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Capítulo 1
SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
1.1 Introdução
Um sinal pode ser definido como uma quantidade física, variante no tempo e que transporta informação a respeito do comportamento de um sistema. Em geral, ele é representado matematicamente como uma função de uma ou mais variáveis independentes (tempo, espaço, etc.), porém, neste estudo, eles serão admitidas funções com somente uma variável independente, o tempo.
O modo mais comum de se classificar um sinal é dividi-lo em duas importantes classes. Os determinísticos e os aleatórios. Os sinais determinísticos são aqueles utilizados para propósitos de testes, modelagem e caracterização de sistemas. Dentre eles pode-se destacar: os sinais senoidais, a onda quadrada, a função degrau unitário, a função impulso, etc. Eles são bem definidos e em geral representados ou descritos por uma função matemática ou gráfica, onde se conhece o seu valor em qualquer instante de tempo, presente, passado ou futuro. Amplitude, frequência e fase são os seus principais parâmetros. Na segunda categoria recaem os sinais de informação propriamente ditos e aqueles provenientes da natureza, tais como: sinais de voz, áudio, vídeo, temperatura, dados digitais e também o ruído. Devido à natureza aleatória, eles só podem ser descritos utilizando como fundamento a teoria de probabilidades e algumas propriedades que apresentam, como por exemplo, estacionariedade e através de algumas médias tais como: valor médio, valor quadrático médio, variância e desvio padrão, função de autocorrelação e espectro densidade de potência.
A variável independente também é uma outra quantidade muito importante para classificar os sinais. Os sinais de tempo contínuo são classificados por uma variável independente que pode assumir qualquer valor dentro de uma faixa contínua e que pode se estender até o infinito; estes sinais são chamados mais raramente de analógicos. Já os sinais de tempo discreto são definidos em instantes de tempos discretos, tn, n ∈ Z. A variável independente assume valores discretos, provavelmente não enumerável, e portanto eles são representados por uma sequência de números.
A amplitude do sinal também pode ser discreta ou contínua. No caso discreto ela é quantizada, isto é aproximada para um valor pertencente a um conjunto finito de amplitudes e em seguida codificada digitalmente. Neste caso têm-se os sinais digitais , onde tanto a amplitude quanto o tempo são quantidades discretas. Neste estudo, na maioria das vezes não se fará nenhuma referência com relação à amplitude, de forma tal que os sinais serão admitidos de tempo discreto, mas cuja amplitude pode assumir qualquer valor dentro de uma faixa contínua pertencente aos números reais.
Um sistema pode ser definido como um dispositivo que realiza uma operação matemática em um sinal. Como um exemplo de sistema pode se citar um filtro utilizado para reduzir ruído ou interferências em um sinal aplicado em sua entrada. Os sistemas podem ser classificados do mesmo modo que os sinais. Sistemas contínuos ou analógicos são aqueles em que as entradas e saídas são sinais de tempo contínuo. Os discretos são aqueles cujas entradas e saídas são sinais de tempo discreto e os digitais são aqueles cujas entradas e saídas são sinais digitais. Quando se passa um sinal através de um sistema dizemos que ele foi processado, daí o nome processamento de sinais.
Neste capítulo serão estudados os principais conceitos e propriedades para sinais e sistemas de tempo discreto.
1.2 Sinais de tempo discreto
Os sinais de tempo discreto são em geral, originados através da amostragem do sinal contínuo, cujo intervalo de amostragem é constante e especificado pelo teorema de Nyquist, que será estudado no
capítulo 2. Como um exemplo de um sinal contínuo e um de tempo discreto, considere o seguinte sinal exponencial,
x ( ) t = e − t (1.1)
Este sinal é definido para qualquer instante de tempo no intervalo -∞ < t < ∞, como mostra a figura 1.1.a., sendo portanto um sinal de tempo contínuo. Admitindo agora, que este sinal é definido somente nos instantes tn: n = 0, ±1, ±2, ..., como mostra a figura 1.1.b, então este novo sinal passa a ser de tempo discreto. Neste caso tem-se que,
x ( t n ) = e −^ tn n = 0 , ± 1 , ± 2 , L (1.2)
t -5 0 5
1
-5 0 5
1
0 0 n
( a ) ( b )
Figura 1.1: Representação gráfica do sinal das equações (1.1) e (1.2).
Na figura 1.1.b o sinal discreto é representado por retas (raias) paralelas ao eixo de tempo discreto. Observe que nada se especifica a respeito do sinal amostrado entre dois intervalos adjacentes tn e tn+1 pois a variável é definida somente para valores discretos. Isto não implica que ele não apresente valores nestes intervalos, mas somente que não é definido. Os instantes de tempo são regularmente espaçados tais que tn = nTa ( Ta é chamado de intervalo ou período de amostragem ). A notação comumente utilizada para este tipo de sinal é x(n) = x(nTa ) e o sinal passa a ser representado por uma sequência de números {x(n)}. Admitindo, por exemplo, na equação (1.2) T (^) a = 0,1 s, tem-se a seguinte sequência,
x ( ) n = e −^0.^^^1 n n = 0 , ± 1 , ± 2 , L (1.3)
Como foi comentado acima, um sinal de tempo discreto é associado a uma sequência de números {x(n)} como aquelas convencionalmente utilizadas em matemática. Assim é interessante especificar as operações básicas que se realizam com sequências.
(a) Soma de sequências
y^ (^ n )^ = x 1 ( ) n^ + x 2 ( ) n
Soma-se amostra com amostra das sequências individuais. Observe que estas sequências devem apresentar o mesmo tamanho. No caso de sequências com tamanhos diferentes o problema pode ser resolvido acrescentando-se zeros à sequência de menor tamanho.
(b) Produto de sequências
y ( n ) = x 1 ( ) n .x 2 ( ) n
Multiplica-se amostra por amostra das sequências individuais. Observe que, como anteriormente, estas sequências devem apresentar o mesmo tamanho.
(c) Multiplicação por um escalar α
y ( n ) =α x ( ) n
x ( n ) = α n (1.9)
Esta sequência é muito utilizada em processamento digital de sinais. Ela aparece com frequência no estudo de sistemas lineares de tempo discreto. Um sistema linear de primeira ordem apresenta como resposta ao impulso uma função exponencial, como será visto mais adiante. Uma sequência exponencial causal é representada como abaixo,
x ( n ) = α nu ( ) n (1.10)
assim, ela apresenta todos os seus valores nulos para n < 0. No caso de α < 1 ela toma a forma de uma exponencial amortecida com mostra a figura 1.2.
0 5 1 0 0
2
4
6
8
1
n
Figura 1.2 : Sinal exponencial.
1.3.4 Sequência senoidal
Um sinal senoidal de tempo discreto é uma oscilação harmônica que pode ser expressa por uma das formas mostradas abaixo,
x ( ) n = Acos ( 2 π f 0 n +φ) = Acos ( w 0 n +φ) (1.11)
x ( ) n = Asen ( 2 π f 0 n +φ) = Asen ( w 0 n +φ) (1.12)
x ( ) n = Aej^ (^2 π^ f^0 n +φ)^ = Aej (^ w^0 n +φ) (1.13)
A equação (1.13) representa a forma complexa da senóide e as outras duas anteriores representam as formas reais. Este sinal possui três parâmetros que o caracterizam completamente: a amplitude A , a frequência w 0 e o ângulo de fase φ.
0 5 10 15 20 25
-0.
0
1
n
Figura 1.3: Sinal senoidal de tempo discreto.
É necessário fazer uma observação importante com relação à frequência dos sinais contínuos e dos discretos. As letras maiúsculas Ω e F serão utilizadas para representar as frequências analógicas e as minúsculas w e f serão utilizadas para representar as frequências digitais. Neste caso w tem a unidade de radianos por amostra e f a unidade de ciclos por amostra e estão relacionadas por:
w = 2 π f (1.14)
As frequências analógicas e digitais estão relacionadas pelo período ou pela frequência de amostragem do sinal como segue,
a
a (^) F
F
f = FT = (1.15)
em que, Ta é o período de amostragem do sinal. Observe que quando for necessário determinar a frequência de um sinal analógico que gerou o amostrado basta multiplicar a frequência digital pela de amostragem.
Para mostrar este resultado, considere o seguinte sinal senoidal de tempo contínuo,
x ( t ) = Acos ( 2 π Ft +φ)
Admitindo que se colhe uma amostra deste sinal a cada T (^) a segundos então o sinal amostrado será dado por:
x ( nTa ) = Acos ( 2 π FnTa +φ)
Considerando f = FT (^) a , como indicado pela equação (1.15), tem-se que:
x ( n ) = Acos ( 2 π fn +φ)
Propriedades de um sinal senoidal de tempo discreto
a) Sinais senoidais cujas frequências são separadas por múltiplos inteiros de 2π são idênticos.
cos [ ( w 0 + 2 π M ) n +φ] = cos [ w 0 n + 2 π Mn +φ] = cos [ w 0 n +φ]
b) A taxa mais alta de oscilação para sinais de tempo discreto é obtida quando w = π ou f = 0.5.
Para provar esta propriedade, considere uma sequência x(n) tal que:
x ( ) n = Acos ( w 0 n ) , emque: 0 < w 0 <π
Seja uma outra sequência x 1 (n), com frequência maior que^ π, tal que:
x 1 ( n ) = Acos [( w 0 +π) n ]
Assim, a princípio, a frequência de x (^) 1(n) seria w 0 + π, mas esta afirmação não é verdadeira pois:
x 1 ( ) n^ = Acos [(^ w 0 +π) n ]^ = Acos [(^ w 0 + 2 π−π) n ]
Pela propriedade anterior, propriedade (a) e ainda relembrando que a função cosseno é par tem-se que:
x 1 ( ) n^ = Acos [(^ w 0 −π) n ]^ = Acos [(^ π− w 0 ) n ]
Assim, a frequência deste sinal será π - w (^) 0, logo ela pertence ao intervalo (0,π). Portanto a frequência de oscilação mais alta é obtida quando w = π.
c) Um sinal senoidal discreto é periódico se e somente se a frequência for um número racional.
∑^ ( )
N
N n N
xn N
P lim 2 2 1
Se o sinal é periódico, com período fundamental N, então a potência média é definida por:
∑^ ( )
−
=
1
0
N
n
xn N
P (1.21)
Exemplo 1: Determine a energia do seguinte sinal: x ( n )= Ae −^ α nu ( n ), :α< 1
∞
=
−α
∞
=
−α
∞
=
−α −
2
0
2 2 0
2 2 0
2 1 e
A
E Ae Ae A e n
n n
n n
n
Exemplo 2: Determine a potência da sequência degrau unitário u(n).
0 0
→∞ ∑=^ →∞ ∑= →∞ →∞ /N
/N
lim N
N
lim N
un lim N
P lim N N
N
N n
N
N n
Exemplo 3: Determine a potência de um sinal complexo, composto pela soma de duas componentes senoidais, com frequências w 1 e w 2 diferentes, tais que:
x n Aejw^ n Aejw^2^ n 2 1 ( )= 1 +
em que, A 1 e A 2 são constantes reais e positivas.
x( n) = x(n)x*^ (n) = ( A 1 ejw^1 n + A 2 ejw^2 n )( A 1 e −^ jw^1 n + A 2 e^ − jw^2 n )
= A 1^2 + A 22 + A 1 A 2 ( e^ j^ ( w^1 −^ w^2 ) n + e − j ( w^1 − w^2 ) n )
∑[^ (^ )]
−
=
− − − →∞
1
0
( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2
lim
N
n
jw wn jw wn N
A A AA e e N
P
∑^ (^ )
−
=
− − − →∞
1
0
( ) ( ) 1 2
2 2
2 1 1 2 1 2
lim
N
n
jw w n jw w n N e e N
A A AA
Examinando o limite: ( ) 0
lim
lim (^) ( 1 2 )
1 ( 1 2 )
0
− →∞
−
=
−
→∞ ∑^ jw w
jw w N N
N
n
jw w n N (^) e
e N
e N
L
Portanto:
2 2
2 P = A 1 + A
Pode-se mostrar também que para M senóides complexas distintas a potência média será:
=
M
k
P Ak 0
Neste exemplo foram considerados sinais senoidais complexos. Para a situação em que se tem M sinais senoidais reais com frequências distintas, a potência média será dada por:
=
M
k
P Ak 0
2 2
1.4.3. Sequências simétricas e anti-simétricas
Seja x(n) uma sequência complexa e x *(n) o seu conjugado.
Uma sequência é chamada de simétrica (par) se: x (^ n )^ = x*^ (^ − n )
Uma sequência é denominada anti-simétrica (impar) se: x ( n ) =− x*^ ( − n )
É possível também obter uma sequência simétrica xe (n) ou uma anti-simétrica xo(n) a partir de uma sequência qualquer x(n) através das seguintes expressões:
x e ( ) n = [ x ( ) n + x* ( − n )]
x o ( ) n = [ x^ ( ) n − x* (− n )]
1.5 Sistemas de tempo discreto
Os sistemas de tempo discreto são definidos do mesmo modo que os sistemas contínuos. Eles são definidos matematicamente como uma transformação que se opera em uma sequência de entrada x(n) produzindo uma sequência de saída y(n) chamada de resposta do sistema à excitação x(n). Esta transformação é representada pela seguinte relação:
y ( n )= T [ x ( n )] (1.26)
em que o operador T[.] representa a transformação e a sua representação gráfica é feita pelo diagrama de blocos mostrado na figura abaixo.
x(n) T[x(n)] y(n)
Figura 1.4: Representação de um sistema de tempo discreto.
Exemplo 4: Segue a seguir alguns exemplos de sistemas de tempo discreto que são muito utilizados em processamento digital de sinais:
a) Sistema de atraso
y^ (^ n )^ = x (^ n − nd ) (1.27)
T [^ a 1 x 1 ( ) n^ + a 2 x 2 ( ) n^ +L aM xM ( ) n ]^ = a 1 T [ x^1 ( ) n ]^ + a 2 T [^ x 2 ( ) n ]^ +L+ aMT [^ xM ( ) n ]
T [ a 1 x 1 ( ) n + a 2 x 2 ( ) n +L aM xM ( ) n ] = a 1 y 1 ( ) n + a 2 y 2 ( ) n +L+ aMyM ( ) n (1.31)
em que, M é um número inteiro qualquer e a1, a2, ..., aM são constantes.
Exemplo 5: Exemplos de dois sistemas lineares:
a) O sistema y(n) = nx(n) é linear pois:
T [^ a 1 x 1 ( ) n^ + a 2 x 2 ( ) n ]^ = n [ a^1 x 1 ( ) n^ + a 2 x 2 ( ) n ]^ = na 1 x 1 ( ) n^ + na 2 x 2 ( ) n^ = a 1 y 1 ( ) n^ + a 2 y 2 ( ) n
b) O acumulador definido pela equação (1.28) é um sistema linear pois:
y ( ) n [ a x ( ) k a x ( ) k ] a x ( ) k a x ( ) k ay ( ) n a y ( ) n
n
k
n
k
n
k
= (^) ∑ 1 1 + 2 2 = 1 ∑ 1 + 2 ∑ 2 = 1 1 + 2 2 =−∞ =−∞ =−∞
1.5.2 Sistemas lineares invariantes ao deslocamento
Um sistema LTD invariante ao deslocamento é aquele cuja característica não varia com o deslocamento provocado na entrada. Assim, um sistema LTD é invariante ao deslocamento se e somente se:
T [^ x^ (^ n − nd )]^ = y (^ n − nd ). (1.32)
Exemplo 6: Exemplos de sistemas invariantes e variantes ao deslocamento:
Seja y ( n^ ,nd )a saída do sistema quando se aplicado em sua entrada uma sequência x (^ n − nd ).
a) O diferenciador, y(n) = x(n) – x(n-1) é invariante ao deslocamento pois:
y ( n,nd ) = x ( n − nd ) − x ( n − nd − 1 ) = y ( n − nd )
b) O sistema y(n) = nx(n) é variante ao deslocamento pois quando é aplicado x(n-nd) tem-se:
y^ ( n^ ,nd )^ = nx (^ n − nd )^ ≠ y (^ n − nd )^ =( n^ − nd ) ( x^ n − nd )
c) O sistema y(n) = x(-n) é variante ao deslocamento pois:
Seja: x 1 ( ) n = x ( n − nd ) , então:
y^ ( ) n^ = x 1 (^ − n )^ = x (^ − n − nd )^ ≠ y (^ n − nd )
d) O compressor y(n) = x(Mn) é variante ao deslocamento a não ser que M =1.
Seja: x 1 ( ) n = x ( n − nd ) , então:
y^ ( ) n^ = x 1 (^ Mn )^ = x (^ Mn − nd )^ ≠ y (^ n − nd )
1.5.3 Sistemas causais
Um sistema é chamado causal se o sinal presente na sua saída y(n), em qualquer instante n, depende somente dos valores nos instantes passados da saída e nos instantes presente e passados da entrada {x(n), x(n-1), x(n-2), ...}, e não depende dos valores futuros {x(n+1), x(n+2), ..., y(n+1), ...}.
Uma outra definição muito usual para os sistemas causais é a que segue:
“Um sistema é chamado causal se para qualquer instante n 0 a sua saída no instante n = n 0 depende dos valores da entrada para n ≤ n 0 ”.
Exemplo 7: Exemplos de sistemas causais:
1) y ( ) n = x ( ) n − x ( n − 1 )
- ( ) (^) ∑ ( ) =−∞
n
k
yn xk
3) y ( ) n = ax ( ) n + by ( n − 1 )
Exemplo 8: Exemplos de sistemas não causais:
1) y ( ) n = x ( ) n + 3 x ( n + 4 )
- y ( ) n = x ( n 2 )
3) y ( ) n = x ( 2 n )
4) y ( ) n = x ( − n )
1.5.4 Sistemas estáveis
Um sistema em repouso, é estável se e somente se para uma sequência de entrada limitada tem-se uma saída limitada, isto é:
x ( n )≤ Bx <∞ ⇒ y ( n )≤ By < ∞, (^) (1.33)
em que Bx e B (^) y são constantes finitas.
Exemplo 9: Exemplos de sistemas estáveis
1) y( ( ) n = x ( n − nd )
2) y ( ) n =[ x ( ) n ]^2
3) y ( ) n = x ( Mn )
Exemplo 10: O acumulador é um sistema instável.
( ) (^) ∑ ( ) =−∞
n
k
yn xk
Seja x(n) = u(n) que é limitada, pois o valor máximo da função degrau unitário é 1. Então:
z -1^ z -
x(n)
x(n-1) (^) y(n-1)
y(n)
Figura 1.5: Diagrama em blocos do sistema.
1.5.6 Sistemas lineares discretos e invariantes ao deslocamento
As definições dadas anteriormente classificam os sistemas quanto às sua propriedades e categorias tais como: linearidade, invariância ao deslocamento ou ao tempo, causalidade e estabilidade. Os sistemas lineares discretos e invariantes ao deslocamento que serão abreviados por LID São os mais importantes destes sistemas. Eles são caracterizados no domínio do tempo por sua resposta à função amostra (ou impulso) unitária e como será visto a seguir, a expressão geral que relaciona a entrada e saída de tais sistemas é dada pela soma de convolução.
Para se determinar a resposta do sistema a uma excitação de entrada x(n) qualquer, será admitido que h(n) é a resposta do sistema LID à função amostra unitária. Como foi visto anteriormente, veja equação (1.5), uma sequência x(n) pode ser escrita como uma soma ponderada de funções amostras unitárias, tal que:
( ) (^) ∑ ( ) ( )
∞
=−∞
= δ − k
x n xk n k (1.34)
Assim, por definição, a resposta de um sistema devido à excitação de entrada x(n) será dada por:
( ) [ ( )] ( ) ( )
= = ∑ δ −
∞
k =−∞
y n Txn T xk n k (1.35)
Como por hipótese, o sistema é linear, então, aplicando o princípio da superposição tem-se que:
( ) (^) ∑ ( ) [ ( )]
∞
=−∞
= δ − k
yn xkT n k
Como, também por hipótese, o sistema é admitido ser invariante ao deslocamento, então a resposta á excitação δ(n-k) será h(n-k), logo,
( ) (^) ∑ ( ) ( )
∞
=−∞
k
y n xkhn k (1.36)
Observe que a entrada e a saída estão relacionadas através de h(n), como consequência, um sistema LID é caracterizado completamente pela sua resposta á função amostra unitária, h(n). Assim, uma vez que é dada a função h(n), pode-se determinar a sequência de saída y(n) devido à excitação de entrada x(n) através da equação (1.36).
A equação (1.35) é conhecida pelo nome de soma de convolução ou simplesmente convolução entre x(n) e h(n), sendo representa pelo operador *, isto é,
y( ( n ) = h ( ) n ∗ x ( ) n .\ (1.37)
1.5.7 A soma de convolução
Suponha que se quer calcular a saída do sistema em um instante qualquer, n = n 0. Utilizando a equação (1.36) tem-se que:
( ) (^) ∑ ( ) ( )
∞
=−∞
k
y n 0 xkhn 0 k (1.38)
Observe nesta equação que a soma é realizada nos índices k e não nos índices n , além disso, este índice é invertido na resposta ao impulso do sistema. Desse modo pode-se resumir como segue as operações envolvidas na soma de convolução:
i. Rebate-se h(k) em torno de k = 0 para se obter h(-k),
ii. Desloca-se h(-k) por n 0 amostras á direita, se n 0 for um número positivo (ou à esquerda se n 0 for negativo),
iii. Multiplica-se cada elemento x(k) por h(n 0 – k) para se obter a sequência x(k)h(n 0 –k),
iv. Somam-se todos os valores da sequência produto para se obter y(n (^) 0),
v. Repetem-se os passos acima para todos os valores possíveis de n de modo a obter-se y(n).
Exemplo 12: Determine a soma de convolução entre as seguintes sequências: h(n) ={1, 2 , 1, -1} e x(n) = { 1 , 2, 3, 1}. O número em negrito indica o valor da sequência para o índice n = 0.
- Rebatimento de h(k): h(-k) = {-1, 1, 2 , 1}
- Cálculo de y(0):
y
xk
h k
k
y
xk
h k
k
- No final, calculando a convolução para n = -1, 0, 1, ..., 5, obtemos y(n). Para os outros valores de n os resultados são nulos.
y(n) = {1, 4 , 8, 8, 3, -2, -1}
Note neste exemplo que o tamanho da sequência x(n) é M = 4, o tamanho de h(n) é N = 4 e o de y(n) é L = 7. Como regra geral tem-se que para sequência de tamanho finito a convolução produz uma sequência finita de tamanho:
L = M + N − 1. (^) (1.39)
Uma outra observação importante é que para os sistemas contínuos, lineares e invariantes no tempo, a relação entre entrada e saída é regida pela integral de convolução, neste caso é possível somente estudar
( ) (^) ∑ ( ) ( ) (^) ∑ ( ) ( )
∞
=
−
=−∞
0
0
1 0 0 k k
yn hkxn k hkxn k
y^ (^ n 0 )^ = [L^ h (−^2 ) ( x^ n 0 + 2 )^ + h (^ − 1 ) ( x^ n 0 + 1 )]^ +[^ h ( ) ( 0 x^ n 0 )^ + h ( ) ( 1 x^ n 0 − 1 )+L]
O primeiro termo entre colchetes envolve os valores futuros de x(n): x(n 0 +1), x(n 0 +2), .... Como o sistema é causal a sua resposta não pode depender destes valores (futuros), assim, o primeiro termo deve ser nulo. Para que eles sejam nulos deve-se ter portanto: h(-1) = h(-2) = ... = 0, ou seja a resposta ao impulso deve satisfazer a seguinte condição:
h^ (^ n )^ = 0 , n < 0 (1.43)
Admitindo que se esteja trabalhando com um sistema causal, os limites na somatória de convolução podem ser modificados de modo a refletir a condição estabelecida pela equação (1.43).
( ) (^) ∑ ( ) ( ) (^) ∑ ( ) ( )
∞
=−∞ =
k 0
n
k
y n xkhn k hkxn k (1.44)
além disso, se a sequência de entrada x(n) também for causal, então:
( ) (^) ∑ ( ) ( ) (^) ∑ ( ) ( ) = =
n
k
n
k
yn xkhn k hkxn k 0 0
b) Estabilidade
A estabilidade é também uma propriedade muito importante a ser verificada na implementação de um sistema. Como exposto anteriormente, um sistema é estável se para uma entrada limitada a saída também será limitada. Novamente, utilizando a equação de convolução a admitindo que |x(n)| ≤^ Bx <^ ∞, então módulo da sequência de saída é,
( ) (^) ∑ ( ) ( )
∞
=−∞
k
y n hkxn k (1.45)
( ) (^) ∑ ( ) ( )
∞
=−∞
k
yn hk xn k
mas, por hipótese |x(n)| ≤ Bx, então:
( ) (^) ∑ ( )
∞
=−∞
k
y n Bx hk.
Assim, para que o sinal de saída seja limitado deve-se ter que:
∑^ ( )^ ≤ <∞
∞
=−∞
h k
h k B. (^) (1.46)
Portanto, para que um sistema LID seja estável, a resposta ao impulso deve ser absolutamente somável. Esta é uma condição necessária e suficiente, além disso ela indica que h(n) deve ser amortecida, isto é, decair para zero conforme n se aproxima do infinito.
A resposta ao impulso de um sistema de tempo discreto serve também para classificá-los em relação à sua duração:
- Os sistemas FIR (abreviação do inglês finite impulse response ) são aqueles cuja resposta ao impulso é finita, isto é têm duração limitada.
- Os sistemas IIR (abreviação do inglês in finite impulse response ), isto é, aqueles cuja resposta ao impulso é infinita. Esta nomenclatura será muito utilizada em projeto de filtros digitais.
Observe que os sistemas FIR são sempre estáveis, pois h(n) apresenta duração finita.
1.6 Equação linear de diferenças com coeficientes constantes
Uma das formas de se descrever um sistema LID é através da sua resposta ao impulso e consequentemente através da soma de convolução, contudo, na maioria dos casos é necessário ou desejável expressar o comportamento do sistema em termos dos valores presente e passados do sinal de entrada, e também dos valores passados do sinal de saída. Podemos representar os sistemas discretos através da equação linear de diferenças. Neste caso o sistema é prontamente implementado através de blocos somadores, multiplicadores e de atraso. Além disso, ela serve como base para a obtenção da resposta em frequência do sistema, como será visto mais adiante.
A forma geral para um sistema LID descrito através de uma equação linear de diferenças é dada por:
( ) (^) ∑ ( ) (^) ∑ ( ) = =
M
k
k
N
k
yn ak yn k bxn k 1 0
em que os coeficientes ak e b (^) k são parâmetros constantes do sistema.
Uma forma equivalente de descrever este sistema é através da equação abaixo:
∑ (^ )^ ∑ (^ ) = =
M
k
k
N
k
ak yn k bxn k 0 0
em que a 0 é admitido ser igual a 1, e o limite N da somatória é chamado de ordem do sistema.
Observe que a equação (1.47) expressa a resposta do sistema LID como uma soma ponderada dos valores passados de y(n), y(n-1), y(n-2), ..., y(n-N), e dos valores presente e passados, x(n), x(n-1), ..., x(n-M), por isso esta equação também é chamada de recursiva pois a saída depende de valores anteriores da entrada e saída. Além disso para se determinar y(n) é necessário o conhecimento das condições iniciais do sistema, isto é, de y(-1), y(-2), ..., y(-N).
A equação (1.47) é a forma geral de uma equação linear de diferenças e representa um sistema cuja resposta ao impulso é infinita (sistema IIR). No caso de sistemas com resposta ao impulso finita (sistemas FIR), a saída depende somente dos valores presentes e passados da entrada. Desse modo, ak = 0 : k = 1, 2, ..., N e fica fácil mostrar que a resposta ao impulso h(n) é dada pelos próprios coeficientes bk, ou seja:
, casocontrário
b, n ,, ,M h n n 0
0 1 L
Exemplo 13: Determine a equação de diferenças para o sistema acumulador:
( ) (^) ∑ ( )
n
k
yn xk 0
A resposta forçada é a solução da equação de diferenças admitindo uma entrada diferente de zero. Como estamos admitindo um sistema linear, a resposta é obtida supondo que a saída tenha a mesma forma da entrada, por exemplo, para uma entrada senoidal a saída também será senoidal provavelmente modificada em amplitude e fase pelo sistema. A tabela abaixo resume as soluções para as entradas mais comuns utilizadas nos sistemas.
Tabela 1: Solução particular para algumas entradas.
Entrada Solução particular 1 (constante) c (constante) a n can
cos ( w 0 n +φ) c 1 cos ( w 0 n ) + c 2 sen ( w 0 n )
Exemplo 14: Determine a resposta total do sistema LID representado pela equação de diferenças:
y ( ) n − 4 y ( n − 2 ) = x ( ) n quando aplicamos na entrada a função degrau unitário. Admita as seguintes
condições iniciais: y(-1)=1 e y(-2) = 0.
Observe que a 0 = 1 a 1 = 0 e a 2 = -
- Resposta natural: r^2 − 4 = 0 → r =± 2
portanto: yn ( ) n^ = c 1 ( ) 2 n + c 2 (−^2 ) n
- Resposta particular: observe que a entrada vale 1 para n ≥ 0, logo y (^) p ( n ) = c. Substituindo na equação de diferenças tem-se:
c − 4 c = 1 → c =− → ypn =− , n ≥
- Resposta total: ( )^ ( )^ ( )^ ( ) 2 (^2 )^0 3
y n = y n + y n =− + c 1 + c 2 − n ≥ n n n p
As constantes c 1 e c 2 são determinadas utilizando as condições iniciais. Assim,
y ( ) c ( ) c ( ) c c ( II )
y c c c c I
1 2
2 2
2 1
1 2
1 2
1 1
− −
− −
Combinando as equações (i) e (II) tem-se que: c 1 (^) = 4 ec 2 =− 8 / 3
Portanto a resposta total será:
y n = − + n − − n n ≥
1.6.2 Resposta ao impulso
A resposta ao impulso de um sistema pode ser encontrada através da resposta ao degrau unitário, supondo que o sistema esteja em repouso, isto é, com condições iniciais nulas. Admitindo s(n) como a resposta em repouso à função degrau, então, pela equação (1.8), a resposta ao impulso será h(n) = s(n) – s(n-1).
Exemplo 15: Determine a resposta ao impulso do sistema dado no exemplo 14.
Para determinar a resposta ao impulso admitimos y(-1) = y(-2) = 0, logo,
y ( ) c ( ) c ( ) c c ( II )
y c c c c I
1 2
2 2
2 1
1 2
1 2
1 1
− −
− −
Combinando as equações (i) e (II) tem-se que: c 1 (^) = 1 ec 2 = 1 / 3
Assim, a resposta total será: ( ) ( ) ( 2 ) 0
s n = − + n + − n n ≥
E a resposta ao impulso será h(n) = s(n) – s(n-1):
h n = n + − n n ≥
1.7 Representação de sinais e sistemas discretos no domínio da frequência
Devido ao fato de que quando o sinal de entrada é senoidal a saída de um sistema linear é também um sinal senoidal com mesma frequência da entrada, e a amplitude e fase determinadas pelo sistema, a representação de sinais através de componentes senoidais ou então de exponenciais complexas é muito usual na teoria e prática de sistemas lineares.
Considere um sistema LDI, com resposta ao impulso h(n), e em cuja entrada é aplicada uma sequência exponencial complexa da forma:
x ( ) n = ejwn^ , : −∞< n <∞ (1.55)
A saída do sistema será dada pela soma de convolução entre a entrada x(n) e a resposta ao impulso do sistema h(n) tal que:
( ) (^) ∑ ( ) (^ )
∞
=−∞
k
y n hkejwnk (1.56)
Como o índice n não entra na somatória,
( ) (^) ∑ ( )
∞
=−∞
k
y n ejwn^ hke jwk (1.57)
Vamos definir a seguinte função:
