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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
MAT0220 8 - Econometria | Graduação em Ciências Econômicas
Professor Orientador: Hudson da Silva Torrent
ECONOMETRIA: MODELAGEM DE SÉRIES TEMPORAIS
ANA JÚLIA ALESSIO
GIORDANO BRESSAN RIBEIRO
JORDAN WAGNER CORRÊA
Porto Alegre, Junho de 2017.
SUMÁRIO
- 1 SÉRIE 1 (X1)
- 1.1 Teste ADF..................................................................................................................................
- 1.2 FAC e FACP
- 1.3 Estimação dos modelos candidatos e análise de resíduo...........................................................
- 1.4 Previsão
- 2 SÉRIE 2 (X2)
- 2.1 Teste ADF................................................................................................................................
- 2.2 FAC e FACP
- 2.3 Estimação dos modelos candidatos e análise de resíduo.........................................................
- 2.4 Previsão
Consideradas a hipótese nula e alternativa do teste ADF (Ho: há uma raiz unitária), conclui-
se através do p-valor que não é possível rejeitar Ho com um nível de significância de 5%, o que im-
plica que a série tem pelo menos uma raiz unitária. Deve-se realizar novamente o teste ADF para
uma segunda defasagem, como segue:
Teste ADF para a 2ª defasagem: Teste Aumentado de Dickey-Fuller para d_x incluindo 1 defasagem de (1-L)d_x (o máximo foi 17, critério AIC) tamanho da amostra: 422 hipótese nula de raiz unitária: a = 1 teste com constante modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)y(-1) + ... + e valor estimado de (a - 1): -0, estatística de teste: tau_c(1) = -8, p-valor assintótico 1,239e- coeficiente de 1ª ordem para e: -0, com constante e tendência modelo: (1-L)y = b0 + b1t + (a-1)*y(-1) + ... + e valor estimado de (a - 1): -0, estatística de teste: tau_ct(1) = -8, p-valor assintótico 1,75e- coeficiente de 1ª ordem para e: -0,
Através da análise dos p-valores desse teste é possível rejeitar a hipótese nula, indicando que
a série possui apenas 1 raiz unitária. A seguir, na Figura 2, o gráfico da série diferenciada mostra
que ela foi tornada estacionária.
Figura 2: Gráfico da série diferenciada.
1.2 FAC e FACP
Dado que a série foi tornada estacionária, parte-se para a análise dos gráficos FAC e FACP.
Eles representam a relação existente, total e parcial respectivamente, dos regressores sobre a variá-
vel explicada.
No caso da série temporal em questão, os gráficos de FAC e FACP comportam-se da seguin-
te forma:
Figura 3: Gráficos FAC e FACP.
O processo parece apresentar 4 defasagens relevantes no gráfico FAC e 2 no gráfico FACP.
Isto indica, possivelmente, um processo ARIMA(p,1,q) - ou ARMA(p,q) com Ordem de Integração
1 - ou um processo AR(p), já que apresenta decaimento exponencial na FAC e truncagem no lag p,
com decaimento abrupto na FACP.
É necessário propor modelos candidatos e determinar, através dos critérios de informação,
qual o modelo com o melhor ajuste (menor critério de informação e modelo mais parcimonioso). A
próxima seção trata deste tópico.
Figura 6: FAC e FACP - ARIMA (1, 1, 4) e ARIMA (2, 1, 0).
Figura 7: FAC e FACP - ARIMA (2, 1, 1) e ARIMA (2, 1, 2).
Figura 8: FAC e FACP - ARIMA (2, 1, 3) e ARIMA (2, 1, 4).
A hipótese nula (Ho) do teste de Autocorrelação (L’Jung Box) estabelece que o resíduo é
ruído branco, permitindo determinar se a série será utilizada ou descartada.
Após a análise dos critérios de informação, expostos na Tabela 1, optou-se pelo modelo
ARIMA (2,1,0), uma vez que os valores de AIC quanto HQ apresentam esse modelo como o de me-
lhor ajuste aos dados (os critérios de menor valor).
Modelo Ruido Branco AIC BIC HQ ARIMA(2,1,4) p-valor:0,9521 1165,869 1198,267 1178, ARIMA(1,1,4) p-valor:0,9521 1164,351 1192,699 1175, ARIMA(2,1,3) p-valor:0,9695 1164,061 1192,410 1175, ARIMA(1,1,3) p-valor:0,9647 1162,652 1186,951 1172, ARIMA(2,1,2) p-valor:0,9863 1162,065 1186,364 1171, ARIMA(1,1,2) p-valor:0,9743 1160,933 1181,181 1168, ARIMA(2,1,1) p-valor:0,9938 1160.102 1180.351 1168, ARIMA(1,1,1) p-valor:0,9195 1160,584 1176,782 1166, ARIMA(2,1,0) p-valor:0,9612 1159,804 1176,003 1166,205 ARIMA(1,1,0) p-valor:0,5782 1162,914 1175,063 1167,
Tabela 1: Modelos propostos e valores para critérios de informação.
Ademais, realizou-se outros testes sobre os resíduos do modelo selecionado, apresentados a
seguir.
Teste para Normalidade do Resíduo
Esse teste visa determinar se o resíduo possui distribuição normal N(0,1). Sendo:
- Ho: Há distribuição normal;
- H1: Não há distribuição normal.
Como o teste apresenta p-valor = 0,9193, que é maior que o nível de significância de 5%,
não rejeita-se Ho, e portanto há distribuição normal dos resíduos na série.
Figura 9: Teste de Normalidade.
1.4 Previsão
Previsão pelo Gretl: é necessário notar que foi calculada a previsão dos 100 valores anterio-
res ao intervalo escolhido para a predição (começa a partir de 2005/6).
Figura 10: Previsão.
Erro quadrático médio da previsão Gretl X1: 1,01828.
Erro quadrático médio da previsão passeio aleatório: 0,62776.
O erro quadrático médio da previsão realizada pelo software Gretl possui maior variabilida-
de do que a previsão passeio aleatório.
Isso implica que a utilização de um valor anterior da série em relação a seguinte (passeio
aleatório) descreve os dados de maneira mais acurada que a previsão um passo a frente realizada pe-
lo Gretl.
2 SÉRIE 2 (X2)
2.1 Teste ADF
Prosseguindo com a modelagem da série 2 (X2), analisa-se o gráfico da série temporal.
Figura 11: Gráfico da série temporal X2.
A série parece apresentar tendência deterministica. Isso é notável pois é possível rejeitar a
hipótese nula (Ho), significância de 5% com constante e tendência, como é visível no teste (p-valor
= 1,956e-010 < 0,05).
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para x incluindo 8 defasagens de (1-L)x (o máximo foi 17, critério AIC) tamanho da amostra: 425 hipótese nula de raiz unitária: a = 1 teste com constante modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e valor estimado de (a - 1): -0, estatística de teste: tau_c(1) = -0, p-valor assintótico 0, coeficiente de 1ª ordem para e: -0, diferenças defasadas: F(8, 406) = 8,644 [0,0000] com constante e tendência
2.2 FAC e FACP
Dada a estacionariedade, busca-se os gráficos de FAC e FACP para determinar os modelos
candidatos da série (Figura 13).
Figura 13: FAC e FACP para uhatx2.
O processo parece apresentar 5 defasagens relevantes no gráfico FAC e 2 no gráfico FACP,
podendo indicar um processo ARIMA(p,1,q) - ou ARMA(p,q) com Ordem de Integração 1 - ou um
processo AR(p), já que apresenta decaimento exponencial na FAC e truncagem no lag p (lag 2) com
decaimento abrupto na FACP. Analisa-se os critérios de informação para estabelecer o modelo que
melhor se ajusta os dados, tema da próxima seção.
2.3 Estimação dos modelos candidatos e análise de resíduo
Os modelos propostos, dado as defasagens da FAC e FACP, são: ARIMA(2,0,5), ARI-
MA(1,0,5), ARIMA(2,0,4), ARIMA(1,0,4), ARIMA(2,0,3), ARIMA(1,0,3), ARIMA(2,0,2), ARI-
MA(1,0,2), ARIMA(2,0,1), ARIMA(1,0,1), AR(2), ARIMA(1,0).Os gráficos dos respectivos mode-
los são apresentados na sequência.
Figura 14: FAC e FACP - AR (1) e AR (2).
Figura 15: FAC e FACP - ARIMA (1, 0, 1) e ARIMA (1, 0, 2).
Figura 19: FAC e FACP - ARIMA (2, 0, 4) e ARIMA (2, 0, 5).
Conforme a Tabela 2, os critérios de informação apontam que o modelo ARIMA(2,0,0) é o
que melhor descreve a série. Na sequência, são realizados outros testes para determinar característi-
cas peculiares da série.
Modelos Ruido Branco AIC BIC HQ ARIMA(2,0,5) p-valor:0,7806 1249,188 1285,656 1263, ARIMA(1,0,5) p-valor:0,8665 1247,200 1279,617 1260, ARIMA(2,0,4) p-valor:0,6677 1248,842 1281,259 1261, ARIMA(1,0,4) p-valor:0,4258 1249,052 1277,417 1260, ARIMA(2,0,3) p-valor:0,6025 1247,037 1275,401 1258, ARIMA(1,0,3) p-valor:0,5363 1247,104 1271,416 1256, ARIMA(2,0,2) p-valor:0,5294 1247,121 1271,434 1256, ARIMA(1,0,2) p-valor:0,6217 1245,144 1265,404 1253, ARIMA(2,0,1) p-valor:0,6141 1245,342 1265,603 1253, ARIMA(1,0,1) p-valor:0,5551 1244,595 1260,803 1250, ARIMA(2,0,0) p-valor:0,6843 1243,495 1259,703 1249,898 ARIMA(1,0,0) p-valor:0,0596 1251,380 1263,536 1256,
Tabela 2: Modelos propostos e valores para critérios de informação.
Teste de Normalidade de Resíduo
Esse teste visa determinar se o resíduo possui distribuição normal N(0,1).
Sendo:
Ho: Há distribuição normal;
H1: Não há distribuição normal.
Figura 20: Teste de Normalidade.
Como o teste apresenta p-valor = 0,5810, que é maior que o nível de significância de 5%,
não rejeita Ho, e portanto há distribuição normal dos resíduos na série (Figura 20).
Teste ARCH
Utilizando uma função quadrática das observação passadas estima-se a volatilidade no ins-
tante t. Sendo:
- Ho: Não tem efeito ARCH;
- H1: Tem efeito ARCH;
Teste ARCH de ordem 12
Estatística de teste: LM = 13,
com p-valor = P(Qui-quadrado(12) > 13,7191) = 0,
Dado o p-valor = 0,319005, maior que o nível de significância 5%, não rejeita Ho, implican-
do que o efeito ARCH não está presente.
