Baixe Transformadas de Lorentz - Demonstração e outras Notas de estudo em PDF para Física avançada, somente na Docsity!
Demostração das Tranformações de Lorentz pelas
Equações de Maxwell.
Rodrigo Lopes de S. Silva
February 2017
1 Demonstração
Supondo uma onda eletromagnetica se deslocando no vácuo na direção X no referencial S, que-
remos analisar seu comportamento com relação ao sistema de cordenadas S’ que se move com
velocidade v em relação a S, como na figura:
Figura 1: Onda eletromagnetica tratada com 2 referenciais distintos.
Para tal análise precisamos da equação das ondas eletromagnéticas no vácuo, que é obtida a
partir das equações de Maxwell na ausencia de carga elétricas e distantes de fontes de correntes.
Segue as equaçoes de Maxwell:
E = 0 (I)
B = 0 (II)
∇ ×
E = −
B
∂t
(III)
∇ ×
B = μ 0
0
E
∂t
(IV )
Para chegarmos na equação da onda aplicamos o rotacional em III:
∇ × (∇ ×
E) = ∇ × (−
B
∂t
:^
E) − ∇
2 ~ E = ∇ × (−
B
∂t
2 ~ E = −
∂t
(∇ ×
B)
Substituindo IV:
2 ~ E =
∂t
(μ 0
0
E
∂t
2 ~ E − (μ 0
0
E
∂t
2
) = 0 (V )
Ou simplesmente:
2 ~ E = 0
Como c =
1 √
μ 0
0
, faremos V:
2 ~ E =
c
2
E
∂t
2
Que é o mesmo que:
E
∂x
2
7
E
∂y
2
7
E
∂z
2
c
2
E
∂t
2
Porém, temos E se propagando apenas em x, logo chegamos na equação da onda unidimesional:
2 ~ E
∂x
2
c
2
2 ~ E
∂t
2
(V I)
Queremos encontrar uma transformação linear de cordenadas x,t para um novo referencial
x’,t’ do S para o S’.
x
′
= αx + βt (V II)
t
′
= γx + δt (V III)
Então aplicamos (VII) e (VIII) na equação da onda (VI):
"Obs: usaremos uma função generica ϕ no lugar de E"
2 ϕ~(x
′ , t
′ )
∂x
2
c
2
2 ϕ~(x
′ , t
′ )
∂t
2
(IX)
∂x
′
∂t
∂t
[αx + βt] = β (XV )
∂t
′
∂t
∂t
[γx + δt] = δ (XV I)
Voltando para (XIV):
2 ϕ~
∂t
2
∂t
[
∂ ~ϕ
∂x
′
β +
∂ ~ϕ
∂t
′
δ
]
2 ϕ~
∂t∂x
′
α +
∂ ~ϕ
∂t∂t
′
γ
[
2
ϕ~
∂x
′ 2
∂x
′
∂t
2
ϕ~
∂t
′ ∂x
′
∂t
′
∂t
]
β +
[
2
ϕ~
∂t
′ 2
∂t
′
∂t
2
ϕ~
∂t
′ ∂x
′
∂x
′
∂t
]
δ
[
2 ϕ~
∂x
′ 2
β +
2 ϕ~
∂t
′ ∂x
′
δ
]
β +
[
2 ϕ~
∂t
′ 2
δ +
2 ϕ~
∂t
′ ∂x
′
β
]
δ
2 ϕ~
∂t
2
2 ϕ~
∂x
′ 2
β
2
2 ϕ~
∂t
′ 2
δ
2
2 ϕ~
∂t
′ ∂x
′
(XV II)
Agora temos que substituir (XIII) e (XVII) na equanção da onda (VI) e ela logicamente deve
continuar descrevendo uma onda:
2 ϕ~
∂x
′ 2
α
2
2 ϕ~
∂t
′ 2
γ
2
2 ϕ~
∂x
′ ∂t
′
2 ϕ~
∂x
′ 2
β
2
c
2
2 ϕ~
∂t
′ 2
δ
2
c
2
2 δβ
c
2
2 ϕ~
∂t
′ ∂x
′
2 ϕ~
∂x
′ 2
α
2
−
β
2
c
2
2 ϕ~
∂t
′ 2
γ
2
−
δ
2
c
2
2 ϕ~
∂t
′ ∂x
′
2 αγ −
2 δβ
c
2
Para a equação continuar descrevendo uma onda esse sistema não linear deve ser satisfeito
observando que a equação da onda não possue termos cruzados como
∂
2 ~ϕ
∂t
′ ∂x
′
α
2 −
β
2
c
2
= 1 (XV III)
γ
2 −
δ
2
c
2
1
c
2
(XIX)
2 αγ −
2 δβ
c
2
= 0 (XX)
Isolamos α em (XX):
2 αγ −
2 δβ
c
2
αγ =
δβ
c
2
α =
δβ
γc
2
(XXI)
Na equação (XIX), temos:
γ
2
−
δ
2
c
2
c
2
c
2
γ
2
− δ
2
= − 1
−c
2
γ
2
2
= 1 (XXII)
Substituindo o valor de α encontrado em (XXI) na equação (XVIII), temos:
α
2
−
β
2
c
2
δβ
γc
2
2
β
2
c
2
δ
2 β
2
γ
2 c
4
β
2
c
2
= 1 (XXIII)
Logo, concluímos que as equações (XXIII) e (XXII) são iguais e, assim:
δ
2 β
2
γ
2 c
4
β
2
c
2
= −c
2
γ
2
2
δ
2
β
2
− γ
2
c
2
β
2
γ
2 c
4
= −c
2
γ
2
2
β
2 (
δ
2 − γ
2 c
2 )
γ
2 c
4
−c
2
γ
2
2
β
2
γ
2 c
4
β
2
= γ
2
c
4
β = γc
2
(XXIV )
Utilizando o resultado (XXIV) em (XX), temos:
2 αγ −
2 δβ
c
2
α =
v
2
c
2
Por fim, substituindo na transformação linear inicial, encontra-se a Tranformada de Lorentz
entre dois referenciais, S e S’.
x
′
1 √
1 −
v
2
c^2
(x − vt)
y
′ = y
z
′ = z
t
′
1 √
1 −
v
2
c
2
t −
v
c
2
x
Colocando α como γ temos:
γ =
v
2
c
2
Que é chamado de Fator de Lorentz.
Agora, simplificando as Tranformações de Lorentz:
x
′
= γ(x − vt)
y
′
= y
z
′
= z
t
′ = γ
t −
v
c
2
x
