Dimas Francisco Rocha
Dissertação de Mestrado do Programa de Mestrado Profissional em
Matemática em Rede Nacional (PROFMAT)
Pontos aleatórios na natureza: uma introdução aos processos
de Poisson e suas aplicações
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Conceitos básicos sobre probabilidades em espaços amostrais, incluindo a definição de eventos, espaços amostrais, probabilidades condicionais, funções de probabilidade e distribuições de probabilidade. O documento também inclui exemplos para ilustrar as ideias apresentadas.
Tipologia: Esquemas
2019
1 / 75
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Dimas Francisco Rocha
Dissertação de Mestrado do Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT)
Pontos aleatórios na natureza: uma introdução aos processos
de Poisson e suas aplicações
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,com os dados inseridos pelo(a) autor(a)
Bibliotecários responsáveis pela estrutura de catalogação da publicação de acordo com a AACR2:Gláucia Maria Saia Cristianini - CRB - 8/ Juliana de Souza Moraes - CRB - 8/
R672p Rocha,processos de PoissonPontos aleatórios^ Dimas na natureza:e suas aplicações / Dimas uma introdução aos Rocha;Carlos, 2018. orientador Pablo Martín Rodriguez. -- São 75 p.
em MestradoDissertação Profissional^ (Mestrado^ - Programa de Pós-Graduaçãoem Matemática em Rede Nacional) -- Instituto de Ciências MatemáticasComputação, Universidade de São Paulo, 2018. e de
aleatórias.1. Teoria das probabilidades. 2. Variáveis 3. Distribuição de Poisson. 4. Processos de Poisson.Título. I. Martín Rodriguez, Pablo, orient. II.
Dimas Francisco Rocha
Random points in nature: an introduction to Poisson processes and their applications
Master dissertation submitted to the Institute of Mathematics and Computer Sciences – ICMC- USP, in partial fulfillment of the requirements for the degree of Mathematics Professional Master's Program. FINAL VERSION Concentration Area: Professional Master Degree Program in Mathematics in National Network Advisor: Prof. Dr. Pablo Martin Rodriguez
USP – São Carlos April 2018
As pessoas companheiras que compartilham e compartilharam momentos de alegrias, coragem e determinação me mostrando que nossos sonhos é o combustível que bombeia nossos corações.
RESUMO
ROCHA, D.F. Pontos aleatórios na natureza: uma introdução aos processos de Poisson e suas aplicações. 2018. 75p. Dissertação (Mestrado em Ciências – Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2018.
Neste trabalho é apresentado o processo de Poisson, através de exemplos existentes e identificados na natureza e em situações presentes no cotidiano. A distribuição de Poisson foi desenvolvida pelo matemático Siméon Denis Poisson com o intuito de aplicar a teoria das probabilidades em julgamentos criminais. Atualmente é possível aplicar este conceito em problemas que envolvem de modo geral fenômenos aleatórios de chegadas, desenvolvimento em colônia de bactérias, dentre outros. O processo de Poisson consiste em um modelo probabilístico adequado para um grande número de fenômenos observáveis e é de grande importância no estudo da teoria das filas. Ao longo do texto serão apresentadas e discutidas definições, axiomas e condições a fim de esclarecer e facilitar o entendimento do assunto. Uma série de exemplos são detalhados, demonstrando assim o amplo número de possibilidades de aplicações dessa teoria.
Palavras-chave : Teoria das probabilidades. Variável aleatória. Distribuição de Poisson. Processos de Poisson.
ABSTRACT
ROCHA, D.F. Random points in nature: an introduction to Poisson processes and their applications. 2018. 75 p. Dissertação (Mestrado em Ciências – Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2018.
This work the Poisson process was presented and some examples exist and identified in the nature and in situations present in the daily. The Poisson distribution was developed by the mathematician Siméon Denis Poisson in order to apply Probability Theory in criminal trials. At present, it is possible to apply these concep to problems that involve, in general, random phenomena of arrivals, development in colony of bacteria, among others. The Poisson process consists of a suitable probabilistic model for a large number of observable phenomena and is of great importance in the study of queue theory. Throughout the text will be presented and discussed definitions, axioms and conditions in order to clarify and facilitate the understanding of the subject. Some examples that were detailed, thus demonstrating the larger number of possibilities of applications of this theory.
Keywords : Theory of probabilities. Random variable. Poisson distribution. Poisson processes.
INTRODUÇÃO
Diante do grande número de situações que envolvíam incertezas e dúvidas para tomadas de decisões presentes no cotidiano do homem, no decorrer dos anos, surgiu a necessidade de desenvolver uma ferramenta matemática que pudesse resolver estes problemas e a esta ferramenta deu-se o nome de teoria das probabilidades. A teoria das probabilidades surgiu em meados do século XV II, época esta em que o homem começou a desenvolver técnicas para quantificar os riscos dos seguros de vida. Nesta mesma época o interesse na resolução dos jogos de azar também se expandiu. Segundo [3, DANTE] “antigamente jogava-se não só em apostas, mas também em decisões de disputas, nas divisões de heranças, entre outras”. Dentre os inúmeros matemáticos tais como Pascal, Fermat, Bernoulli, surge um mate- mático francês com o nome de Poisson que desenvolveu sua teoria. Os novos conhecimentos propostos por Poisson contribuíram para o avanço e desenvolvimento do estudo da teoria das probabilidades. Neste trabalho discutimos sobre um desses avanços, relacionado ao conceito de processo de Poisson. Neste estudo, na busca de demonstrar de forma prática como a teoria das probabilidades alicerçada no processo de Poisson pode estar presente em nosso dia a dia será discutido alguns exemplos que vão desde problemas envolvendo filas de clientes até o caso das bombas lançadas em Londres durante a segunda guerra mundial. Os objetivos deste trabalho centram-se em propiciar que alunos e futuros profissionais da área, familiarizam-se com tópicos básicos e especiais da teoria das probabilidades para discutir questões teóricas e adquiram conhecimento sobre aplicações atuais dos tópicos estu- dados. Uma outra proposta do trabalho é sugerir atividades que possam ser desenvolvidas no Ensino Fundamental e Médio de forma paralela à diretriz curricular. Na primeira parte, serão revisados os aspectos históricos e conceituais fundamentais da teoria das probabilidades, incluindo definições e propriedades de variáveis aleatórias. Na segunda parte, será iniciado o estudo de processos de Poisson e na etapa final suas aplicações. Foram pesquisadas obras e referenciais teóricos de conceituados autores que tratam do
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assunto, como: Dante, Hacking, Keeler, Meyer tendo como bibliografia principal o livro “Probabilidade um curso moderno com aplicações” de Sheldon Ross e aplicações selecionadas a partir de uma revisão da literatura científica recente. No primeiro capítulo será introduzido os conceitos básicos referentes aos aspectos teóricos e conceituais necessários para a compreensão e resolução dos problemas que serão apresen- tados no decorrer do trabalho. O presente trabalho foi organizado de maneira gradual onde apresentou-se primeiramente os axiomas da probabilidade, as variáveis aleatórias, esperança e variância, distribuições de probabilidades discretas, as variáveis aleatórias de Bernoulli e binomial, a variável aleatória de Poisson e algumas atividades de aplicação. No segundo capítulo será analisado o processo de Poisson, que pode ser descrito como um modelo matemático para descrever os instantes de ocorrência de algum evento de interesse, tais como: chegada de clientes a uma agência bancária, ligações recebida em uma central telefônica, ocorrência de fenômenos meteorológicos em uma determinada região, entre outros exemplos da ecologia, biologia e geologia.
Figura 1.1: Kolmogorov Fonte: Jacobs, 2017.
matemático soviético do século XX, que teve diversos trabalhos publicados em Topologia, Geometria e Álgebra, dentre outras áreas. No ano de 1933 publicou o livro “Fundamentos da Teo- ria da Probabilidade”, sendo esta a primeira tentativa de tratar este assunto com rigor a partir de axiomas, definições, proposições e teoremas. “A teoria da probabilidade, como uma disciplina ma- temática pode e deve ser desenvolvida por axiomas exatamente da mesma maneira que a geometria e a álgebra. Isso significa que de- pois de termos definido os elementos a serem estudados e as suas relações básicas, todas as exposições adicionais devem ser basea- das exclusivamente nesses axiomas, independentemente do significado concreto usual desses elementos e suas relações”. [13, KOLMOGOROV]
Quando se inicia o estudo da probabilidade é importante saber que o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. Este será denotado neste texto pela letra grega Ω. Todo subconjunto de Ω será denominado como um evento do espaço amostral Ω, que em geral é indicado por uma letra maiúscula do alfabeto e um número real qualquer P (E) será o valor associado a probabilidade da ocorrência do evento E, ou simplesmente a probabilidade de E.
Definição 1.1 (Probabilidade). Considere um experimento aleatório cujo espaço amostral é Ω. Para cada evento E do espaço amostral Ω, assuma que um número P (E) seja definido e satisfaça os axiomas^1 a seguir.
Axioma 1. Se E ⊂ Ω, então 0 ≤ P (E) ≤ 1
Axioma 2. P (Ω) = 1
Axioma 3. Se E 1 ⊆ Ω, E 2 ⊂ Ω e E 1 ∩ E 2 = ∅ então P (E 1 ∪ E 2 ) = P (E 1 ) + P (E 2 ).
Deste modo, tem-se do Axioma 1 que a probabilidade de qualquer evento está limitada em um intervalo fechado admitindo 0 para o valor mínimo (nunca acontece) e 1 para o valor máximo (sempre acontece). O Axioma 2 afirma que a probabilidade do espaço amostral é igual a 1 , o que é intuitivo pois “sempre” ocorrerá algum resultado do experimento. Já o (^1) Denotar-se-a Axioma 1 por (A1), Axioma 2 por (A2) e Axioma 3 por (A3).
Axioma 3 diz que para eventos mutuamentes exclusivos^2 , ou seja, estes eventos são disjuntos, a probabilidade de pelo menos um desses eventos ocorrer é justamente a soma de suas respectivas probabilidades. Os axiomas são proposições verdadeiras e não demonstráveis, tem-se como consequên- cia destes as propriedades a seguir que são de fundamental importância para construção e fundamentação da teoria da probabilidade.
Propriedades
- Sabe-se que Ω = Ω ∪ ∅ e além disto os eventos são mutuamente exclusivos, logo: P (Ω ∪ ∅) A =^3 P (Ω) + P (∅),
ora, mas A 2 diz que P (Ω) = 1, logo P (∅) = 0. Isto é, o evento vazio tem probabi- lidade nula.
- Seja E um evento do espaço amostral Ω e Ec^ o evento complementar. Note que E ∪ Ec^ = Ω e E ∩ Ec^ = ∅, logo: 1 A =^2 P (Ω) = P (E ∪ Ec) A =^3 P (E) + P (Ec) o que implica P (Ec) = 1 − P (E) que é a probabilidade do evento complementar.
- Para quaisquer E e F ⊂ Ω, se E ⊂ F, então P (E) ≤ P (F ).
F = F ∩ Ω
= F ∩ (E ∪ EC^ )
= (F ∩ E) ∪ (F ∩ EC^ ) união disjuntas P (F ) = P (F ∩ E) ∪ P (F ∩ EC^ ) = P (F ∩ E) + P (F ∩ EC^ ) = P (E) + P ︸ (F (^) ︷︷∩ EC^ ︸) ≥ 0 Portanto, P (E) ≤ P (F ). (^2) Dois eventos distintos, E e F contidos em Ω, estes são ditos mutuamente exclusivos se E ∩ F = ∅.
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