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Embora com pouco tempo, devido à preparação da 3ª edição do livro Estatística – ESAF, preocupado com os candidatos que farão a prova para Fiscal-RS em 19/08, resolvi, mesmo em cima da hora, fazer um resumo sobre o assunto Teste de Hipóteses (que servirá também para outros concursos), contando com a colaboração do meu filho, Márcio Bello, na digitação.
TESTE DE HIPÓTESES
Definição : É uma regra de decisão utilizada para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base em elementos amostrais. Hipóteses : Teremos sempre duas hipóteses, H 0 (Agá-zero), que é a hipótese nula ou hipótese probanda e H 1 ou HA (hi pótese alternativa ). Geralmente a hipótese alternativa (H 1 ) representa a suposição que o pesquisador quer provar, sendo a hipótese nula (H 0 ) formulada com o expresso propósito de ser rejeitada. Conseguindo rejeitar H 0 , a hipótese alternativa terá de ser aceita, conseguindo então o pesquisador provar o que queria. A hipótese nula é sempre a hipótese a ser examinada. Se a aceitarmos, implicitamente estaremos rejeitando H 1 e se rejeitarmos H 0 , então não podemos rejeitar H 1 , devendo esta ser aceita. Tipos de erro : Dois tipos de erro podem ser cometidos num Teste de Hipóteses: Erro Tipo I (α) Æ A hipótese nula é verdadeira e o pesquisador a rejeita. Erro Tipo II (β) Æ A hipótese nula é falsa e o pesquisador a aceita. Qual dos dois tipos de erro é o mais grave e que deve ser evitado? Façamos uma analogia com a decisão de um Juiz de Direito: o que será mais grave? Condenar um inocente ou absolver um culpado? É claro que será mais grave a condenação de um inocente. Rejeitar a hipótese nula sendo ela verdadeira equivale a condenar um inocente, logo o Erro Tipo I é o mais grave e deverá ser minimizada a probabilidade deste tipo de erro ser cometido. Essa probabilidade chama-se Nível de Significância do Teste, dado por α. Já a probabilidade de β do Erro Tipo II não pode ser calculada, a menos que se especifique um valor alternativo para μ. O poder ou potência do teste é dado por (1 − β). Podemos resumir as possibilidades do Teste num quadro: Se a Hipótese Nula (H 0 ) é: VERDADEIRA FALSA
ACEITA H 0
DECISÃO
CORRETA
COMETE O
ERRO TIPO II
( β )
O PESQUISADOR
REJEITA
H 0
COMETE O
ERRO TIPO I
( α )
DECISÃO
CORRETA
TIPOS DE TESTE DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA:
1) Bicaudal ou Bilateral H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ ≠ μ 0 Onde: μ é a média populacional e μ 0 é o valor suposto para a média populacional. Gráfico do teste bilateral:
Onde: R.A. é a região de aceitação (da hipótese nula) e R.C. é a região crítica ou região de rejeição. A fronteira entre essas regiões será dada por um valor tabelado (Tabela da Distribuição Normal ou da Tabela da Distribuição t-Student) como veremos mais adiante.
2) Teste Unicaudal ou Unilateral à direita H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ > μ 0 Gráfico do teste:
Assim, vemos que na maior parte dos casos usaremos a Distribuição Normal, pois basta que uma das condições seja atendida: amostra grande (n ≥ 30) ou variância populacional conhecida. Já para usar a Distribuição t-Student, duas condições terão de acontecer simultaneamente: amostra pequena (n < 30) e variância populacional desconhecida. Para procedermos ao teste, além de conhecer o valor tabelado ( ZTAB se usarmos Distribuição Normal ou t
B TAB B^ se usarmos Distribuição t-Student), temos que encontrar o valor calculado ( ZCALC ou tCALC ), dado por:
n
Z (^) CALC X σ = −μ se o desvio padrão populacional (σ) for conhecido ou;
n
S Z (^) CALC= X−^ μ, pois se a amostra for grande (n ≥ 30) e não soubermos o valor do desvio
padrão populacional (σ), usaremos o desvio padrão amostral (S). Se a amostra for pequena (n < 30) e o desvio padrão populacional for desconhecido, usaremos a Distribuição t-Student e teremos a estatística teste:
n
S t (^) CALC=X−^ μ
Supondo que usaremos a Distribuição Normal Padrão (Z):
- Para o teste bilateral: Se – ZTAB B < Z CALC < ZTAB B , aceitaremos H 0.
Caso ZCALC < - ZTAB , ou ZTAB < ZCALC , rejeitaremos H 0.
- ZTAB^ ZTAB
- Para o teste unilateral à direita:
Se ZCALC < ZTAB , aceitaremos H 0.
Se ZTAB B < Z CALC , rejeitaremos H 0.
ZTAB
- Para o teste unilateral à esquerda:
Se –ZTAB B < Z CALC , aceitaremos H 0.
-ZTAB
Se ZCALC < ZTAB , rejeitaremos H 0.
B
O mesmo raciocínio vale para os casos em que usarmos a Distribuição t-Student, com a diferença que compararemos tCALC com tTAB .B
I.1.b) Se α = 5%, teremos α/2 = 2,5% = 0,025 (para cada lado) e a área de aceitação será de 95% (0,95), sendo 0,475 à esquerda e 0,475 à direita. Verificamos, na Tabela Normal, que uma área de 0,475 corresponde à abscissa 1,96. Logo, no teste bilateral, quando α = 5% então ZTAB=1,96. Vejamos o gráfico da curva normal:
α 2 α 2
Aceitaremos H 0 se: -1,96 < ZCALC < 1,
I.1.c) Mesmo raciocínio para α = 10%, α/2 = 5% = 0,05 (para cada lado). Área de aceitação igual a 0,90, sendo 0,45 à esquerda e 0,45 à direita. Na Tabela Normal uma área de 0, corresponde à abscissa 1,64 e uma área de 0,4505 corresponde à abscissa de 1,65. Logo, com precisão, a abscissa seria 1,645. Mas para facilitar vamos adotar no teste bilateral, quando α = 10%, ZTAB = 1,64. Vejamos o gráfico da curva normal:
α 2 α 2
Aceitaremos H 0 se: -1,64 < ZCALC < 1,
I.2) Para o teste unilateral (vamos considerar apenas o teste à direita, sabendo que vale o raciocínio para o teste à esquerda, bastando inverter os lados). I.2.a) Se α = 1% (0,01), a área de aceitação será de 99% (0,99) à esquerda. Mas até a metade da curva (a Distribuição Normal é simétrica) temos 50% (0,5) de área. Logo, queremos a abscissa correspondente a uma área de 0,49. Verificando, na Tabela Normal, o valor mais próximo é de 0,4901, correspondente à uma abscissa de 2,33. Assim, no teste unilateral à direita, quando α = 1%, teremos ZTAB = 2,33. e no teste unilateral à esquerda para o mesmo α, -ZTAB = -2,33. Vejamos o gráfico da curva normal:
I.2.b) Se α = 5% (0,05), teremos área de aceitação = 0,95 à esquerda. Procuraremos, na tabela normal a área de 0,45 (0,95 - 0,50), que corresponde à abscissa de 1,64. Portanto, no teste unilateral à direita, quando α = 5%, então ZTAB = 1,64 e no teste unilateral à esquerda para o
mesmo α, -ZTAB = -1,64. Vejamos o gráfico da curva normal:
II.2) Agora, se o teste for unilateral, com o mesmo tamanho de amostra, e o mesmo α, não poderemos pegar diretamente a interseção de α=0,05 com ϕ = 24, pois o valor fornecido é para um teste bilateral. Teremos que pegar a interseção de ϕ = 24 com α = 0,10, pois nesta tabela (bilateral), α = 0,05 corresponde a 0,025 de cada lado. Teremos que pegar α = 0,10, que
corresponderá a 0,05 de cada lado. Assim a célula interseção de α = 0,10 com ϕ = 24 fornecerá tTAB = 1,7109. Vejamos o gráfico:
Aqui, neste resumo foi mostrado apenas o Teste de Hipóteses para a Média, que é o assunto explicitamente descrito no Edital para Fiscal-RS e os princípios básicos do que seja um Teste de Hipóteses. Mas há outros tipos de Testes de Hipóteses, como: Teste de Hipóteses para a Proporção, Teste de Hipóteses para a Variância, Teste de Hipóteses para a Diferença entre Médias e outros tipos de Teste de Hipóteses. Os mesmos princípios descritos no início deste resumo aplicam-se aos demais testes. O que muda é a forma de cálculo da estatística teste e as tabelas a serem utilizadas. Por exemplo, no Teste de Hipóteses para a Variância, a Tabela a ser utilizada é a da Distribuição de Qui-Quadrado; já no Teste de Hipóteses para a Proporção utilizamos apenas a Tabela da Distribuição Normal, já vista aqui. Em outra oportunidade poderei vir a falar especificamente dos outros Testes de Hipóteses, mas com a tarefa facilitada por este resumo. Quem o entender bem, não terá dificuldade em entender os demais Testes.
Vamos aos exemplos:
EXEMPLO 1 : Uma amostra de 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu:
X = 42,3 e S = 5,2. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ > 40.
Resolução: Seguindo o roteiro, temos: 1º passo: H 0 : μ = 40; H 1 : μ > 40 (teste unilateral à direita); 2º passo: a amostra é grande (n ≥ 30). Logo, usaremos a Tabela Normal;
3º passo: o teste é unilateral, com α = 0,05. Logo, para uma área de 0,45, teremos Z^ TAB =^1 ,^64 ;
4º passo: desenhar a curva, plotando ZTAB;
α
5º passo: calcular a estatística teste.
n
S Z (^) CALC = X−^ μ = 36
5 , 2
6
5 , 2
5 , 2
6º passo: ZCALC > ZTAB .B Conclusão: ao nível de significância de 5%, REJEITO H 0 : μ = 40. Logo, μ > 40.
EXEMPLO 2 : Uma amostra de 20 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu:
X = 53,4 e S = 7,5. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ = 50.
Resolução: Hipóteses: H 0 : μ = 50; H 1 : μ ≠ 50 (teste bilateral); A amostra é pequena (n < 30) e σ (desvio padrão populacional) é desconhecido. Logo, a
distribuição a ser utilizada é a t-Student, com n = 20 ⇒ ϕ = 19 e α = 0,05. Consultando a tabela, encontraremos t (^) TAB = 2 , 0930.
EXEMPLO 4 : Uma amostra de tamanho n = 18 de população normal tem média X = 31,5 e desvio padrão S = 4,2. Ao nível de significância de 5%, estes dados sugerem que a média populacional seja superior a 30?
Resolução: Hipóteses: H 0 : μ = 30; H 1 : μ > 30 (teste unilateral à direita); Amostra pequena (n = 18) e σ desconhecido. Logo, t-Student, com ϕ = 17 e α = 0,05. Mas como o teste é unilateral e a tabela é bilateral, usaremos α = 0,10. Para este α e ϕ = 17 a tabela fornece: t (^) TAB = 1 , (^7396).
Desenhando a curva, temos:
n
S t (^) CALC= X−^ μ = 18
4 , 2
α
Resposta: Não , a média é igual a 30, pois como: tCALC < tTAB ,B ACEITO H 0 : μ = 30.
EXEMPLO 5 : Em uma amostra de 10 elementos a média da amostra observada foi de 230. Sabe-se que a variância da população é igual a 160. Testar a hipótese de μ = 218 contra a alternativa μ > 218 ao nível de significância de 10%.
Resolução: As hipóteses já estão no enunciado: H 0 : μ = 218; H 1 : μ > 218 (teste unilateral à direita); A amostra é pequena, mas a variância populacional é conhecida. Por isso, usaremos a Distribuição Normal. O teste é unilateral, com α = 0,10. Logo, para uma área de 0,40 (0,90 − 0,50)
encontraremos, na Tabela Normal Z^ TAB =^1 ,^28.
Desenhando a curva, temos:
n
Z (^) CALC X σ = −μ = 10
160
4
(^12) = 3. Vemos que ZCALC > ZTAB .B
Conclusão: ao nível de significância de 10%, REJEITO H 0 : μ = 218. Logo, μ > 218.
EXEMPLO 6 : O diâmetro médio de parafusos em uma amostra de 400 parafusos forneceu o valor de 25mm. Sendo 4mm o desvio padrão do processo de fabricação, pode-se afirmar, ao nível de significância de 5%, que o diâmetro médio de todos os parafusos seja inferior a 25,4mm?
Resolução: Temos n = 400; X = 25; σ = 4; α = 5%. Hipóteses: H 0 : μ = 25,4; H 1 : μ < 25,4 (teste unilateral à esquerda);
Distribuição: Normal, pois n = 400 (amostra grande). Teste unilateral à esquerda, com α = 0,05. Então, para uma área de 0,45 (0,95 − 0,50) encontraremos, na Tabela Normal −Z^ TAB =−^1 ,^64.
EXEMPLO 8 : Suponhamos que em indivíduos normais quanto à visão, a pressão intra-ocular seja uma variável aleatória normalmente distribuída com média 20 e variância 4 (em unidade de mm de mercúrio). Um cientista, querendo por à prova a sua hipótese de que o glaucoma causa um aumento tencional, mediu as pressões de 16 pacientes portadores de glaucoma, obtendo uma média igual a 24. O cientista deve ou não manter sua hipótese, ao nível de significância α = 0,005?
Resolução: Novamente, vamos interpretar o enunciado. O que o cientista quer provar? Que o glaucoma causa aumento da pressão. Logo, a hipótese alternativa (que o cientista quer provar) é que a média é superior a 20. Portanto, as hipóteses são: H 0 : μ = 20; H 1 : μ > 20 (teste unilateral à direita);
Temos: n = 16; X = 24; μ = 20; σ^2 = 4; α = 0,005. A amostra é pequena, mas a variância populacional é conhecida (σ^2 = 4) e σ = 2.
Portanto, usaremos a Tabela Normal, onde a área de 0,495 (0,995 − 0,500) corresponde a uma abscissa de 2,58. Logo, Z (^) TAB = 2 , 58.
n
Z (^) CALC X σ = −μ = 16
2
4
2
2
Como ZCALC > ZTAB , ao nível de significância de 0,5%, REJEITO H 0 : μ = 20. Assim, aceito que μ > 20 , ou seja, o cientista está correto e deve manter sua hipótese de que o glaucoma aumenta a pressão intra-ocular.
EXEMPLO 9 : Os graus dos alunos de Estatística têm sido baixos, com média de 5,2 e desvio de 1,2. Com um curso de revisão ministrado pelo colega Joselias, pretende-se aumentar o rendimento dos alunos. Entre 36 alunos que freqüentaram tal curso, a média foi de 6,4. Pode-se dizer, ao nível de significância de 8%, que o curso é eficiente?
Resolução: Temos n = 36; X = 6,4; μ = 5,2; σ = 1,2; α = 0,08. Hipóteses: H 0 : μ = 5,2; H 1 : μ > 5,2 (teste unilateral à direita);
Tabela: Normal, pois n = 36 (a amostra é grande). Para α = 0,08 teremos Z^ TAB =^1 ,^41 , abscissa
correspondente à área de 0,42 (0,92 − 0,50).
n
Z (^) CALC X σ = −μ = 36
1 , 2
6
1 , 2
Como ZCALC > ZTAB , ao nível de significância de 8%, REJEITO H 0 : μ = 5,2 e aceito que μ > 5,2 , ou seja, o curso ministrado pelo professor Joselias é eficiente.
EXEMPLO 10 : Questão da prova para Analista do BACEN-2005 - Área 4, elaborada pela FCC. Uma amostra aleatória de 9 valores de salários extraída de uma população, considerada normal e de tamanho infinito, apresentou média igual a R$800,00 com um desvio padrão igual a R$120,00. Os registros históricos indicam que a média dos salários da população é igual a R$740,00. Deseja-se testar a hipótese, ao nível de significância α, se o valor da média verificada na amostra difere do valor de R$740,00. Seja H 0 a hipótese nula do teste (μ = 740), H 1 a hipótese alternativa (μ ≠ 740) e tα/2 > 0 o quantil da distribuição "t" de Student, no nível de significância α, para testes bicudais com 8 graus de liberdade. Sabendo-se que H 0 foi rejeitada, tem-se que:
EXEMPLO 11 : Questão da prova para o IBGE em 1999 elaborada pelo NCE-UFRJ. Considere uma amostra aleatória de tamanho 36 de uma distribuição normal com média μ e desvio padrão 1,8. Deseja-se testar H 0 : μ ≤ 10 versus H 1 : μ > 10. O teste uniformemente mais poderoso de tamanho 1% rejeitará H 0 se a média amostral for, no mínimo, igual a:
(a) 10, (b) 11, (c) 11, (d) 11, (e) 12,
RESPOSTA: GABARITO LETRA A. No teste unilateral à direita, H 0 será rejeitada se ZCALC > ZTAB. Para α = 1%, teremos, na Tabela Normal (n > 30), ZTAB = 2,33. Substituindo ZCALC , na estatística teste, por 2,33 temos:
n
Z (^) CALC X σ = −μ ⇒ 36
1 , 8
2 , 33 = X−^10 ⇒
0 , 3
2 , 33 = X−^10 ⇒ 0 , 699 = X− 10 ⇒ X = 10 , 699.
Esse é o valor que iguala ZCALC a ZTAB e para um valor de média amostral superior a este, H 0 será rejeitada. Como o enunciado fala “no mínimo”, o menor valor será 10,.
EXEMPLO 12 : Questão da prova para Analista Técnico da SUSEP – 2006, elaborada pela ESAF. Em uma distribuição de sinistro S, formulando-se a hipótese de que não há diferença entre a freqüência esperada e a observada (hipótese nula: H 0 ). Donde, segundo um determinado nível de significância, podemos afirmar que ocorreu
(a) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H 0. (b) um erro do tipo II, se for rejeitada a hipótese H 0. (c) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H 0 , sendo esta correta. (d) um erro do tipo II, se for rejeitada a hipótese H 0 , sendo esta correta. (e) um erro do tipo I, se for rejeitada a hipótese H 0 , sendo esta correta.
RESPOSTA: GABARITO LETRA E. Questão teórica facílima, como eu costumo dizer, essa é “di-grátis”. Só quem não sabia o mínimo do assunto não a acertou. Basta ver o quadro à página 1 deste resumo para encontrar a resposta.
Desejo bons estudos e excelentes provas de estatística a todos! PROFESSOR PEDRO BELLO Nas próximas páginas estão as TABELAS DAS DISTRIBUIÇÕES: NORMAL E t-STUDENT
TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Extraída do livro “Curso de Estatística”-Jairo Simon da Fonseca & Gilberto de Andrade Martins-Editora Atlas
