitir a aproxim-

ação de (x, y) a (a, b) segundo uma infinidade de trajectórias distintas.

y

x

b

a

O ponto 1 da definição 3.2.2 refere-se à distância entre (x, y) e (a, b) mas não à direcção de aproximação

de (x, y). Portanto, se o limite existir, então f (x, y) deve aproximar-se desse valor limite independente-

mente da forma como (x, y) se aproxima de (a, b). Assim, se encontrarmos dois caminhos de aproximação

c 1 e c 2 segundo os quais f (x, y) tenha limites diferentes, podemos concluir que

lim (x,y)→(a,b)

f (x, y) não exite.

Mas

3 x

2 y

x 2

• y 2

3 x

2 × |y|

x 2

• y 2

3 ×

x

2

• y

2

× |y|

x 2

• y 2

= 3 × |y| = 3 ×

y 2 ≤ 3 ×

x 2

• y 2 .

Assim, se escolhermos δ = ε/ 3 virá:

3 x 2 y

x 2

• y 2

≤ 3 ×

x 2

• y 2 ≤ 3 × δ = ε.

Consequentemente, por definição

lim (x,y)→(0,0)

3 x 2 y

x 2

• y 2

Exemplo 1.2.6 Calcule o limite em (− 2 , 1) de

(x + 2) (y − 1)

2

(x + 2)

2

• (y − 1)

2 ao longo de todas as rectas do plano

xoy.

A família de rectas que passam pelo ponto (− 2 , 1) é dada por

y − 1 = m (x + 2). Efectue-se a translação de eixos dada por

X = x + 2

Y = y − 1

Então o problema transforma-se no cálculo do limite em (0, 0) da função

XY

2

X

2

• Y 2

segundo as rectas

Y = mX. Portanto,

lim X→ 0 Y =mX

XY

2

X

2

• Y 2 = lim X→ 0

m

2 X

1 + m 2 = 0, ∀m ∈ R.

Exercício 1.2.7 Calcular, caso existam, os seguintes limites:

1. lim (x,y)→(0,0)

x

2 − 2 y

2

2 x 2

• y 2

2. lim (x,y)→(0,0)

xy

x 2

• y 2

3. lim (x,y)→(0,0)

x 3 − 2 y 3

x 2

• y 2

4. lim (x,y)→(0,0)

xy

x 2 − y 2

x 2

• y 2

5. lim (x,y)→(0,0)

x 2 y

x 4

• y 2

6. lim (x,y)→(0,0)

x − y

x 2 − y 3

Exercício 1.2.8 Calcule lim (x,y)→(0,0)

h (x, y) com h (x, y) =

x +

x

y se x = 0

0 se x = 0

Analogamente ao que se passa com as funções de uma só variável, o cálculo de limites de funções de

duas variáveis pode ser grandemente simplificado com o uso de propriedades de limites e ainda recorrendo

à continuidade de funções de uma variável.

Teorema 1.2.9 Suponhamos que λ é uma constante real e que lim (x,y)→(a,b)

f (x, y) e lim (x,y)→(a,b)

g (x, y)

existem. Então:

1. lim (x,y)→(a,b)

[f (x, y) + g (x, y)] = lim (x,y)→(a,b)

f (x, y) + lim (x,y)→(a,b)

g (x, y).

2. lim (x,y)→(a,b)

[λ × f (x, y)] = λ × lim (x,y)→(a,b)

f (x, y).

3. lim (x,y)→(a,b)

[f (x, y) × g (x, y)] = lim (x,y)→(a,b)

f (x, y) × lim (x,y)→(a,b)

g (x, y).

4. lim (x,y)→(a,b)

f (x, y)

g (x, y)

lim (x,y)→(a,b)

f (x, y)

lim (x,y)→(a,b)

g (x, y)

, se lim (x,y)→(a,b)

g (x, y) = 0.

5. lim (x,y)→(a,b)

λ = λ.

6. lim (x,y)→(a,b)

x = a.

7. lim (x,y)→(a,b)

y = b.

Exemplo 1.2.10 Calcule os seguintes limites:

1. lim (x,y)→(0,0)

x

2 − 2 y

3 + xy

lim (x,y)→(0,0)

x 2 − 2 y

3 + xy

2. lim (x,y)→(1,−1)

y

2 − x

2

2 xy + 2x 2

lim (x,y)→(1,−1)

y

2 − x

2

2 xy + 2x 2

= lim (x,y)→(1,−1)

(y − x) (y + x)

2 x (y + x)

= lim (x,y)→(1,−1)

y − x

2 x

Teorema 1.2.11 Sejam f : R 2 → R e g : R 2 → R tais que:

· lim (x,y)→(a,b)

f (x, y) = 0;

· g é limitada numa vizinhança de (a, b), isto é, ∃ L > 0 : |g (x, y)| ≤ L para todo o (x, y) naquela

vizinhança.

Então,

lim (x,y)→(a,b)

[f (x, y) × g (x, y)] = 0.

Definição 1.2.14 (Função Contínua) Seja f : D ⊂ R

2 → R e A = (a, b) um ponto de D, interior ou

fronteiro. Diz-se que f é contínua em (a, b) se

lim (x,y)→(a,b)

f (x, y) = f (a, b).

Se A = (a, b) ∈ D for um ponto interior, a definição anterior deverá ser entendida do seguinte modo:

∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 <

(x − a)

2

• (y − b)

2 < δ =⇒ |f (x, y) − f (a, b)| < ε.

Caso A = (a, b) ∈ D seja um ponto fronteiro, então f é contínua em (a, b) se:

∀ε > 0 ∃δ > 0 :

(x − a)

2

• (y − b)

2 < δ ∧ (x, y) ∈ D

=⇒ |f (x, y) − f (a, b)| < ε.

Diremos que f é contínua em D se for contínua em todos os pontos de D.

Usando o teorema 1.2.9, pode mostrar-se que a soma, o produto e o quociente de funções contínuas,

são funções contínuas em todos os pontos do seu domínio.

Uma função polinomial em duas variáveis é uma soma finita de parcelas do tipo cx

m y

n , onde c é

constante (real) e m e n são inteiros não-negativos.

Uma função racional é o quociente de funções polinomiais. Por exemplo, f (x, y) = x

2

• xy

3 − 2 é

uma função polinomial e g (x, y) =

1 + 2xy

x 3

• y

é uma função racional.

Teorema 1.2.15 As funções polinomiais e as funções racionais são contínuas em todo o seu domínio.

Teorema 1.2.16 Se f : D ⊂ R 2 → R é contínua em (a, b) e g é uma função de uma só variável e é

contínua em f (a, b) , então a função composta h = g ◦ f definida por h (x, y) = g [f (x, y)] é contínua em

(a, b).

Nas condições do teorema anterior, tem-se

lim (x,y)→(a,b)

g [f (x, y)] = g

[

lim (x,y)→(a,b)

f (x, y)

]

Exemplo 1.2.17 Averigue se a função h definida por h (x, y) = ln

x 2

• y 2
• 1

é uma função contínua.

Sejam f (x, y) = x

2

• y

2

• 1 e g (t) = ln (t) , então h (x, y) = (g ◦ f) (x, y). Como f e g são funções

contínuas, resulta do teorema 1.2.14 que h é uma função contínua em R 2 .

Exemplo 1.2.18 Mostre que a função

f (x, y) =

x

2 y

2

x^2 + y^2

se (x, y) = (0, 0)

1 se (x, y) = (0, 0)

apenas não é contínua no ponto (0, 0).

1. f é contínua em (x, y) = (0, 0) por ser uma função racional.
2. Vamos estudar lim (x,y)→(0,0)

f (x, y).

Considerando que (x, y) se aproxima de (0, 0) pelas trajectórias y = mx tem-se:

lim (x,y)→(0,0) y=mx

x

2 y

2

x 2

• y 2

= lim x→ 0

m

2 x

4

x 2 (1 + m 2 )

= lim x→ 0

m

2 x

2

1 + m 2

Assim, se existir o limite, ele só poderá ser igual a zero. Como f (0, 0) = 1, f é descontínua em

Exemplo 1.2.19 Estudar a continuidade da função f definida por

f (x, y) =

(x + y) sin

1 x

se x = 0

0 se x = 0 e y = 0

1 se x = 0 e y = 0

1. Sejam g (x, y) = x + y, h (x, y) =

x

, j (t) = sin (t). Tem-se:

f (x, y) = g (x, y) (j ◦ h) (x, y) para x = 0,

pelo que f é contínua nos pontos da forma (x, y) com x = 0.

2. Estudo da continuidade nos pontos da forma (0, a).

i) a = 0, lim (x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0

como lim (x,y)→(0,0)

f (x, y) = f (0, 0), logo a função não é contínua no ponto (0, 0) ;

ii) a = 0. Ao longo da recta y − a = x tem-se:

lim (x,y)→(0,a) y−a=x

f (x, y) = lim (x,y)→(0,a) y−a=x

(x + y) sin

x

= lim x→ 0

(2x + a) sin

x

não existe.

Logo f é descontínua nos pontos (0, a) com a ∈ R.

Definição 1.2.20 (Prolongamento por Continuidade) Seja

f : D ⊂ R 2 → R e (a, b) ∈/ D tal que existe lim (x,y)→(a,b)

f (x, y). Chama-se prolongamento por con-

tinuidade de f ao ponto (a, b), à função g que coincide com f em D e que no ponto (a, b) toma o valor

g (a, b) = lim (x,y)→(a,b)

f (x, y)

g (x, y) =

f (x, y) se (x, y) ∈ D

lim (x,y)→(a,b)

f (x, y) se (x, y) = (a, b)