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EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 283
Transformações Geométricas - motivação
Desenhos/gráficos complexos podem ser feitos
pela composição de primitivas simples. Através
de transformações geométricas básicas
(translação, escalamento e rotação) é possível
posicionar as primitivas para compor o
desenho/gráfico.
As transformações podem ser utilizadas para
dar “movimento” ao desenho/gráfico.
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 284
Transformações Geométricas - 2D
Translação 2D : transladar ponto dx unidades
na direção x e dy unidades na direção y.
Considerando P(x,y) ponto original e P’(x’; y’)
o ponto transladado temos:
Em notação vetorial
y
x
P
d
d
T
y
x
P
P Td d P T P
y
x
x y
y
x
y y d
x x d
Transformações Geométricas
Transformações Geométricas - 2D
Exemplo Translação 2D
Transladar de (3; -4) os pontos :
Transformações Geométricas
Transformações Geométricas - 2D
Escalamento 2D: Escalar ponto s
x
unidades na
direção x e s
y
unidades na direção y.
Considerando P(x,y) ponto original e P’(x’; y’)
o ponto escalado temos:
Em notação vetorial
Observe as relações entre distâncias entre
pontos:
y
x
P
s
s
S
y
x
P
P Ss s P S P
y
x
x y
x x x y
x x y x x y
x x x
sx s x sy s y s x x y y s s s
s x s x s y s y s x x s y y
s x s x s x x
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 2
1
2 2
1
2
1
2 1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1
y s y
x s x
y
x
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 287
Transformações Geométricas - 2D
Exemplo Escalamento 2D
Escalar de 2 uniformemente os pontos:
(-0.5; -0.5 ); (0.5; -0.5); (0.5; 0.5); (-0,5; 0,5)
Escalar de 1/2 uniformemente os pontos:
(-0.5; -0.5 ); (0.5; -0.5); (0.5; 0.5); (-0,5; 0,5)
Escalar de 1/2 uniformemente os pontos:
(4; 5 ), (7; 5); (7; 8), (5,5; 9,5), (4; 8)
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 288
Transformações Geométricas - 2D
Exemplo Escalamento 2D
Escalar de 1/2 em x e 1/4 em y os pontos:
(4; 5 ), (7; 5); (7; 8), (5,5; 9,5), (4; 8)
Observe que o escalamento é em torno da
origem. No dois últimos casos a casa fica
menor e mais próxima da origem.
Transformações Geométricas
Transformações Geométricas - 2D
Rotação 2D: Rodar em torno da origem de um
ângulo θ na direção anti-horária.
Em notação vetorial
y
x
P
sen
sen
S
y
x
P
P R P R P
cos
cos
θ θ
θ θ
θ
θ θ
θ θ
cos
cos
′= ⋅ + ⋅
= ⋅ − ⋅ ′
y xsen y
x x y sen
Transformações Geométricas
Transformações Geométricas - 2D
Rotação 2D:
θ
α
(x, y)
(x', y')
r
r
( ) ( )
( )
( )
x sen x y
sen sen y sen r r sen
r
y
x x sen y
sen sen x r sen r sen
r
x
sen sen sen
sen sen
r
y
sen
r
x
r
y
sen
r
x
r x y
′= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ ⇒ ′= ⋅⋅ + ⋅ ⋅ ⇒
′
′= ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅ ⇒′= ⋅⋅ − ⋅ ⋅ ⇒
′
′
′
= =
= +
θ θ
θ α α θ θ α θ α
θ θ
θ α θ α θ α θ α
θ α θ α α θ
θ α θ α θ α
θ α θ α
α α
cos
cos cos cos cos
cos
cos cos cos cos
cos cos
cos cos cos
cos ,
cos ,
2 2
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 295
Composição de transformações
Rotação e escalamento em torno de um ponto
P1 arbitrário
Transformação composta
T(x1,y1) R(θ) S(sx,sy ) T(-x1,-y1)
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 296
Composição de transformações
Regras de comutação
T1. T2 = T2. T1 (translação translação)
S1. S2 = S2. S1 (escalamento ecalamento)
R1. R2 = R2. R1 (rotação escalamento)
Para escalamento uniforme
S1. R1 = R1. S1 (escalamento rotação, se sx = sy)
Não comutam
T1.R1≠R1.T1 (translação rotação )
T1.S1≠S1.T1 (translação escalamento)
Para escalamento não uniforme
S1. R1 = R1. S1 (escalamento rotação, se sx ≠ sy)
Transformações Geométricas
Transformações 3D
Translação
Escalamento
( )
z
y
x
z
y
x
x y z
z z d
y y d
x x d
z
y
x
d
d
d
z
y
x
P Td d d P T P
( )
z s z
y s y
x s x
z
y
x
s
s
s
z
y
x
P Ss s s P S P
y
y
x
z
y
x
x y z
Transformações Geométricas
!
Transformações 3D
"
Rotação em torno eixo z
"
Rotação em torno do eixo x
( )
z z
y xsen y
x x y sen
z
y
x
sen
sen
z
y
x
P
P R P R P
z z
cos
cos
cos 0 0
cos 0 0
( )
cos
cos
0 cos 0
0 cos 0
z ysen z
y y z sen
x x
z
y
x
sen
sen
z
y
x
P
P R P
x
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 299
Transformações 3D
$
Rotação em torno eixo y
( )
cos
cos
0 cos 0
cos 0 0
z xsen z
y y
x x z sen
z
y
x
sen
sen
z
y
x
P
P R P R P
y y
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 300
%
Composição 3D
&
Composição arbitrária de rotações,
escalamentos e translações
rij - agrega as rotações e escalamentos
tk - agregas as translações
′
′
′
= ′
′= ⋅
1 0 0 0 1 1
31 32 33
21 22 23
11 12 13
z
y
x
r r r t
r r r t
r r r t
z
y
x
P
P M P
z
y
x
Transformações Geométricas
'
Transformação 3D
(
Exemplo: transformar os segmentos P 1
P 2
e P 1
P 3
da posição inicial para a posição final (P1 na
origem e P 1
P 2
alinhado com eixo z, P 1
P 3
quadrante positivo do plano (y,z))
Transformações Geométricas
)
Transformações
A combinação arbitrária de translações, rotações
e escalamentos resulta em uma matriz de
transformação da forma (caso 3D)
onde a matriz 3x3 superior esquerda é a
combinação dos escalamentos e rotações
e o vetor (t
x
, t
y
, t
z
T
é a combinação das
translações.
0 0 0 1
31 32 33
21 22 23
11 12 13
z
y
x
r r r t
r r r t
r r r t
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 307
/
Exercício 4
Demonstre que no caso geral a transformação
não preserva distância e ângulo, porém preserva
paralelismo.
Supondo 4 pontos, P1, P2, P3 e P4, a condicão
de paralelismo pode ser dada por:
r r r tz
r r r ty
r r r tx
T
( ) ( ) 0 2 1 4 3
P − P = α P − P α≠
P
P
P
P
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 308
0
Projeção
1
A transformação de um objeto 3D para o
espaço imagem 2D é denominada projeção.
1
A projeção de um objeto 3D é definida por
linha projetoras que emanam do centro de
projeção, passam por cada ponto do objeto. A
interseção deste projetores com o plano de
projeção definem o que é denominado de
projeção do objeto.
1
Projeção Planar : a projeção no plano é
denominada de projeção planar. No caso
genérico, o plano pode ser substituído por uma
superfície qualquer.
1
Projeção perspectiva : o centro de projeção
localiza-se a uma distância finita do plano de
projeção
1
Projeção paralela : a distância entre o centro de
projeção e o plano de projeção é infinita
(centro de projeção no infinito).
Transformações Geométricas
2
Projeção Planar Perpectiva
A
B
A'
B'
Plano de Projeção
Centro de Projeção
Projetor
Transformações Geométricas
3
Projeção Planar Paralela
A
B
A'
B'
Plano de Projeção
Centro de Projeção
no infinito
Projetor
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 311
4
Projeção Perpectiva - classificação
5
As projeções perspectiva podem ser
classificadas pelo número de eixos (X, Y e Z)
que o plano de projeção interseciona:
6
Perspectiva de 1 ponto
6
Perspectiva de 2 pontos
6
Perspectiva de 3 pontos
5
A projeção perpectiva de qualquer conjunto de
retas paralelas para aos eixos e não paralelas ao
plano de projeção convergem para um ponto
ponto de perspectiva (vanishing point).
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 312
7
Projeção Perpectiva - classificação
8
Perspectiva de um ponto (no eixo Z)
Transformações Geométricas
9
Projeção Perpectiva - classificação
:
Perspectiva de 2 pontos (eixos X e Z)
Transformações Geométricas
;
Projeção Paralela - classificação
<
As projeções paralelas podem ser classificadas
dependendo da relação entre a direção de
projeção e a norma do plano de projeção.
=
Projeção ortográfica : vetor direção de projeção
e a normal do plano de direção são paralelos. A
direção de projeção é perpendicular ao plano de
projeção.
=
Projeção oblíqua : o vetor direção de projeção a
a norma do plano não são paralelos. A direção
de projeção não é perpendicular ao plano de
projeção.
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 319
F
Projeção Ortogonal
(Matriz de transformação)
As coordenadas dos pontos projetadas são
dadas por:
A matriz de projeção é portanto:
Pois:
O ponto projetado em coordenadas cartesianas é
dado por:
p p p
x x y y z
=
0 0 0 1
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 0
ort
M
y
x
w
z
y
x
z
y
x
M P
w
z
y
x
per
y
x
z
y
x
z
y
x
p
p
p
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 320
G
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
H
Síntese se imagens por computador pode ser
entendido como o processo que transforma uma
representação 3D de uma cena em uma imagem
2D.
Transformações Geométricas
I
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
J
Uma cena em geral é composta de
K
Um ou mais objetos que serão visualizados (por
exemplo: mesas, cadeiras, etc…)
K
Uma ou mais fontes de luz. É necessário
especificar pelo menos uma fonte de luz para
que se possa visualizar a cena, que de outra
forma estaria escura, produzindo uma imagem
totalmente preta.
K
Uma câmera (virtual) para capturar a imagem. A
definição da câmera estabelece entre outros o
tamanho da imagem (formato do filme), o tipo
de projeção (o tipo de lente). Assim como na
vida real, o posicionamento relativo da câmera e
os objetos da cena definem que porção da cena
aparecerá na imagem.
Transformações Geométricas
L
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
M
Os objetos a serem visualizado são definidos
por sua forma (geometria) e aparência
(atributos ópticos - opacidade, cor, textura,
etc.).
M
Assim, no que se refere a geometria, para a
composição da cena é necessário:
1 Especificar a geometria (forma) dos objetos
(por exemplo: mesa, cadeira)
2. Posicionar os objetos na cena (por exemplo,
mesa no centro, quatro cópias da cadeira em
volta).
M
A área da computação gráfica voltada para os
problemas associado à especificação da
geometria é denominada Modelagem
Geométrica ou Modelagem de Sólidos (para
objetos que ocupam um volume).
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 323
N
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
O
Uma maneira simples e bastante usual na
Computação Gráfica para a modelagem
geométrica é a denominada representação
poligonal. Nesta representação uma superfície é
representada por um conjunto de polígonos, em
geral, planares (triângulos, quadrados, …).
O
Por exemplo, um cubo pode ser representado
por seis polígonos, sendo que cada polígono é
representado por um conjunto de vértices. O
polígono é formado traçando as linha que unem
os vértices na seqüência, sendo que o último é
conectado ao primeiro.
EA978 Sistemas de Informações Gráficas - Prof. J. Mario De Martino 324
P
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
Q
Exemplo - cubo
Q
Vértices
R
V1 (-0,5; -0,5; -0,5)
R
V2 ( 0,5; -0,5; -0,5)
R
V3 ( 0,5; 0,5; -0,5)
R
V4 (-0,5; 0,5; -0,5)
R
V5 (-0,5; -0,5; 0,5)
R
V6 ( 0,5; -0,5; 0,5)
R
V7 ( 0,5; 0,5; 0,5)
R
V8 (-0,5; 0,5; 0,5)
Q
Polígonos
R
P1 (V1, V2, V3, V4)
R
P2 (V5, V8, V7, V6)
R
P3 (V4, V3, V7, V8)
R
P4 (V2, V6, V7, V3)
R
P5 (V1, V4, V8, V5)
R
P6 (V1, V5, V6, V2)
Transformações Geométricas
S
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
T
Exemplo - cubo
V
V
V
V
V
V
V
V
Transformações Geométricas
U
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
V
É possível a criação de objetos mais complexos
a partir de primitivas (elementos geométricos
básicos pré-definidos) ou objetos mais simples
através da aplicação de transformaçãoe
geométricas.
V
Exemplo: Uma mesa poderia ser criada
utilizando-se 5 cubos como objetos de
construção. Um cubo seria o tampo e os outros
quatro as pernas.
_
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
`
Para facilitar os cálculos das porções visíveis de
objetos parcialmente dentro do volume de
visualização pode-se transformar o sistema de
coordenadas de visualização para sistema
normalizado de projeção através de
transformação de normalização que
normaliza o volume de visualização
transformando-o em um cubo de aresta 1.
`
Após a transformação de normalização as
coordenadas dos objetos estão no denominado
sistema de coordenadas de visualização
normalizadas ou apenas sistema de
coordenadas normalizadas.
`
Finalmente os objetos são projetados para o
sistema de coordenadas da imagem
normalizada.
`
Antes da rasterização final pode se fazer faz-se
necessária uma transformação 2D para as
coordenadas do dispositivo ou janela.
a
Sistemas de Coordenadas da Síntese de Imagens
por Computador
b
Visão Geral:
Transformação
de Modelagem
(Modeling)
Transformação
de
Visualização
(Viewing)
Transformação
de
Normalização
(Normalizing)
Projeção e
mapeamento
para o
dispositivo
(Projection)
Coordenadas
de Modelagem
(Modeling
Coordinates)
Coordenadas
de Mundo
(World
Coordinates)
Coordenadas
de Visualização
(View
Coordinates)
Coordenadas
Normalizadas
(Normalized
Coordinates)
Coordenadas
de Dispositivo
(Device
Coordinates)
