Baixe Introdução às Experiências Aleatórias: Espaços Amostrais e Acontecimentos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
Teoria Elementar da Probabilidade
DETERMINÍSTICOS MODELOS MATEMÁTICOS PROBABILÍSTICOS
PROCESSO (FENÓMENO) ALEATÓRIO - Quando o acaso interfere na ocorrência de um ou mais dos resultados nos quais tal processo se pode traduzir. Face à conjugação de um determinado número de condições, um resultado aleatório pode ou não ocorrer.
Exemplo 1 : Lançamento ao ar de uma moeda equilibrada. Os resultados " SAI CARA " (F) ou " SAI COROA " (C) são aleatórios. Cada resultado aleatório é a consequência de inúmeras causas fortuitas.
Exemplo 2 : Lançamento de um dado e observação do resultado apresentado na face superior.
ASPECTOS PERTINENTES À CARACTERIZAÇÃO DE UMA EXPERIÊNCIA ALEATÓRIA
a) Cada experiência poderá ser repetida indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas.
b) Muito embora não sejamos capazes de afirmar que resultado particular ocorrerá, seremos capazes de descrever o conjunto de todos os possíveis resultados da experiência.
c) Quando a experiência for executada repetidamente, os resultados individuais parecerão ocorrer de uma forma acidental. Contudo, quando a experiência for repetida um grande número de vezes, aparecerá uma regularidade.
EXPERIÊNCIAS ALEATÓRIAS, ESPAÇOS AMOSTRAIS E ACONTECIMENTOS
EXPERIÊNCIA ALEATÓRIA - Designa uma situação à qual estejam associados, de forma não controlada, dois ou mais resultados possíveis.
Exemplos :
- Lançamento de uma moeda F-C ao ar uma vez ( resultados possíveis : " SAI CARA " (F) ou " SAI COROA " (C) ).
- Se o resultado for avaliado pelo número de F obtidos (nº de vezes em que " SAI CARA"), o espaço amostral é constituído pelo conjunto {0, 1, 2, 3}.
- Se o resultado for avaliado pela sequência de F e C então o espaço amostral é constituído por oito resultados possíveis.
S
1º lança/ 2º lança/ 3º lança/ F (^) • FFF F C (^) • FFC C F (^) • FCF F C (^) • FCC
C F • CFF
F C • CFC
C F • CCF
C • CCC
_________________________
Árvore de resultados Diagrama de Venn (utilizada na representação de resultados de experiências sequenciais)
Acontecimento - Conjunto de elementos de um espaço amostral, isto é, conjunto de resultados possíveis associados à realização de uma experiência aleatória.
Acontecimento simples/composto Acontecimento certo/impossível
- CCF
- FFF A 1 • FCC
- FCF A 2
- CFC • FFC • CFF • CCC
A 1 - " Saída de duas caras " (acontecimento composto)
A 2 - " Saída de três coroas " (acontecimento simples)
Como os acontecimentos são conjuntos, podemos aplicar- lhes as operações de reunião, intersecção e complementaridade, definindo novos acontecimentos.
S A∪B A A∪B - acontecimento que ocorrerá B sse A ou B (ou ambos) ocorrerem
S A∩B A A∩B - acontecimento que ocorrerá B sse A e B ocorrerem
S A A - acontecimento complementar A de A em S, ocorrerá sse A não ocorrer
Dois acontecimentos dizem-se mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer simultaneamente, isto é se A∩B = ∅
Define-se probabilidade de A como o limite de fA quando o número de repetições tende para infinito:
P A f
N
N A^ N N
( ) = lim = lim A →∞ →∞
- Definição axiomática Baseia-se em propriedades resultantes das definições anteriores e assenta nos três axiomas seguintes:
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(S) = 1
P (A∪B) = P(A) + P(B) se A e B mutuamente exclusivos
Propriedades:
P(A) + P(A) = 1 P(∅) = 0 P (A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) para A e B quaisquer A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
Métodos de enumeração
- Regra da multiplicação n 2
n 1 n 1 .n 2
n 2
procedimento 1
procedimento 2
procedim. 1 procedim. 2 n 1 n 2 n 1 + n 2
- Arranjos e Permutações Considerem-se n elementos distintos. Pretende-se contar o número de maneiras de escolher k elementos (0≤k≤n) de entre esses n , considerando a sua ordem. Existem:
A
n k n k
n (^) = −
Se k = n vem: A (^) nn = n !=Pn
- Combinações Considerem-se novamente n elementos distintos.O número de maneiras de escolher k elementos (0≤k≤n) de entre esses n, sem consider a sua ordem é:
C
n k
n k k n k
n (^) =
=^
- Permutações com alguns elementos repetidos Considerem-se novamente n elementos pertencentes a k espécies distintas.O número de permutações possíveis desses n elementos é dado por: n n n nk
1!^2!^ ⋯!
em que n 1 + n 2 + ⋯ + n (^) k=n.
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
P B A
P B A
P A
P A B P B
i P A B P B
i i^ i i i i
= (^) n
em que B 1 , B 2 ,…, Bn constituem uma partição do espaço amostral S, isto é: B (^) i ∩ Bj= ∅ , ∀i≠j
i
n ∪ = 1 Bi^ =S
P B ( i ) > 0 , ∀i
O resultado :
P A ( ) = (^) ∑ (^) in= 1 P A B( (^) i ) ⋅P B( (^) i)
é o enunciado do teorema da probabilidade total e obtém- se a partir da decomposição de A em acontecimentos mutuamente exclusivos, isto é:
A = ( A ∩ B 1 ) ∪ ( A ∩ B 2 ) ∪ ⋯∪ ( A ∩Bn)
Variáveis aleatórias
Seja ε uma experiência aleatória e S um espaço amostral associado a essa experiência. Uma função X, que associe a cada elemento s ε S um número real X(s), é uma variável aleatória. Sobre um mesmo espaço amostral podem ser definidas diferentes funções (variáveis aleatórias).
Contrado io da aplicaçao
discreto v a discreta continuo v a continua
min
É possível definir variáveis aleatórias mistas que correspondem à combinação dos conceitos de variáveis aleatórias discretas e contínuas.
O contradomínio da função corresponde ao domínio da variável aleatória ,Rx , que de certo modo, poderemos considerar como um outro espaço amostral associado à variável aleatória X e representando a característica numérica que nos interessa.
S Rx A B s • • X(s) X
Seja B um acontecimento no contradomínio Rx. Nesse caso define-se P(B) como:
P(B) = P(A) em que A = { s ε S : X(s) ε B }
Notação:
- X - variável aleatória
- x - valor que a variável aleatória assume
Variáveis aleatórias discretas
A variável aleatória X diz-se discreta se o número de valores possíveis para X isto é, Rx , for finito ou infinito numerável. Então X ∈ { x 1 , x 2 , x 3 , … }.
Função densidade de probabilidade
f X ( x ) : P a( ≤ X ≤ b ) = ∫a^ bf X( x )dx
Propriedades
- fX (x)^ ≥^ 0,^ ∀x∈ℜ
- (^) ∫ (^) −∞^ +∞ f (^) X( x (^) )dx= 1
Nota:
fX(x) dx = probabilidade de X ∈ [x, x + dx] ≠ P(X = x) = 0
Função de distribuição (ou de probabilidade acumulada)
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ −∞^ x f X( u )du
Propriedades
- FX (x) é monótona crescente :
x 2 > x 1 ⇒ FX (x 2 ) ≥ FX (x 1 )
- FX (- ∞ ) = 0
- FX (+ ∞ ) = 1
- P ( a ≤ X ≤ b ) = FX ( b ) - FX ( a )
- FX (x) ≥ 0 , ∀x
d F x d x
X (^) =f (^) X x
CARACTERIZAÇÃO ADICIONAL DAS V. ALEATÓRIAS
As distribuições de probabilidade podem ser caracterizadas recorrendo a parâmetros que, de uma forma sintética, dão informação relevante sobre as propriedades dessas distribuições.
Os parâmetros habitualmente utilizados são o valor esperado e a variância. Para analisar a relação entre duas variáveis aleatórias recorremos também à covariância e ao coeficiente de correlação linear.
VALOR ESPERADO
Variáveis aleatórias discretas
Seja X uma variável aleatória discreta, com valores
possíveis x 1 , x 2 , ... , xn, .... Seja p X ( xi) = P( X=xi) ,
i=1,2, ... , n,.... O valor esperado de X ( esperança matemática de X, expectância de X ou valor médio de X ) é definido do seguinte modo:
∞
i = 1
E X xi pX xi
Variáveis aleatórias contínuas
Seja X uma variável aleatória contínua com função
densidade de probabilidade fX ( x). O valor esperado de X
é definido como:
E ( X) = ∫ −+ ∞∞ x⋅fX( x) dx
- O valor esperado E(X) só existirá, se o integral for absolutamente convergente, isto é se:
∫ −+ ∞ ∞ x^ ⋅fX^ (^ x)^ dx<∞
- Se fX ( x) só estiver definida como diferente de zero num dado intervalo [ a, b ] então:
E ( X) =∫a b x⋅fX( x) dx
PROPRIEDADES DO VALOR ESPERADO
Seja X uma variável aleatória (discreta ou contínua), a, b e c constantes e g(X) e h(X) duas funções reais de X cujo valor médio existe. Então:
i) E ( c) =c
ii) E ( X−μ) = 0
iii) E (^ c⋅X)^ =c⋅E(^ X)
iv) E[ g( X) +h( X)] =E[ g( X)] +E[ h( X)]
v) Se g ( x) ≤ h( x)para todo o x, então E [ g( X)] ≤E[ h( X)]
vi) E ( a +b⋅X) =a+b⋅E( X)
vii) V ( X) ≥ 0
viii) V ( X) = 0 ⇒ X=μ. Nestas condições P ( X= μ) = 1 e
X é uma variável pseudo-aleatória.
ix) V ( a+ b⋅X) =b^2 ⋅V( X) ; σ a +b⋅X = b ⋅σX
x) V ( X) =E(X 2 ) −[ E( X)]^2 =E(X 2 ) −E^2 ( X)
xi) Se X é uma variável aleatória tal que E ( X) =μ e
V ( X) = σ^2 X então a variável aleatória
X
X
Z
σ
− μ = tem
parâmetros E ( Z) = 0 e V ( Z) = 1.
As propriedades iii) e iv) podem resumir-se dizendo que o operador E é linear.
A INEQUAÇÃO DE MARKOV E CHEBISHEV
Se conhecermos a distribuição de probabilidade de uma v.a. X, podemos calcular E(X) e Var(X). Contudo o inverso não é verdadeiro. Isto é, o conhecimento de E(X) e Var(X) não permite reconstituir a distribuição de probabilidade de X.
Porém é possível estabelecer um limite para a probabilidade de X variar num determinado intervalo, de acordo com o teorema seguinte e respectivos corolários.
TEOREMA: Seja X uma v.a. (discreta ou contínua) e h(x) uma função desta variável aleatória, tal que h(x) é não negativa. Se E [ h( x)]existir, então:
[ ( ) ]
[ ( )] C , C^0
E h x P h x ≥ C ≤ ∀ >
DESIGUALDADE DE MARKOV: Caso X seja uma v.a. não negativa, fazendo h(x) = X, vem que:
[ ]
C , C^0
E X
P X≥ C ≤ ∀ >
DESIGUALDADE DE CHEBISHEV: Sendo h ( x) =( X−μ)^2
e C = k^2 ⋅σ^2 ( k > 0), temos que:
[ ] (^2) k
P X−μ ≥ k⋅σ ≤^1
ou de modo equivalente:
[ ] (^2) k
P X−μ < k⋅σ > 1 −^1
- A desigualdade de Chebyshev pode também aparecer sob a seguinte forma:
[ ]
C
P X C
σ^2 −μ ≥ ≤
- A partir desta desigualdade podemos concluir que, se a V(X) for pequena, a maior parte da distribuição de probabilidade de X estará “concentrada” na vizinhança de E(X).
- O seguinte teorema resulta também da inequação de Chebishev:
TEOREMA: Admitamos que V(X)=0. Então:
P [^ X=μ]^ = 1
Esta mesma conclusão é obtida se E(X)=0 e E ( X^2 ) = 0
uma vez que neste caso V ( X) = E(X 2 ) = 0.
