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Trabalho Tensores – Parte 2 – Coordenadas Cartesianas
- A lei de Newton da viscosidade é dada por:
τ =−μ ( ∇ v +( ∇ v )
T
(
μ−κ
)
( ∇ ∙ v ) δ
Seja o δ um tensor unitário com componentes
δ
ij
.
Seja o vetor
v=δ
1
v
1
2
v
2
+δ
3
v
3
.
Determinar as componentes do tensor fluxo molecular de momento (tensão molecular) em coordenadas
cartesianas.
RESPOSTA :
Tensores são definidos por:
τ = ∑
i
∑
j
δ
i
δ
j
τ
ij ( 1 )
Assim, observa-se que a equação fornecida na questão não está em forma de notação tensorial. Desta forma, é
necessário que este tensor seja desenvolvido nesta notação. Para facilitar a resolução, faça-se a seguinte separação:
a ≡ ∇ v +( ∇ v )
T
e
b ≡ ∇ ∙ v ( 3 )
Logo, desenvolvendo
a :
∇ v =
(
∑
i = 1
3
δ
i
∂ x
i
)(
∑
j= 1
3
δ
j
v
j
)
∑
i= 1
3
∑
j= 1
3
δ
i
δ
j
∂ v
j
∂ x
i
( ∇ v )
T
∑
i= 1
3
∑
j= 1
3
δ
i
δ
j
∂ v
i
∂ x
j
Desta forma, substituindo a Eq. (4) e a Eq. (5) na Eq. (2), tem-se:
a ≡ ∇ v +( ∇ v )
T
(
∑
i= 1
3
∑
j = 1
3
δ
i
δ
j
∂ v
j
∂ x
i
)
(
∑
i= 1
3
∑
j= 1
3
δ
i
δ
j
∂ v
i
∂ x
j
)
Portanto:
∇ v +( ∇ v )
T
∑
i= 1
3
∑
j= 1
3
δ
i
δ
j
(
∂ v
i
∂ x
j
∂ v
j
∂ x
i
)
Para b, escreve-se:
∇ ∙ v=
(
∑
i= 1
3
δ
i
∂ x
i
)
(
∑
j= 1
3
δ
j
v
j
)
∑
i= 1
3
∑
j= 1
3
δ
i
∙ δ
j
∂ v
j
∂ x
i
∑
i= 1
3
∑
j= 1
3
(δ
ij
∂ v
j
∂ x
i
O delta de Kronecker se caracteriza pela seguinte proposição:
δ
ij
{
1 se i= j
0 se i≠ j
≡ δ
ij
[
δ
11
δ
12
δ
13
δ
21
δ
22
δ
23
δ
31
δ
32
δ
33
]
[
]
Dessa forma, aplicando essa proposição na Eq. (6):
∇ ∙ v=
∑
i= 1
3
∂ v
i
∂ x
i
Substituindo as Eq. (7) e Eq. (10) na equação do tensor fluxo molecular de momento, obtém-se:
τ =−μ
(
∑
i = 1
3
∑
j= 1
3
δ
i
δ
j
(
∂ v
i
∂ x
j
∂ v
j
∂ x
i
))
(
μ−κ
)
(
∑
i= 1
3
∂ v
i
∂ x
i
)
δ ( 11 )
Com o objetivo de separar as componentes do tensor τ , a Eq. (11) deve ser desenvolvida. Logo, tem-se:
τ =−μ
(
δ
1
δ
1
(
∂ v
1
∂ x
1
∂ v
1
∂ x
1
)
+¿ δ
1
δ
2
(
∂ v
1
∂ x
2
∂ v
2
∂ x
1
)
+¿ δ
1
δ
3
(
∂ v
1
∂ x
3
∂ v
3
∂ x
1
)
+¿ δ
2
δ
1
(
∂ v
2
∂ x
1
∂ v
1
∂ x
2
)
+¿ δ
2
δ
2
(
∂ v
2
∂ x
2
∂ v
2
∂ x
2
)
+¿ δ
2
δ ( 12 )
Seja δ um tensor unitário dado por:
δ=
∑
i= 1
3
∑
j= 1
3
δ
i
δ
j
δ
ij
Seja
δ
ij
o delta de Kronecker:
δ
ij
{
1 se i= j
0 se i≠ j
≡ δ
ij
[
δ
11
δ
12
δ
13
δ
21
δ
22
δ
23
δ
31
δ
32
δ
33
]
[
]
Logo, separando os termos de um tensor, observa-se que:
x
=−μ
[
δ
1
δ
1
(
∂ v
1
∂ x
1
∂ v
1
∂ x
1
)
+δ
1
δ
2
(
∂ v
1
∂ x
2
∂ v
2
∂ x
1
)
+δ
1
δ
3
(
∂ v
1
∂ x
3
∂ v
3
∂ x
1
)
]
(
μ−κ
)
(
∂ v
1
∂ x
1
∂ v
2
∂ x
2
∂ v
3
∂ x
3
)
δ
x
y
=−μ
[
δ
2
δ
1
(
∂ v
2
∂ x
1
∂ v
1
∂ x
2
)
+δ
2
δ
2
(
∂ v
2
∂ x
2
∂ v
2
∂ x
2
)
+δ
2
δ
3
(
∂ v
2
∂ x
3
∂ v
3
∂ x
2
)
]
(
μ−κ
)
(
∂ v
1
∂ x
1
∂ v
2
∂ x
2
∂ v
3
∂ x
3
)
δ
y
z
=−μ
[
δ
3
δ
1
(
∂ v
3
∂ x
1
∂ v
1
∂ x
3
)
+δ
3
δ
2
(
∂ v
3
∂ x
2
∂ v
2
∂ x
3
)
+δ
3
δ
3
(
∂ v
3
∂ x
3
∂ v
3
∂ x
3
)
]
(
μ−κ
) (
∂ v
1
∂ x
1
∂ v
2
∂ x
2
∂ v
3
∂ x
3
)
δ
z
Logo, considerando que:
τ = [
τ
11
+¿ τ
12
+¿ τ
13
+¿ τ
12
+¿ τ
22
+¿ τ
23
+¿ τ
13
+¿ τ
23
+¿ τ
33
]
[
δ
1
δ
1
δ
11
1
δ
2
δ
12
+¿ δ
1
δ
3
δ
13
+¿ δ
2
δ
1
δ
21
+¿ δ
2
δ
2
δ
22
Separando por componente:
τ
x
τ
11
=−μ
(
∂ v
1
∂ x
1
∂ v
1
∂ x
1
)
(
μ−κ
) (
∂ v
1
∂ x
1
∂ v
2
∂ x
2
∂ v
3
∂ x
3
)
τ
12
=−μ
(
∂ v
1
∂ x
2
∂ v
2
∂ x
1
)
τ
13
=−μ
(
∂ v
1
∂ x
3
∂ v
3
∂ x
1
)
