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Teoria da Computação 2
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Indução
Definições Indutivas
Prova por indução
Referência: Language, Proof and Logic
Jon Barwise e John Etchemendy, 1999
Capítulo: 16
Indução-
Indução
n Métodos de prova já vistos
- relacionam-se directamente com as propriedades das conectivas e quantificadores
n Excepções
- Prova por contradição: usa-se para qualquer tipo de fórmula
- Provas para afirmações numéricas
n Provar afirmações da forma
∀ x [P(x) → Q(x)]
- Prova condicional geral já usada para este efeito
- Indução necessária quando P(x) tem definição indutiva
Teoria da Computação 2
Indução-
Métodos indutivos e indução matemática
n No raciocínio científico:
- indução usada para retirar uma conclusão geral a partir de um número finito de observações n em termos lógicos: inferência não é justificada n novas observações podem invalidar a conclusão
n Indução matemática
- Conclusão geral, válida para um número infinito de instâncias, é justificada com uma prova finita
n Aplicação mais usual:
- Domínio dos inteiros
- indução aplicável porque a definição dos inteiros é naturalmente indutiva
n Uso não restrito a este domínio
Indução-
Imagem para a indução
n Cadeia de dominós
- quando se derruba o primeiro: todos caem
n Arranjo dos dominós -- definição indutiva
n Fazer cair todos -- provar teorema por indução
n Requisitos para que os dominós caiam todos:
- posições tais que quando um cai faz cair o seguinte (passo indutivo)
- o primeiro cai (passo de base)
n Número de peças que uma peça faz cair: sem restrições
- podem montar-se esquemas complexos
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Indução-
Inferência sobre definições indutivas
n A1 ∨ A2 ∧¬A3 é ambig-wff
n Prova:
A1, A2 e A3 são ambig-wff pela cláusula (1)
¬A3 é ambig-wff pela cláusula (2)
A2 ∧¬A3 é ambig-wff pela cláusula (3)
A1 ∨ A2 ∧¬A3 é ambig-wff pela cláusula (3)
Indução-
Inferência com indução sobre definição indutiva
n Proposição 1: Toda a ambig-wff tem pelo menos 1 símbolo
proposicional
n Prova:
- Base: n Cada símbolo proposicional contém 1 símbolo proposicional
- Indução: n p e q são ambig-wff que contêm pelo menos 1 símbolo proposicional n as ambig-wff geradas por (2) e (3) a partir destas também têm pelo menos 1 símbolo proposicional: n ¬p tem os símbolos proposicionais de p n p∧q, p∨q, p→q, p↔q têm os símbolos proposicionais de p e de q
- Cláusula (4) justifica a conclusão: nada é ambig-wff excepto os elementos base e as coisas geradas a partir deles aplicando (2) e (3)
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Indução-
Prova por indução
n Forma da afirmação: condicional geral
n Antecedente: definido indutivamente
∀ p [(p é ambig-wff) → Q(p)]
n Forma da prova
- Passo base : os elementos base satisfazem Q
- Passo indutivo : se alguns elementos base satisfazem Q, então o mesmo acontece com os que são gerados pelas cláusulas indutivas
Indução-
Uso de indução
n Proposição 2:
Nenhuma ambig-wff tem o símbolo ¬ imediatamente antes de uma das conectivas ∧, ∨, →, ↔ ∀p [(p é ambig-wff) → Q(p)] Q: não ter ¬ imediatamente antes de uma conectiva binária
n Prova:
- Passo base: Q(p) verifica-se para as ambig-wff dadas por (1)
- Passo indutivo: n Caso 1: por (2), se p tem propriedade Q, também ¬p n Caso 2: por (3) se p tem propriedade Q, também p∧q, p∨q, p→q, p↔q
n Problema: nenhum dos casos se pode provar
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Indução-
Definições indutivas em Teoria de Conjuntos
n Definições indutivas: podem exprimir-se na linguagem da
Teoria de Conjuntos
n Ambig-wff
- O conjunto S das ambig-wff é o menor conjunto que verifica
- (1) Cada símbolo de proposição está em S
- (2) Se p está em S, ¬p está em S
- (3) Se p e q estão em S, p∧q, p∨q, p→q, p↔q também estão
n (4) foi substituída pela referência a “o menor conjunto que
satisfaz (1), (2) e (3)”
Indução-
Menor conjunto que ...
n Menor conjunto que verifica propriedade
- subconjunto de qualquer conjunto que verifica a propriedade n Como sabemos se existe? n Lema 3: Se S é a intersecção de uma colecção χ de conjuntos, cada um dos quais verifica (1)-(3), S verifica (1)-(3) n Prova:
- Base: cada conjunto em χ tem os símbolos proposicionais; então a sua intersecção S também
- Passo indutivo: n Considerar p pertencente a S; p está em cada conjunto de χ n Cada conjunto em χ satisfaz (2), então ¬p está em cada conjunto de χ n Sejam p e q de S; se p e q estão em S estarão em cada um dos conjuntos de χ n Cada conjunto satisfaz (3), logo p∧q, p∨q, p→q, p↔q estão em S
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Indução-
Provas
n Para provar que todas as ambig-wff estão em Q
- conjunto S das ambig-wff é subconjunto de Q S ⊆ Q
- Se Q satisfaz (1) - (3)
- S ⊆ Q pela definição
n Problema na prova da Proposição 2
- Q não satisfaz (2) ou (3)
- Q’ é conjunto mais restrito, verifica (1) - (3)
- S ⊆ Q’ ⊆ Q
- logo S ⊆ Q : resultado pretendido
Indução-
Indução sobre os naturais
n Definição indutiva dos números inteiros
- 0 é um número natural
- Se n é natural , n+1 é natural
- Nada é um natural excepto os resultados da aplicação repetida de (1) e (2)
n Em teoria de conjuntos
ℵ, o conjunto dos naturais, é o conjunto mais pequeno que satisfaz (1) 0 ∈ ℵ (2) Se n ∈ ℵ, n+1 ∈ ℵ
n Prova indutiva sobre ℵ
∀x [(x ∈ ℵ → x ∈ Q]
De: (1) 0 ∈ Q (2) Se n ∈ Q, n+1 ∈ Q
Pode concluir-se ℵ ⊆ Q
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Indução-
Prova
n Para provar a propriedade do programa
n Lema 5: Dada uma entrada n, haverá exactamente n
iterações do ciclo while
- Prova: por indução ∀n [(n é entrada → Q(n)] Q: há exactamente n iterações do ciclo Caso base: n= 0 para x=0 não se entra no ciclo while Passo indutivo: Seja um número natural k para o qual Q(k) se verifica Se a entrada for k+1: x fica com k+ Entra-se no ciclo, é executado 1ª vez e x decrementado Agora x=k e o ciclo é executado k vezes No total: ciclo executado k+1 vezes
Indução-
Prova
n Lema 6: Depois de k iterações do ciclo while, y e z têm os
valores k 2 e 2k+1, respectivamente
∀k [k ∈ ℵ → Q(k)]
Q: depois de k iterações do ciclo while, y e z têm os valores k 2 e 2k+ Caso base: k= 0 ciclo não é executado, y=0= k 2 e z=1=2k+ Passo indutivo: Seja um número natural k para o qual Q(k) se verifica Após mais uma iteração do ciclo while: y = z+y = k 2 + 2k+1 = (k+1) 2 z = z+2 = 2k+1 +2 = 2(k+1) +
