PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS – PUC MINAS
ENGENHARIA ELETRÔNICA E DE TELECOMUNICAÇÕES
Campos e Ondas
Kevin Rodrigues da Cunha
Matrícula: 671153
5ª LISTA DE EXERCÍCIOS
Onda plana uniforme
Belo Horizonte
2021
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Cálculo de Componentes de Ondas Planas em Meios com e Sem Perdas - Prof. Bossi, Exercícios de Eletromagnetismo
Um conjunto de exercícios de engenharia elétrica e de telecomunicações, oferecendo problemas sobre a análise de ondas planas uniformes em meios com e sem perdas. Inclui cálculos de velocidade de propagação, comprimento de onda, impedância característica do meio e amplitude da componente do campo magnético.
Tipologia: Exercícios
2021
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS – PUC MINAS
ENGENHARIA ELETRÔNICA E DE TELECOMUNICAÇÕES
Campos e Ondas
Kevin Rodrigues da Cunha
Matrícula: 671153
5ª LISTA DE EXERCÍCIOS
Onda plana uniforme
Belo Horizonte
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS – PUC-MG
IPUC - Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação
CAMPOS E ONDAS – 1 º semestre 202 1
Prof. Luciano Bossi
TP 5 – EXERCÍCIO PARA ENTREGAR
Assunto: Onda plana uniforme – Cap. 5
PERGUNTAS TEÓRICAS:
P1) O que caracteriza uma onda “simples”?
Define as ondas que possuem apenas uma componente vetorial para o Campo Elétrico E e
somente uma componente vetorial para o Campo Magnético H, propagando em um meio
linear, homogêneo e isotrópico, com características ε, μ e σ dadas por constantes escalares.
P2) O vetor campo elétrico é sempre perpendicular ao vetor campo magnético?
Justifique.
Sim. Segundo as equações de Maxwell, os campos E e H devem ser perpendiculares entre si.
Em termos mais rigorosos, as equações clássicas de Maxwell, que governam o Campo
Eletromagnético, aplicadas a uma região do espaço em que não existem cargas elétricas
livres nem correntes elétricas, admitem uma solução ondulatória, com o campo elétrico E e
o campo magnético H variando harmonicamente, um perpendicular ao outro e, ambos,
perpendiculares à direção de propagação. O Campo Elétrico variável gera um Campo
Magnético também variável e este e, por sua vez, gera um Campo Elétrico variável e assim
sucessiva e continuamente.
P3) O que caracteriza a direção de propagação de uma onda?
As ondas planas uniformes têm planos em fase constante, que são transversais à direção de
propagação da onda. Em instantes de tempo distintos, temos planos paralelos para os
campos E e H. Entre os planos paralelos vai haver uma diferença de fase campos
eletromagnéticos, proporcional à distância entre eles. Se o meio apresentar perdas, haverá
também uma diferença de amplitude. O vetor direção da onda representa a velocidade de
propagação da mesma em um determinado meio.
1. A
ε = 0
⎛
⎝ 8.8542 ⋅ 10
- 12 ⎞
⎠ ―――
s ⋅
4
A
2
kg ⋅m
3
ε≔ r
2 μ≔ r
1 σ ≔ 0
μ = 0
⎛ ⎝ 1.2566 ⋅ 10
- 6 ⎞ ⎠ ―――
kg ⋅m
s ⋅
2
A
2
f ≔ 20 MHz E ≔ m
80 ―
V
m
ε ≔ε ⋅ = 0
ε r
⎛
⎝ 17.7084 ⋅ 10
- 12 ⎞
⎠ ―――
s ⋅
4
A
2
kg ⋅m
3
μ ≔μ⋅ = 0
μ r
⎛
⎝ 1.2566 ⋅ 10
- 6 ⎞
⎠ ―――
kg ⋅m
s ⋅
2
A
2
ω ≔ 2 ⋅π ⋅f =
⎛
⎝ 125.6637 ⋅ 10
6 ⎞
⎠ ――
rad
s
c =
⎛
⎝ 299.7925 ⋅ 10
6 ⎞
⎠ ―
m
s
β ≔ω ⋅ =
‾‾‾‾ μ ⋅ε
⎛ ⎝ 592.7945 ⋅ 10
- 3 ⎞ ⎠ ――
rad
m
( ( a ) ) γ ≔ =
j ⋅ω ⋅μ ⋅
σ +j ⋅ω ⋅ε
592.7945i ⋅ 10
- 3 ⎞
⎠ ―
m
( ( b ) ) υ ≔ = ―――
c
μ ⋅ r
ε r
6 ⎞
⎠ ―
m
s
( ( c ) ) λ ≔――=
2 ⋅π
β
10.5993 m
( ( d ) ) η ≔ =
μ
ε
( ( e
) )
H =
y
0 m
- 3 ⎞
⎠
A
m
1. B
( ( 1 ) )
FORMA FASORIAL (+âz):
E ≔
x
z
E ⋅
m
e
- j ⋅β ⋅z
V
m
E ≔
x
z
80 ⋅e
- j ⋅592.7945 ⋅ 10 ⋅
- 3
z
V
m
H ≔
y
z
E
m
η
e
- j ⋅β ⋅z
A
m
H ≔
y
z
- 3
e
- j ⋅592.7945 ⋅ 10 ⋅
- 3 z
A
m
FORMA TEMPORAL (+âz):
E ≔
x
z ,t
E ⋅
m
cos
ω ⋅t - β ⋅z
V
m
E ≔
x
z ,t
80 ⋅cos
6
t 592.7945 ⋅ 10 ⋅
- 3
z
V
m
H ≔
y
z ,t
E
m
η
cos
ω ⋅t - β ⋅z
A
m
H ≔
y
z ,t
- 3
cos
6
t 592.7945 ⋅ 10 ⋅
- 3
z
A
m
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS – PUC-MG
IPUC - Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação
PROBLEMA 2 : Cálculo das componentes de uma onda plana uniforme no meio COM
perdas
Uma onda plana uniforme simples, produzida por uma fonte senoidal, propaga-se num meio com
perdas e caracterizado por: σ (S/m), μ = μr μo (H/m) e ε = εr εo (F/m).
O meio apresenta as seguintes características: σ = 10 (S/m), μ r = 1 e ε r = 2 ,
Considere que a onda é simples e tem somente as componentes Ex e Hy, se propagando na direção
do sentido positivo do eixo z.
2 A) Se a frequência do sinal é de 20 MHz e a amplitude da componente do campo
elétrico é de 80 V/m, determine:
a) A constante de propagação (constante de fase e constante de atenuação)
b) A velocidade de propagação
c) O comprimento de onda
d) A impedância característica do meio
e) A amplitude da componente de campo magnético
2 B) Com os valores calculados, mostre as expressões que caracterizam as
componentes de campo Ex e Hy no domínio da frequência (fasorial) e no domínio do
tempo
2B.1) somente a onda viajando no sentido +z;
2B.2) somente a onda viajando no sentido – z;
2 C) Utilize as simplificações para o caso de bom condutor e recalcule os valores das
constantes de fase, de atenuação e da impedância da onda.
2 D) Como poderíamos caracterizar o meio como bom condutor a fim de utilizar as
fórmulas simplificadas logo no início?
2. A
ε = 0
⎛
⎝ 8.8542 ⋅ 10
- 12 ⎞
⎠ ―――
s ⋅
4
A
2
kg ⋅m
3
ε≔ r
2 μ≔ r
1 σ ≔ 10 ―
S
m
μ = 0
⎛
⎝ 1.2566 ⋅ 10
- 6 ⎞
⎠ ―――
kg ⋅m
s ⋅
2
A
2
f ≔ 20 MHz E ≔ m
80 ―
V
m
ε ≔ε ⋅ = 0
ε r
⎛
⎝ 17.7084 ⋅ 10
- 12 ⎞
⎠ ―――
s ⋅
4
A
2
kg ⋅m
3
μ ≔μ⋅ = 0
μ r
⎛
⎝ 1.2566 ⋅ 10
- 6 ⎞
⎠ ―――
kg ⋅m
s ⋅
2
A
2
ω ≔ 2 ⋅π ⋅f =
⎛
⎝ 125.6637 ⋅ 10
6 ⎞
⎠ ――
rad
s
( ( a ) ) γ ≔ =
j ⋅ω ⋅μ ⋅
σ +j ⋅ω ⋅ε
28.0961 +28.1024i
m
γ ≔ polar
γ =
m
( ( b ) ) β ≔28.1024 ――
rad
m
α ≔28.0961 ――
Np
m
υ ≔―=
ω
β
6 ⎞
⎠
m
s
( (c
) ) λ ≔―=
υ
f
- 3 ⎞
m
( ( d ) ) η ≔ c
j ⋅ω ⋅μ
σ +j ⋅ω ⋅ε
2.8102 +2.8096i
η = c
Ω θ ≔ η
⎛
⎝ 249.9646 ⋅ 10 ⋅
- 3
π
⎞
⎠ rad
H =
y
0 m
3
313.5174i ⋅ 10
3 ⎞
⎠
A
m
2. B
( ( 1 ) )
FORMA FASORIAL (+âz):
E ≔
x
z
E ⋅ ⋅
m
e
- α ⋅z
e
- j ⋅β ⋅z
V
m
E ≔
x
z
80 ⋅e ⋅
- 28.0961 ⋅z
e
- j ⋅28.1024 ⋅z
V
m
H ≔
y
z
E
m
η c
e
- α ⋅z
e
- j ⋅β ⋅z
e
- j ⋅θ η
A
m
H ≔
y
z
3
e
- 28.0961 ⋅z
e
- j ⋅28.1024 ⋅z
e
- j ⋅249.9646 ⋅ 10 ⋅
- 3 π
A
m
FORMA TEMPORAL (+âz):
E ≔
x
z ,t
E ⋅ ⋅
m
e
- α ⋅z
cos
ω ⋅t - β ⋅z
V
m
E ≔
x
z ,t
80 ⋅e ⋅
- 28.0961 ⋅z
cos
6
t 28.1024 ⋅z
V
m
H ≔
y
z ,t
E
m
η c
e
- α ⋅z
cos
ω ⋅t - β ⋅z - θ η
A
m
H ≔ y
( ( z ,t ) ) 443.4299 ⋅ 10 ⋅ ⋅
3
e
- 28.0961 ⋅z
cos
⎛
⎜
⎝
↲
125.6637 ⋅ 10 ⋅ -
6
t 28.1024 ⋅z
249.9646 ⋅ 10 ⋅
- 3
π
⎞
⎟
⎠
―
A
m
( ( 2 ) )
FORMA FASORIAL (-âz):
E ≔
x
z
E ⋅ ⋅
m
e
⋅ α z
e
⋅ ⋅ j β z
V
m
E ≔
x
z
80 ⋅e ⋅
28.0961 ⋅z
e
j ⋅28.1024 ⋅z
V
m
H ≔
y
z
E
m
η c
e
α ⋅z
e
j ⋅β ⋅z
e
- j ⋅θ η
―
A
m
H ≔
y
z
3
e
28.0961 ⋅z
e
j ⋅28.1024 ⋅z
e
- j ⋅249.9646 ⋅ 10 ⋅
- 3 π
A
m
FORMA TEMPORAL (-âz):
E ≔
x
z ,t
E ⋅ ⋅
m
e
α ⋅z
cos
ω ⋅t +β ⋅z
V
m
E ≔
x
z ,t
80 ⋅e ⋅
28.0961 ⋅z
cos
6
t 28.1024 ⋅z
V
m
H ≔
y
z ,t
E
m
η c
e
α ⋅z
cos
ω ⋅t +β ⋅z - θ η
A
m
H ≔ y
( ( z ,t
) ) 443.4299 ⋅ 10 ⋅ ⋅
3
e
28.0961 ⋅z
cos
⎛
⎜
⎝
↲
125.6637 ⋅ 10 ⋅ +
6
t 28.1024 ⋅z
249.9646 ⋅ 10 ⋅
- 3
π
⎞
⎟
⎠
―
A
m