Eletromagnetismo Teste 1 13/06/2013
Seja ~r o vetor da origem ao ponto (x, y, z), ro seu comprimento e ˆu= (ux, uy, uz) o vetor
unit´ario no sistema de coordenadas retangulares. Calcule:
a) ∇(r2),
∇(r2) = ∂(r2)
∂r ˆr= 2rˆr= 2~r
ou
∇(r2) = ∂(x2)
∂x ˆx+∂(y2)
∂y ˆy+∂(z2)
∂z ˆz= 2~r
b) ∇(1/r),
∇(1/r) = ∂(1/r)
∂r ˆr=−1
r2ˆr
ou
∇(1/r) = ∂(x2+y2+z2)−1/2
∂x ˆx+∂(x2+y2+z2)−1/2
∂y ˆy+∂(x2+y2+z2)−1/2
∂z ˆz=
=−1
2
2
(x2+y2+z2)3/2(xˆx+yˆy+zˆz) = −−~r
r3=−ˆr
r2
c) ∇(rn),
∇(rn) = ∇(rn)
∇rˆr=nrn−1ˆr
ou
∇(rn) = ∂(x2+y2+z2)n/2
∂x ˆx+∂(x2+y2+z2)n/2
∂y ˆy+∂(x2+y2+z2)n/2
∂z ˆz=
=n
2(2xˆx+ 2yˆy+ 2zˆz)(x2+y2+z2)n/2−1=n~rrn−2=nrn−1ˆr
d) ∇ · ~r,
∇ · ~r =1
r2
∂(r2r)
∂r =1
r2
∂(r3)
∂r =1
r23r2= 3
ou
∇ · ~r =∂x
∂x +∂y
∂y +∂z
∂z = 3
e) ∇ × ~r,
∇ × ~r =∂
∂r ˆr×rˆr= 0 (ˆr׈r= 0)
ou
∇ × ~r =∂z
∂y −∂y
∂z ˆx+∂x
∂z −∂z
∂x ˆy+∂y
∂x −∂x
∂y ˆz= 0
1
