Baixe trabalho Matlab e outras Trabalhos em PDF para Cultura, somente na Docsity!
1. RESUMO:
DELGADO, L. S.; FERREIRA, A. G.; CORDEIRO, E. W. F.; OLIVEIRA,
D. M. de; SILVA, M. F.; DUARTE, R. F.; FARIA V. I. G, de. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E PARCIAIS. Centro universitário de Caratinga – UNEC, junho de 2010.
Daremos inicialmente uma breve introdução sobre a teoria das equações diferenciais. Apresentaremos algumas noções preliminares ao estudo da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias e parciais. Faremos um estudo das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Desenvolveremos posteriormente o estudo das equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e dos sistemas de equações diferenciais, utilizando o conteúdo discutido em aplicações na área de projetos de Engenharia Ambiental.
- INTRODUÇÃO: A Teoria das Equações Diferenciais é objeto de intensa atividade de pesquisa, pois apresenta aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações, além de apresentar diversas ramificações.
Será feito o estudo e análise crítica de diversas aplicações das equações diferenciais e sua utilização em projetos de Engenharia Ambiental, assim como o seu estudo quantitativo e principalmente qualitativo, em que se toma a atitude de retirar das equações informações sobre o comportamento de suas soluções e ainda serão escolhidos três métodos de resolução dessas equações, tal estudo se justifica pelo fato de que o número de equações que podem ser resolvidas em termos de funções elementares, sem a utilização de métodos numéricos, é pequeno. Não devemos perder de vista que a teoria qualitativa não elimina o interesse e a importância de se ter informações quantitativas sobre as soluções, o que pode ser obtido pelos métodos descritos na bibliografia deste trabalho.
- REVISÃO BIBLIOGRAFIA:
3.1. Equações Diferencias. BENEVIDES (2007):
Primeiramente é preciso recordar a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, embora a derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores têm significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são:
a. A derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por exemplo, a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades puramente matemáticas;
b. A derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza;
c. A derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que envolve uma grandeza;
d. O resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura, consequentemente, não existe a integral de uma derivada, a integral só pode ser aplicada a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo);
e. Se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se: dy/dx em total semelhança com a definição de derivada. A conseqüência direta desse fato é que a derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse quociente. Isto significa que a partir da relação: dy/dx= é possível escrever: dy = f(x).dx que se denomina equação diferencial.
f. Uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferencial é a obtenção da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo Integral. 3.1.1 Definição:
As equações diferenciais parciais serão vista mais adiante. Exemplos: x(d 3 y/dx 3 ) – [y/(d 3 y/dx 3)] = 1 x(d 3 y/dx 3 ) – y = d^3 y/dx 3ª ordem e 2° grau. Ln ӏ (dy/dx) ӏ – ln ӏ x 2 ӏ = y ln ӏ (dy/dx)/ x 2 ӏ = y (1/ x 2 ). (dy/dx) = ey^1 a
ordem e 1°^ grau.
Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato quanto à ordem e grau.
g.3. Origem das Equações Diferenciais:
Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como y = x^4 + Cx ou y = Ax 2 + Bx, é chamada uma primitiva. As
n constantes, representadas sempre aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não puderem ser substituídas por um número menos de constantes. Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a uma equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece eliminando-se as n constantes entre as (n + 1) equações obtidas juntando-se a primitiva as n equações provenientes de n derivadas sucessivas, em relação à variável independente, da primitiva.
3.1.4 Resolução: Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração.
3.1.5 Curvas Integrais:
Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da equação diferencial.
3.1.6 Tipos de Solução: a. Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem às unidades de ordem da equação. b. Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. c. Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais não apresentam essa solução. Esse tipo de solução será visto mais adiante. As soluções ainda podem ser: d. Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma y = f (x) é chamada solução explícita. e. Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma G (x, y)=0 trata-se de uma solução implícita. 3.1.7 Existência e unicidade de solução para uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO. a. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? b. Se tiver solução, será que esta solução é única? c. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas características.
c. y’’ + 3y y’ = e x d. y’= f(x, y) e. M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 3.2.2 Classes de Diferenciabilidade: Uma função real 𝑓: pertence à classe de diferenciabilidade C n^ (), se:
- 𝑓 é contínua;
- Todas as derivadas f(k) (k = 1, 2, 3,..., n) são funções contínuas Quando n = 0, identificamos a classe das funções reais contínuas com C 0 (R). Exemplos:
- A função 𝑓: definida por f(x) = |x| pertence à classe C 0 ( ) mas não pertence à classe C1(R).
- A função g : definida por g(x) = |x|3 pertence à classe C 3 () mas não pertence à classe C4(R).
- A função h : definida por h(x) = ex pertence à classe C 1 (). 3.2.3 Operadores diferenciais lineares: Demonstra-se que o conjunto = C n^ () de todas as funções reais n vezes continuamente diferenciáveis, é um espaço vetorial sobre. Para cada 𝑓 , definimos o operador diferencial D : F por D( 𝑓) = 𝑓’ sendo D^0 ( 𝑓) = 𝑓. Para cada k = 1, 2, 3,..., n, definimos o operador diferencial recursivo Dk^ : por Dk^ ( 𝑓) = D[D k −^1 ( 𝑓)] = 𝑓 (k)^ que representa a derivada de ordem k da função 𝑓 ϵ F.
Demonstra-se que são lineares estes operadores diferenciais D k^ ϵ , isto é, para quaisquer 𝑓, g e para quaisquer a, b D k(a 𝑓 + bg) = a Dk ( 𝑓) + b D k^ (g).
Exemplo:
O operador L =x^5 D 2 + ex^ D + sin(x)I é linear sobre o espaço vetorial = C^2 (), pois para quaisquer 𝑓, g ϵ e para quaisquer números reais a e b, vale a identidade L(a 𝑓 + bg) = a L( 𝑓) + b L(g). 3.2.4 Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n: Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma a 0 (x) y(n)^ + a 1 (x) y (n-1)^ + a 2 (x) y (n-2)^ +... + an (x) y = b(x) onde as funções b = b(x) e a (^) k =
ak (x) (k = 0, 1, 2,..., n), são funções conhecidas sendo a 0 = a 0 (x) não identicamente nula e todas estas funções devem depender somente da variável x. A função (incógnita) desconhecida é y = y(x). Em virtude das informações da seção anterior, é possível definir o operador diferencial linear L = a 0 (x) D(n)^ + a 1 (x) D(n-1)^ + a 2 (x) D(n-2)^ +... + a (^) n (x) I e assim a equação diferencial acima terá a forma simplificada L(y) = b(x) e este é o motivo pelo qual, a equação diferencial acima recebe o nome de linear.
- Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: 3.3.1 A forma normal e diferencial de primeira ordem: Uma grande quantidade de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem pode ser escrita na sua forma normal, dada por: y’ = 𝑓(x, y) ou quando a função 𝑓 = 𝑓(x, y) pode ser escrita como o quociente de duas outras funções M = M(x, y) e N = N(x, y), temos: y’= M(x, y)/N(x, y)
É vantajoso manter o sinal negativo antes da fração, na forma y’ = − M(x, y)/N(x, y) pois usando o fato que dy = y’(x)dx, poderemos escrever M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
Exemplos: a. (^) A equação diferencial y’ = cos(x + y) está em sua forma normal. b. A equação diferencial y’ =x/y está em sua forma normal, mas pode ser reescrita na sua forma diferencial (x)dx – (y)dy = 0. 3.3.2 Equações separáveis de primeira ordem: Seja uma equação diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Se M é uma função apenas da variável x, isto é M = M(x) e N é uma função apenas da variável y, isto é N = N(y), então a equação dada fica na forma M(x) dx + N(y) dy = 0 e ela é chamada equação separável. Isto é motivado pelo fato
Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar que todos os monômios da função possuem o mesmo grau. No caso de uma função racional (quociente de polinômios), os membros do numerador devem ter um mesmo grau m e os membros do denominador devem também um mesmo grau n, sendo que o grau da expressão do denominador pode ser menor ou igual que o grau da expressão do numerador. Uma equação diferencial de primeira ordem na forma normal y’ = 𝑓(x, y) é dita homogênea se 𝑓 = 𝑓(x, y) é uma função homogênea de grau zero.
Pode-se resolver uma Equação diferencial homogênea, transformando-a em uma equação de variáveis separáveis com a substituição y(x) = x v(x) ou de uma forma mais simples y = x v, onde v = v(x) é uma nova função incógnita. Assim, dy = x dv +v dx e uma equação da forma
y’ = 𝑓(x, y) pode ser transformada em uma equação separável da forma
E após simplificações obtemos uma equação com variáveis separáveis.
3.3.5 Equações Exatas de primeira ordem: Na Sequência, utilizaremos a notação para a derivada parcial da função M = M(x, y) em relação à variável x. Uma equação na forma diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 será exata, se existir uma função
F = 𝑓(x, y) cuja diferencial exata dF = 𝑓 (^) xdx+ 𝑓 (^) ydy coincide com Mdx+Ndy = 0, isto é: dF = M(x, y) dx + N(x, y) dy
Exigindo algumas propriedades de diferenciabilidade das funções M e N, temos outro critério para a garantia que esta equação é exata. Diremos que a equação Mdx + Ndy = 0 é exata se My = Nx.
Método de resolução: Para resolver uma EDO da forma Mdx+Ndy = 0, devemos verificar se esta EDO é exata e em caso positivo, garantir que existe uma função F = 𝑓(x, y) tal que
Na Sequência, tomamos a relação F (^) x = M(x, y) e integramos em relação à variável x para obter 𝑓(x, y) = M(x, y)dx + g(y) onde g = g(y) é uma função apenas da variável y. Agora, derivamos parcialmente esta última função F = (x, y) em relação à variável y: e identificamos esta derivada com a função N = N(x, y), para obter a expressão de g = g(y). A solução da EDO exata será dada por 𝑓(x, y) = C. 3.3.6 Equações não lineares redutíveis a lineares. Obter soluções para equações diferenciais não lineares é difícil porém existem algumas equações que mesmo sendo não lineares, podem ser transformadas em equações lineares. Os tipos mais comuns de tais equações são:
Equação de Bernoulli: É uma equação diferencial não linear da forma y’+ p(x) y = q(x) y n^ Ao tomar a substituição w=y1-n^ , observamos agora que w depende indiretamente da variável x e teremos a equação: w '
- (1-n) p(x) w = (1-n) q(x) que é uma EDO linear de primeira ordem. Equação de Riccati: É uma equação diferencial não linear da forma y' = p(x) q(x) y + r(x) y². Aqui, um fato grave é que não é possível resolver tal equação se não pudermos apresentar uma solução particular para a mesma, assim tomaremos yp uma solução particular de y' = p(x) + q(x) y + r(x) y² e construiremos uma nova função z definida por: z = 1/(y – yp ) Com alguns cálculos simples, obtemos: z ' + [q(x) + 2 y (^) p r(x)] z = r(x) que é uma EDO linear na variável z. Depois de resolvida esta última, voltamos à variável original y, com a relação: y = y (^) p + 1/z Exemplos: Para resolver a equação de Riccati y'=-2-y-y², tomamos y(x)=2 que é uma solução particular para a EDO dada, faremos a substituição: z=1/(y-2) com y'=-z '/z², para obter a equação linear em z: z '
- 3 z = -1, cuja solução é: z(x) = -1/3+ C exp(-3x). E com alguns poucos cálculos podemos voltar à variável y para obter a solução procurada.
- Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. SANTOS (2010):
3.4.1 (Existência e Unicidade). O problema de valor inicial (PVI):
Observação: Não confundir a palavra homogênea empregada aqui com a homônima usada no estudo de equações diferenciais homogêneas de primeira ordem relacionada com funções homogêneas de grau zero.
d.5. Teorema de Existência e Unicidade de solução de um PVI:
O teorema de existência e unicidade de solução garante que a equação diferencial linear de segunda ordem com duas condições adicionais. Equações Lineares de 2a^ ordem com coeficientes constantes 25 das abaixo: a(x) y’’+ b(x) y’ + c(x) y = d(x) y(x 0 ) = y 0 y’(x 0 ) = y (^1) Possui uma única solução, desde que as funções a = a(x), b = b(x), c = c(x) e d = d(x) sejam contínuas e a = a(x) seja não identicamente nula num intervalo real que contenha o ponto x 0.
d.6. Equações Lineares de 2a^ ordem com coeficientes constantes: Como toda função constante real é contínua, então, dentre as equações diferenciais lineares, existe um grupo de equações muito importante que é formado pelas equações cujas funções coeficientes de y, y’ e y’’ são constantes e neste caso, escrevemos simplesmente: L(y) a y’’ + b y’ + c y = d(x) Para resolver este tipo de equação linear não homogênea:
- Devemos obter a solução geral y (^) h = y (^) h (x) da equação linear homogênea associada L(y) a y’’ + b y’ + c y = 0. Assim, devemos ter que L(y (^) h) = 0.
- Por algum processo matemático, obter uma solução particular yp = yp(x) para a equação original, o que significa que L(yp ) = d(x).
- A solução geral y = y(x) para a EDO dada será, a soma da solução geral da equação homogênea associada, obtida em (1) com a solução particular obtida em (2), isto é: y(x) = yh(x) + yp(x) Com esta forma, temos que: L(y) = L(yh + yp ) = L(yh ) + L(yp) = d(x) 3.4.6 Solução da equação homogênea associada:
Para resolver a equação homogênea com coeficientes constantes, devemos obter a equação característica associada à mesma, dada por: a r^2 + b r + c = 0
Obter as raízes da equação característica equivale a obter os autovalores do operador diferencial linear: L = a D 2 + b D + c I Como a equação característica é uma equação do segundo grau, ela possui exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos.
Detalhando um pouco mais, observamos que quando os valores de a, b e c são reais, existem três possibilidades para a obtenção das raízes:
a. Duas raízes reais e distintas: Se r e s são raízes reais e distintas as duas autofunções (autovetores) associadas a estes autovalores em relação ao operador L, formam o conjunto: {erx^ , esx}. b. Duas raízes reais e iguais: Se r é um autovalor real (multiplicidade 2), as duas autofunções (autovetores) associadas a estes autovalores em relação ao operador L, formam o conjunto: {erx^ , xerx^ }. c. Duas raízes complexas conjugadas: Se r e s são raízes complexos conjugadas, digamos r = a + ib e s = a − ib, as duas autofunções (autovetores) associadas a estes autovalores em relação ao operador L, formam o conjunto: {eax^ cos(bx), e ax^ sin(bx)}. 3.4.7 Método de d’Alembert para obter outra solução. É possível demonstrar que, o conjunto formado por qualquer um dos pares de funções apresentados nos três casos é linearmente independente
(LI) no espaço vetorial de todas as funções reais sobre o corpo dos números reais. Mais importante ainda é que, toda combinação linear destas funções também será solução da equação diferencial linear: a y’’ + b y’ + c y = 0.
Se {y 1 , y 2 } é qualquer um dos conjuntos acima citados, a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem será dada por: y = c 1 y 1 + c 2 y (^) 2.
Com o método de d’Alembert, resolveremos a equação t 2 y’’ + 3t y’+ y = 0 assumindo que y 1 (t) =1/t seja uma solução (Verifique isto!). Tomaremos y(t) = v(t).1/t Para obter y’(t) = (1/ t) v’(t) –(1/ t 2 ) v(t) e y’’(t) = (1/ t 2 ) [t v’’(t) − 2v’(t) + 2(1/ t) v(t)]. Substituindo estas derivadas, bem como a função y = y(t) na EDO com coeficientes variáveis teremos: t v’’(t) + v’ (t) = 0 e tomando v’(t) = p(t), teremos a EDO linear de primeira ordem t p’(t) + p(t) = 0 cuja solução geral é p(t) = K/ t Voltando à variável introduzida anteriormente, teremos v’(t) =K/t cuja solução é: v(t) = C + D ln t e voltando à função tomada inicialmente, com C = 0 e D = 1: y 2 (x) =[(1/t) ln t] e a solução geral da EDO dada será y(x) =(1/ t)(C1 + C2 ln t).
- Equação equidimensional de Euler-Cauchy:
Uma equação equidimensional de Euler (Cauchy) é uma equação diferencial ordinária (EDO) linear da forma: a (^) n xn^ y(n)^ + an − 1 xn −^1 y(n − 1)^ + ... + a 1 x y’ + a’ y = g(x) onde n é um
número natural que fornece a ordem da equação com a (^) n0, os a (^) k são números reais para k = 0, 1, 2,..., n e a função g = g(x) é contínua sobre um intervalo aberto real.
A importância da equação de Euler ocorre quando estamos procurando obter soluções u = u(x, y) para a equação diferencial parcial de Laplace de segunda ordem sobre uma região circular [ 2 u(x, y)]/(x^2 )]+[ [ (^2) u(x, y)]/(y (^2) )]= Acontece que o estudo desta equação no círculo fica complicado com o uso de coordenadas retangulares (x, y), mas se realizarmos uma mudança de variáveis para coordenadas polares (r,), definidas por x = r
cos(), y = r sin() obteremos a equação de Laplace em coordenadas polares e [ 2 u(r,)]/(r 2 )]+{(1/r)[u(r,)]/()}+{(1/r 2 )[ 2 u(r,)]/( ∂^2 )}=0 deveremos procurar soluções da forma u = u(r, ). Para resolver esta última equação, usaremos o método de separação das variáveis que adota u(r, ) = R(r) T() para obter uma outra equação [d^2 R(r)/dr 2 ] T() + (1/r) {[dR(r)/dr](T()} + [(1/r^2 )[R(r)][d^2 T()/ d^2 ]=0. Que pode ser separada em duas partes [r^2 R’’(r)+rR’(r)/R(r)] − T’’()/T() sendo que a primeira só contém a variável r e a segunda só contém a variável. É fácil mostrar que ambas as expressões devem coincidir com uma constante, digamos , assim poderemos escrever [r 2 R’’(r) ]+ [rR’(r)/R(r)] − T’’()/T(). A primeira igualdade conduz a uma equação de Euler: r 2 R’’(r) + rR’(r) − R(r) = 0. Na sequência, mostraremos como resolver equações de Euler homogêneas.
Para as equações de Euler não homogêneas, devemos usar o método da variação dos parâmetros. Para resolver uma equação de Euler da forma
a (^) n xn^ y (n)^ + a n −^1 x n −^1 y(n − 1)^ + ... + a 1 x y’ + a 0 y = 0 procuraremos obter
números r reais ou complexos de modo que a função y = y(x) = xr^ seja solução da EDO linear dada. Outra forma alternativa (que não será usada neste trabalho) é considerar a mudança de variável x = e t^ para transformar a EDO de Euler em uma EDO linear com coeficientes constantes. Assim, obteremos n soluções LI para a EDO linear dada. Dessa forma y’ = rxr −^1 e y’’ = r(r − 1)xr −^2 e em geral y(k)^ = A(r, k) xr − k^ onde A(r, k) é o arranjo de r elementos tomados k a k, definido por: A(r, k) = r(r − 1)(r − 2)... (r − k + 1). Para facilitar os nossos trabalhos, consideraremos o caso geral de uma equação de Euler de ordem n = 2, isto é: (a x^2 y’’ + bx y’ + c y = 0) Substituindo a função y(x) = x r^ como as suas derivadas, obteremos:
estamos realizando a derivada em relação à variável r, nosso trabalho será um pouco maior e neste caso Dr(xr) = Dr[e r^ ln x] = lnxDr[e r^ ln x] = x r^ ln x o que garante que: L[ln x xr] = 2(r − 2) x r^ + (r − 2)^2 x r^ ln x. Neste caso, o autovalor é r = 2, assim substituindo r = 2 na última expressão, obteremos L[x^2 ln x] = 0
Como o operador L aplicado a esta função fornece um resultado nulo, significa que esta é uma outra solução para a equação de Euler, assim, justificamos a razão pela qual devemos multiplicar a solução anterior por ln x, isto é y 2 (x) = x 2 ln x Como o conjunto formado pelas funções {y1, y2} é linearmente independente, podemos escrever a solução geral como:
y(x) = C 1 x 2 + C 2 x 2 ln x = x^2 [C 1 + C 2 ln x]. Exemplo: Para a equação de Euler de terceira ordem x 3 y(3)^ + 6x^2 y’’ + 7x y’ + y = 0 tomaremos y(x) = xr^ para obter xr^ (r^3 + 3r^2 + 3r + 1) = 0 A equação
indicial (característica) é r 3 + 3r 2 + 3r + 1 = 0 que tem a raiz tripla r = − 1, garantindo uma primeira solução y 1 (x) = x −^1 = (1/x)\De forma similar ao exemplo acima, multiplicamos y 1 por ln x para Obter: y 2 (x) = (1/x)/(ln x) E multiplicamos y 2 por ln x para obter: y 3 (x) =(1/x)(ln x) 2 E a solução geral desta equação de Euler será: y(x) = (1/x)[C^1 + C^2 ln x + C^3 (ln x) 2 ] 3.5 Duas raízes complexas conjugadas: Se as raízes são dadas por: r 1 = a + bi, r 2 = a – bi, poderíamos tentar usar as funções complexas, como: y 1 (x) = x a+bi, y 2 (x) = x a − bi^ mas isto nem sempre é adequado, pois estamos procurando funções reais válidas para
x > 0. Trabalharemos então com as partes real e imaginária do número complexo r = a + bi para obter a solução da equação de Euler. Usaremos então: y(x) = x a+bi^ = xa^ xbi^ = x a^ exp (i b ln x). E pela relação de Euler: y(x) = x a[cos(b ln x) + i sin(b ln x)] Ou seja, y(x) = [x a^ cos(b ln x)] + i[x a^ sin(b ln x)]. Desse modo, tomamos as partes reais e imaginárias desta última função como sendo as soluções LI procuradas, que são as funções reais: y 1 (x) = xa^ cos(b ln x), y 2 (x) = xa^ sin(b ln x) e a solução geral da equação de Euler homogênea será y(x) = C 1 xa cos(b ln x) + C 2 x a^ sin(b ln x) ou seja y(x) = x a^ [C 1 cos(b ln x) + C 2 sin(b ln x)].
Exemplo: Para a equação de Euler L(y) = x 2 y’’ + x y’ + 4y = 0 a equação indicial associada é r^2 + 4 = 0 cujas raízes são r 1 = 2i = 0 + 2i e r 2 = − 2i = 0 − 2i, logo y 1 (x) = x^0 cos(ln x 2 ) = cos(2 ln x) e y 2 (x) = x 0 sin(ln x 2 ) = sin(2 ln x) e a solução geral da EDO linear homogênea associada será:
y(x) = C 1 cos(2 ln x) + C 2 sin(2 ln x) O método dos coeficientes a determinar fornece uma solução particular para uma equação linear não homogênea
a y’’+ b y’+ c y = d(x) A função d = d(x), nosso objetivo será obter uma solução particular yp = yp (x) que possa ser escrita como combinação linear de um conjunto linearmente independente de funções. O problema fica mais fácil quando esta função d = d(x) tem alguma das formas abaixo.
