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Tese apresentada à Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa do Instituto
Tecnológico de Aeronáutica, como parte dos requisitos para obtenção do título
de Mestre em Ciências no Curso de Pós-Graduação em Física, área de Física
Nuclear.
César Augusto Teixeira
ESTUDO DO ESPALHAMENTO DE DÊUTERON NUM
MODELO MICROSCÓPICO
Prof. Dr. Ricardo Affonso do Rego
Orientador
Prof. Dr. Homero Santiago Maciel
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Campo Montenegro
São José dos Campos, SP – Brasil
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Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) Divisão Biblioteca Central do ITA/CTA Teixeira, César Augusto Estudo do Espalhamento de Dêuteron num Modelo Microscópico / César Augusto Teixeira. São José dos Campos, 2007. Número de folhas no formato 66f. Instituto Tecnológico de Aeronáutica – Tese de mestrado – Curso de Física – Área de Física Nuclear, 2007. Orientador: Prof. Dr. Ricardo Affonso do Rego.
1.Espalhamento elástico. 2.Reações por dêuteron. 3.Aproximação WKB. 4.Seções de choque. 5.Aproximação semiclássica 6.Física nuclear. I. Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial. Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Divisão de Ensino Fundamental. II.Título
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
TEIXEIRA, César Augusto. Estudo do Espalhamento de Dêuteron num Modelo Microscópico. 2007. 66f. Tese de mestrado – Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos.
CESSÃO DE DIREITOS
NOME DO AUTOR: César Augusto Teixeira TÍTULO DO TRABALHO : Estudo do Espalhamento de Dêuteron num Modelo Microscópico TIPO DO TRABALHO/ANO : Tese / 2007
É concedida ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica permissão para reproduzir cópias desta tese e para emprestar ou vender cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta tese pode ser reproduzida sem a sua autorização.
César Augusto Teixeira Rua Jeca Tatu, 215 Casa 01, Condomínio Beija Flor, Vila Urupes CEP 08615-020 - Suzano-SP
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À Deus acima de tudo, aos meus pais: Daniel Teixeira e Ana Rosa Teixeira e à minha esposa Viviane, minha eterna companheira.
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Agradecimentos
Primeiramente e acima de tudo à Deus por nos proporcionar a vida e tudo o mais.
À minha família, meus pais principalmente, por ter garantido uma criação com valores e exemplos, fatores principais que me fizeram chegar até aqui.
Ao Prof. Ricardo, meu orientador, pela paciência e perseverança para comigo, mesmo quando tudo parecia perdido.
Ao professor Brett Vern Carlson, pessoa da minha mais profunda estima e admiração, agradecimento especial por me fornecer o programa do FORTRAN e dados experimentais de seção de choque, os quais foram valiosos.
Ao professor Rubens de Melo Marinho, pessoa a quem admiro muito, por me fornecer a classe Látex do ITA e o MikiTex for Windows.
À toda banca examinadora, por ter aceitado examinar e criticar meu trabalho, para que suas arestas fossem aparadas.
Aos meus colegas de caminhada na pós-graduação do ITA: Denis, Ícaro, Marcelo, Ediana, Marcelo, e todos os demais.
À Secretaria Estadual de Educação pelo incentivo na continuidade da formação acadêmica e profissional de seus professores.
Aos meus amigos mais próximos e colegas de trabalho, Carlos Tacachi Io e todos os demais, pelo apoio dado durante todo o tempo.
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Resumo
Neste trabalho estudamos o espalhamento elástico do sistema 2 d + núcleo usando um modelo óptico microscópico. Consideramos explicitamente os canais não-elásticos de knockout, com várias aproximações e de fotodesintegração. Com este modelo calculamos a seção de choque total de reação e a seção de choque diferencial do canal elástico para vários sistemas através de um programa computacional desenvolvido. Utilizamos o método de ondas parciais l e a abordagem semiclássica do parâmetro de impacto b com defasagem da aproximação WKB. Com este modelo consideramos a correlação espacial na seção de choque total de reação e na seção de choque diferencial do canal elástico. As seções de choque calculadas são comparadas com dados experimentais. A correlação espacial contribui para um melhor acordo com os dados experimentais da seção de choque total de reação.
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Abstract
We study the elastic scattering for 2 d + nucleus systems using a microscopic optical model. We consider explicitly knockout with various approximations and the photodisintegration as the absorptive channels. With this model, we evaluate the total reaction cross section and the elastic differential cross section on several systems by a computational program developed. We use the partial waves method and the semi-classical impact parameter b approach with the WKB phase shift expression. With this model, we consider spatial correlations on the total reaction cross section and the elastic differential cross section. The calculated cross sections are compared with experimental data. The spatial correlation contributes for a better agreement with the total reaction cross section experimental data.
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Lista de Figuras
Figura 3.1 (^) Densidade de nucleons do 2 d , 16 O , 40 Ca e 208 Pb versus distância radial r ..... 31
Figura 3.2 (^) Potencial de knockout do 16 O , 40 Ca e 208 Pb , à energia de 97MeV, sem
inclusão do princípio de Pauli e momento k ( r =∞)............................................ 32
Figura 3.3 (^) Dependência com a energia do termo de velocidade do movimento relativo h v ,
e das seções de choque total próton-próton e nêutron-próton ............................. 33 Figura 3.4 (^) Potencial de knockout do sistema 2 d + 40 Ca para energias de 25, 97 e 300
MeV, sem inclusão do princípio de Pauli e momento k ( r =∞).......................... 34
Figura 3.5 Comparação dos momentos local e no infinito e do momento de Fermi do
núcleo alvo para o sistema 2 d + 208 Pb a 97MeV .................................................. 35 Figura 3.6 (^) Potencial de knockout do 40 Ca para energias de 25, 97 e 300 MeV, com
inclusão do princípio de Pauli, nas duas abordagens do momento k ................. 36 Figura 3.7 (^) Comportamento radial do potencial imaginário microscópico para o 40 Ca^ nas
energias de 25, 97 e 300 MeV ............................................................................. 37 Figura 3.8 (^) Potencial efetivo em função da distância radial r , para várias ondas parciais l
do sistema 2 d + 208 Pb a 97MeV ........................................................................... 38 Figura 3.9 (^) Parte real da defasagem WKB e de Schrödinger em função da onda parcial l ... 39
Figura 3.10 Parte imaginária da defasagem WKB e de Schrödinger em função da onda parcial l ................................................................................................................ 40 Figura 3.11 (^) Distribuição angular da seção de choque elástica para o sistema n + 208 Pb com
W (^) 0 = − 1 , 0 ⋅ 10 −^8 MeV , obtida através da defasagem WKB e da equação de Schrödinger .......................................................................................................... 41 Figura 3.12 (^) Distribuição angular da seção de choque elástica para o sistema n + 208 Pb com
W (^) 0 = − 10 MeV , obtida através da defasagem WKB e da equação de Schrödinger .......................................................................................................... 42 Figura 3.13 (^) Distribuição angular da seção de choque elástica para o sistema p + 208 Pb com
W (^) 0 = − 1 , 0 ⋅ 10 −^8 MeV , obtida através da defasagem WKB e da equação de Schrödinger .......................................................................................................... 42
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Figura 3.14 (^) Distribuição angular da seção de choque elástica para o sistema p + 208 Pb com
W (^) 0 = − 10 MeV , obtida através da defasagem WKB e da equação de Schrödinger .......................................................................................................... 43 Figura 3.15 Coeficiente de transmissão T ( b ) em função do parâmetro de impacto b do
sistema 2 d + 208 Pb , para várias energias .............................................................. 45 Figura 3.16 Coeficiente de transmissão T ( b ) em função do parâmetro de impacto b , para
vários sistemas, a energia de 97 MeV ................................................................. 46 Figura 3.17 (^) Seção de choque total de reação para 16 O^ , 40 Ca e 208 Pb nas energias de 38,
65 e 97 MeV obtidas a partir do potencial de konockout sem e com princípio de Pauli ................................................................................................................ 47 Figura 3.18 Seção de choque total de reação em função da energia de laboratório, para diversos sistemas, com o potencial de knockout incluído o fator de Pauli, no momento local, k ( r )e no infinito, k ( r =∞)....................................................... 48
Figura 3.19 Seção de choque total de reação em função da energia de laboratório, para diversos sistemas, com potencial de knockout e potencial de knockout com o de fotodesintegração, com a inclusão do princípio de Pauli e momento local k ( r )..................................................................................................................... 50
Figura 3.20 Seção de choque total de reação em função da energia de laboratório, para diversos sistemas, com e sem correlação espacial, com os potenciais de knockout e fotodesintegração, com inclusão de Pauli e momento local k ( r )..... 51
Figura 3.21 Comparação da distribuição angular, com e sem acréscimo do canal de
fotodesintegração, do sistema 2 d +^16 O , nas energias de laboratório de 38, 65 e 97 MeV ................................................................................................................ 52 Figura 3.22 Comparação da distribuição angular, com e sem acréscimo do canal de
fotodesintegração, do sistema 2 d + 40 Ca , nas energias de laboratório de 38, 65 e 97 MeV ............................................................................................................. 53 Figura 3.23 Comparação da distribuição angular, com e sem acréscimo do canal de
fotodesintegração, do sistema 2 d + 208 Pb , na energia de laboratório de 38 MeV. 54 Figura 3.24 Comparação da distribuição angular, com e sem acréscimo do canal de
fotodesintegração, do sistema 2 d + 208 Pb , na energia de laboratório de 65 MeV. 54 Figura 3.25 Comparação da distribuição angular, com e sem acréscimo do canal de fotodesintegração, do sistema 2 d + 208 Pb , na energia de laboratório de 97 MeV. 55
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Lista de Tabelas
Tabela 3.1 (^) Seção de choque total de reação para W (^) 0 = − 10 MeV , calculada através da
defasagem WKB e pela equação de Schrödinger ............................................. 40 Tabela 3.2 (^) Dependência de bMAX e l (^) MAX com a energia e o número de massa do alvo .... 44
Tabela 3.3 Comparação da seção de choque total de reação σR nas abordagens: 1o^ ) de
ondas parcial l e o do parâmetro de impacto b , e 2o^ ) O momento k ( r =∞) com o momento local k ( r )............................................................................... 49
Tabela 3.4 Seção de choque total de reação com e sem correlação espacial ..................... 52
1. INTRODUÇÃO
O processo de espalhamento constitui um meio de se obter quantidades observáveis de
interesse na física nuclear [1]. Alguns desses observáveis como a seção de choque total de
reação, pode ser obtida por meio de diversos modelos microscópicos, os quais podem ser
testados devido à disponibilidade de dados experimentais [2]. Outra quantidade observável de
interesse é a seção de choque diferencial. Através dessas quantidades podemos testar os
modelos da interação nuclear entre os nucleons.
Na colisão entre dois núcleos, diversos processos podem ocorrer. O principal deles é o
espalhamento elástico presente em todas as colisões. Este processo é caracterizado por não
alterar os estados internos dos núcleos envolvidos, conservando a energia cinética do sistema
de centro-de-massa [3]. Outros canais não-elásticos podem estar presentes no processo de
colisão juntamente com o canal elástico. Os processos não-elásticos, dentre os quais estão o
de knockout e de fotodesintegração, são também conhecidos por canais de reação. Os mais
conhecidos são os canais inelástico e de rearranjo.
O modelo óptico é amplamente usado na descrição do processo de espalhamento entre
núcleos [4-9]. O potencial nuclear deste modelo é complexo, isto é, apresenta potencial
nuclear real e imaginário. Na descrição do espalhamento elástico, com a presença de outros
canais não-elásticos, a parte imaginária do potencial nuclear refere-se aos processos de
reação.
Na análise dos dados experimentais é comum o uso de potencial complexo com forma
espacial pré-estabelecida com parâmetros ajustados a tais dados [7,8,11,12]. O potencial de
Woods-Saxon e sua derivada, o potencial de superfície, são as formas mais utilizadas.
Existem modelos teóricos para o potencial óptico, baseados na abordagem da matriz T
nucleon-nucleon e matriz G da matéria nuclear [12,13].
outros modelos e com dados experimentais; finalmente o quarto capítulo apresenta as
conclusões do estudo.
2 DESCRIÇÃO QUÂNTICA DO PROCESSO DE
ESPALHAMENTO
2.1 Solução da equação de Schrödinger para o problema de espalhamento
A mecânica quântica é a abordagem adequada para a análise do espalhamento nuclear.
Vamos considerar a colisão entre o núcleo incidente de massa mp e núcleo alvo de massa mT
no seu sistema de centro-de-massa de energia E = ECM , numa abordagem não-relativística e
sem a inclusão de spin. Esta energia se relaciona com a energia de laboratório E (^) L , p
L m
E = E
onde p T
p T m m
mm
μ = + , é a massa reduzida do sistema. A função de onda, que descreve o
espalhamento destes núcleos através do potencial radial V ( r ), satisfaz a equação de
Schrödinger,
2
− hμ ∇φ E r r + V r φ E r r = E φ E r^ r , (2.1)
resultando na equação da função radial u l ,
2 2 (^ ) ( 21 )^0
2 ddr u l (^) + (^) (^) K − U r −l l r + u l = , (2.2)
onde K^2 = 2 h^ μ 2^ E e U ( r ) = 2 μh V 2 (^ r ).
O potencial V ( r ), que descreve a interação nuclear entre os núcleos incidente e alvo é de
curto alcance, pois satisfaz a relação,
A seção de choque diferencial é escrita em termos dessa amplitude,
σ (θ) f ( θ) 2
d
d (^) = Ω.^ (2.9)
2.1.2 Matriz S, coeficiente de transmissão e seção de choque total de
reação
O potencial altera a fase da função de onda à grandes distâncias radiais. Esta fase
conhecida por defasagem, contém informação sobre o potencial de interação do sistema. Esta
defasagem depende de cada onda parcial l e determina a matriz S , que é dada por
S l = e^2 i^ δ^ l. (2.10)
O coeficiente de transmissão T l , que mede o quanto o fluxo do canal de entrada é
transmitido para um canal não-elástico, se relaciona com a referida matriz S da seguinte
forma,
1 2 T l (^) = − S l. (2.11)
A seção de choque total de reação, responsável pelos canais não-elásticos, depende deste
coeficiente de transmissão através da expressão dada por,
∑
∞
(^2 )
l l
σ R K^ π l T. (2.12)
2.1.3 Abordagem semiclássica
O método das ondas parciais descrito acima é freqüentemente utilizado na análise de
espalhamento de núcleos projéteis leves e a energias baixas. Para energias altas este
procedimento pode ser inviável, já que um número elevado de ondas l' s contribuem para a
amplitude de espalhamento e seção de choque total de reação. Uma alternativa é a utilização
do método semiclássico, que relaciona a onda parcial l e o parâmetro de impacto b através
da relação l + 12 = Kb. Neste caso a amplitude de espalhamento é dada por,
∫
0 0
f (θ) iK dbb ( e^2 i δ^^ ( b ) 1 ) J ( Kb sen( θ 2 )), (2.13)
onde J 0 ( x ) é a função de Bessel esférica e δ ( b ) é a defasagem escrita em termos do
parâmetro de impacto b. A seção de choque total de reação apresenta a seguinte forma [9],
∫
σ R 2 π 0 dbbT ( b ). (2.14)
2.2 Aproximação WKB para a defasagem
A forma direta de se obter a defasagem dada pela equação 2.4, é resolver numericamente a
equação de Schrödinger, equ. 2.1, já que para a maioria dos potenciais nucleares utilizados
não se conhece a sua expressão analítica. A aproximação WKB fornece uma expressão
simples para a determinação numérica da defasagem. Para um dado potencial V ≡ V ( r ), a
expressão WKB da defasagem δ l é dada por
( ) (^)
= ^ − + − − − +
∫ ∫
∞ ∞ 1 2 2
( )^2 ( 21 )^222 (^1 )
r r
WKB V dr K r V dr K r ll h
ll l
onde r 1 e r 2 são os pontos de retorno clássico. O ponto r 1 é obtido na determinação da raiz da
equação,
( 21 ) (^22) ( ( 1 )) 0 1
(^2) − + − V r = K (^) r h
ll μ , (2.16)
