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O TIJOLO DE EULER
Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) E-mail: [email protected] O tijolo de Euler é um paralelepípedo regular de lados que são números inteiros A, B e C (sendo A>B>C) cujas diagonais de face, DAB, D (^) AC e D (^) BC , também são números inteiros. Se a diagonal principal (que liga os pontos M e N na figura) também é um número inteiro, o tijolo é dito perfeito. Não se conhece nenhum exemplo de um tijolo perfeito de Euler . O tijolo simples de Euler, imperfeito, com os menores valores para A, B e C que se conhece tem A = 240, B = 117 e C = 44. As diagonais são: DAB = 267, DAC = 244 e DBC = 125. Foi descoberto em 1719, pelo matemático Halcke. Com o advento dos computadores ficou muito mais fácil achar tijolos de Euler. Ao que parece, já são conhecidos os 5000 menores tijolos, medidos pelo maior lado. Os 5 primeiros são: 240, 117 e 44; 275, 252 e 240; 693, 480 e 140; 720, 132 e 85; 792, 231 e 160. O problema matemático relacionado é achar uma ou mais fórmulas que produzam todos os tijolos perfeitos de Euler que existem. Até hoje ninguém conseguiu essas fórmulas.
DEDUÇÃO DAS FÓRMULAS QUE PRODUZEM TODOS OS TIJOLOS DE
EULER
A figura abaixo é um paralelepípedo retângulo, onde são mostradas, respectivamente, a diagonal da base e a diagonal do paralelepípedo.
Como os triângulos ABD e DBE são retângulos e, além disso, fazendo coincidir a diagonal da base com um dos catetos da diagonal do paralelepípedo, obtém-se:
A diagonal (d) da base é tal que d^2 = a^2 + b 2. Para a diagonal (p) do paralelepípedo, temos: p^2 = c 2 + d^2. Portanto, a fim de que os lados, a altura e a diagonal da base do paralelepípedo sejam números
inteiros, basta que os dois ternos (b, a, d) e (d, c, p) sejam pitagóricos.
Já que a diagonal da base é um dos catetos do triângulo retângulo que forma a diagonal do paralelepípedo, logo, as dimensões de cada tijolo e sua diagonal, em números inteiros, são dadas pela quadra (b, a, c, p).
Seja b o lado menor do tijolo. Como o triângulo ABD tem que ser pitagórico, logo, d^2 = a 2 + b^2 ou (d
- a) =. Uma vez que a e d são inteiros, logo, (d – a) tem que dividir b 2 sem deixar resto. Logo, (d – a) são os divisores positivos de b 2. Seja b um primo ímpar. Os divisores de b^2 são: b^2 , b e 1. Substituindo b 2 , b e 1 em , obtém-se os seguintes sistemas de equações:
d – a = b^2 d – a = b d – a = 1 S 1 S 2 S (^3) d + a = 1 d + a = b d + a = b^2
Dos três sistemas de equações acima, somente o S 3 é compatível. Resolvendo o S3, obtém-se: e a = d – 1 Já que p2^ = c^2 + d2, então,. Como b é um primo ímpar, logo, d pode ser um primo ímpar ou um número composto ímpar.
Se d for um primo ímpar, então, chega-se aos mesmos resultados que se chegou para b , ou seja, três sistemas de equações, S (^) 1, S 2 e S 3 , dos quais somente o S 3 é compatível. E obtém-se para p e c as seguintes fórmulas:
e c = p – 1
Resposta. Se b e d forem dois primos ímpares, então, só existe um tijolo de Euler.
As medidas das diagonais do tijolo de Euler são dadas por:
(diagonal da base do tijolo de Euler)
(diagonal MN do tijolo de Euler)
As dimensões do tijolo de Euler são dadas por:
a = d – 1 (lado maior) b = (lado menor) c = p – 1 (altura)
Como , então,. Se d – a = m, então,
Somando as duas equações membro a membro, obtém-se:
ou e a = d – m
Suponha que b seja par. Como 2d é sempre par, logo, a fim de que a soma seja par, e m têm que ser ambos pares. Portanto, o número de triângulos pitagóricos é igual ao número de vezes em que m (par) < dividir b^2 sem deixar resto e, além disso, seja par. Se b for um número ímpar composto, então, como 2d é sempre par, logo, a fim de que a soma seja par m tem que ser ímpar. Portanto, o número de triângulos pitagóricos é igual ao número de vezes
Exemplo 2. Se o lado menor de um tijolo for 7, quantos tijolos de Euler existem?
Resolução:
Cálculo da diagonal da base do tijolo de Euler:
Como a diagonal da base, do tijolo de Euler, é um número composto ímpar, logo, o número de tijolos será igual ao número de vezes em que m < 25 dividir 25^2 sem deixar resto. Os divisores de 25 2 menores que 25, são: 1 e 5. Portanto, existem dois tijolos de Euler com o lado menor igual a 7.
Cálculo da diagonal MN do tijolo de Euler:
1º tijolo: = 313 2º tijolo: = 65 Cálculo das dimensões de cada tijolo de Euler:
1º tijolo: a = d – 1 = 25 – 1 = 24 b = 7 c = p – k = 313 – 1 = 312
Verificação:
2º tijolo: a = 25 – 1 = 24 b = 7 c = 65 – 5 = 60
Verificação:
Exemplo 3. O matemático Halcke encontrou apenas um tijolo de Euler com o menor lado igual a 44. Quantos tijolos de Euler existem com o menor lado igual a 44?
Resolução.
Os divisores pares de 44^2 , menores que , são: 2, 4, 8 e 16. Portanto, m = 2, 4, 8, 16.
Cálculo das diagonais da base, das diagonais principais e das dimensões do tijolo de Euler
Os divisores de 485 2 , menores que 485, são: 1, 5, 25 e 97.
, b = 44, a = d 1 – m = 485 – 2 = 483 e c = p 1 – k = 117613 – 1 = 117612
Verificação:
, b = 44, a = 483 e c = 23525 – 5 = 23520 Verificação:
, b = 44, a = 483 e c = 4717 – 25 = 4692
Verificação:
, b = 44, a = 483 e c = 1261 – 97 = 1164
Verificação:
Os divisores pares de 244^2 , menores que , são: 2, 4, 8 e 16 , b = 44, a = d 2 – m = 244 – 4 = 240 e c = 14885 – 2 = 14883
Verificação:
, b = 44, a = 240 e c = 7444 – 4 = 7440
Verificação:
, b = 44, a = 240 e c = 3725 – 8 = 3717
Verificação:
(p 8 não é inteiro porque = é ímpar)
Os divisores de 125 2 , menores que 125, são: 1, 5 e 25
, b = 44, a = d 3 – m = 125 – 8 = 117, c = 7813 – 1 = 7812
Verificação:
, b = 44, a = 117 e c = 1565 – 5 = 1560
Verificação:
, a = 44, b = 117 e c = 325 – 25 = 300
Verificação:
(d 4 não é inteiro porque é ímpar)
Conclusão. Baseando-se nos resultados obtidos, chegou-se à seguinte conclusão: com a condição de a diagonal MN do tijolo de Euler ser um inteiro, apenas a diagonal da base é um número inteiro. Sendo assim, pode-se dizer que não existe tijolo de Euler perfeito. Como existem tijolos com as dimensões, a diagonal principal e a diagonal da base número inteiro, então, pode-se dizer que existem tijolos de Euler quase-perfeitos.
Desprezando-se a condição de a diagonal MN do tijolo ser um número inteiro, não é difícil, e sim trabalhoso, achar as dimensões e as diagonais do tijolo determinadas pelo matemático Halcke.
Como a menor dimensão do tijolo é 44, basta achar os divisores pares de 44^2 menores que
Foi visto, anteriormente, que com os divisores 2, 4 e 8 foram encontradas as seguintes diagonais: d (^1) = 485, d 2 = 244 e d 3 = 125.
Subtraindo de 485, 244 e 125, respectivamente, os divisores 2, 4 e 8, obtém-se as seguintes
