[TEP] Apresentação Elasticidade, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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ELASTICIDADE

DANIEL MARTIM WINTER

GILBERTO LUIZ NICKELLE JUNIOR

ESTADO PLANO DE TENSÕES E DE DEFORMAÇÕES

Considerações iniciais:

• (^) Este estudo poderá ser aplicado a um corpo composto

por um material que siga a lei de Hooke e que seja

isótropo.

• (^) Isotropia é a propriedade de o material ter o mesmo

comportamento elástico em qualquer direção.

ESTADO PLANO DE TENSÕES E DE DEFORMAÇÕES

De acordo com a figura anterior, temos as seguintes equações diferenciais de equilíbrio: Onde X e Y são forças de campo como gravitacional, centrífuga, etc. Assumindo que as forças de campo são nulas, temos,

ESTADO PLANO DE TENSÕES E DE DEFORMAÇÕES

Supondo que as tensões podem ser dadas pela função tensão de Airy Ψ, isto é, então as equações de equilíbrio ficam,

ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES

As equações de deformações para estado plano de deformação são:

ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES

Substituindo essas equações na equação da compatibilidade, teremos: Introduzindo a função tensão de Airy Ψ, temos,

ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES

Esta equação pode ser escrita como: e também como: Essa é a equação Biharmônica ou de Poisson-Laplace. Obs: satisfaz condição de equilíbrio e de compatibilidade das deformações.

EQUAÇÃO BIHARMÔNICA

A equação geral da elasticidade para problemas de estado plano de deformação ou estado plano de tensões é dada pela equação diferencial Biharmônica, Onde Ψ é a Função Tensão de Airy. Encontrando-se Ψ(x,y) for conhecida temos as tensões e as condições de equilíbrio. x,y) que satisfaz a equação biharmônica, teremos, equação geral da elasticidade plana ou bidimensional

EQUAÇÃO DE LAPLACE

É uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação de alta relevância, pois é descritora modelar de comportamentos em vários campos da ciência. A teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial. Astronomia Eletromagnetismo Mecânica dos Fluidos Funções Potencial Gravitacional Funções Potencial Elétrica Funções Potencial Fluídica

EQUAÇÃO DE LAPLACE

Definição: Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais duplamente diferenciáveis, φ , de variáveis reais, x, y, e z, tal que: Isso é frequentemente escrito como ou onde div é o divergente, e grad é o gradiente

EQUAÇÃO

DIFERENCIAL

BIHARMÔNICA

=

EQUAÇÃO DE

POISSON-LAPLACE

Equação geral da elasticidade para problemas de

estado plano de deformação ou estado plano de

tensões

EQUAÇÃO DE

LAPLACE

Trata-se de uma equação diferencial de alta

relevância, pois é descritora modelar de

comportamentos em vários campos da ciência.

SOLUÇÃO = EQUAÇÕES HARMÔNICAS

FUNÇÃO TENSÃO DE AIRY

Em Coordenadas Cartesianas: Qualquer tensão função de Airy usada na solução de um problema plano deve satisfazer as equações: e E prover as tensões das equações: as quais satisfazem as condições de contorno definidas. Algumas tensões funções de Airy comumente usadas são polinômios em x e y, polinômios estes que vão do primeiro ao quinto grau.

FUNÇÃO TENSÃO DE AIRY

Em termos de um polinômio de 3º grau: Das equações anteriores, Promove uma variação linear do campo de tensão sobre o corpo.

FUNÇÃO TENSÃO DE AIRY

Em termos de um polinômio de 4º grau: Das equações anteriores, Promove um campo de tensão sobre o corpo, o qual corresponde a um polinômio de 2º grau.