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VIII TRANSFORMADORES
O transformador é um conversor de energia eletromagnética, cuja operação pode ser explicada em termos do comportamento de um circuito magnético excitado por uma corrente alternada. Consiste de duas ou mais bobinas de múltiplas espiras enroladas no mesmo núcleo magnético, isoladas deste. Uma tensão variável aplicada à bobina de entrada (primário) provoca o fluxo de uma corrente variável, criando assim um fluxo magnético variável no núcleo. Devido a este é induzida uma tensão na bobina de saída (ou secundário). Não existe conexão elétrica entre a entrada e a saída do transformador.
VIII.1 Transformador Ideal
Um transformador ideal, como apresentado na figura abaixo, deve respeitar as seguintes premissas:
- Todo o fluxo deve estar confinado ao núcleo e enlaçar os dois enrolamentos;
- As resistências dos enrolamentos devem ser desprezíveis;
- As perdas no núcleo devem ser desprezíveis;
- A permeabilidade do núcleo deve ser tão alta que uma quantidade desprezível de fmm é necessária para estabelecer o fluxo.
N 1 N 2
Figura 1 – Transformador Ideal Normalmente em um transformador real os dois enrolamentos são colocados juntos, abraçando o mesmo fluxo. Para maior clareza, representa-se na figura acima os enrolamentos primários e secundários separados, embora o fluxo seja o mesmo para ambos.
O fluxo φ que enlaça os enrolamentos induz uma Força Eletromotriz (FEM) nestes ( e 1 e e 2 da figura 1). Supondo que o fluxo varie senoidalmente, φ = φ msenwte sabendo que o valor eficaz de uma
tensão induzida é dada por 2
Nw E (^) ef m
φ = , tem-se:
N w m cos wt 2 E cos wt dt
d e 1 = N 1 = 1 φ = 1
φ
N w m cos wt 2 E cos wt dt
d e 2 = N 2 = 2 φ = 2
φ
Onde E 1 e E 2 são os valores eficazes das tensões induzidas e 1 e e 2. Dividindo-se as equações tem-se: e e
E
E
N
N
2 1
2 1
2 1
Ou seja, as tensões estão entre si na relação direta do número das espiras dos respectivos
enrolamentos. A razão 1
a 2 N
= N é denominada relação de espiras.
Exemplo 1 : Um transformador possui 1000 e 500 espiras nos enrolamentos de alta e baixa tensão. Utilizando o transformador como elevador de tensão pede-se determinar a tensão no secundário quando se aplica no primário uma tensão de 220V.
N 1 = 500 espiras
N 2 = 1000 espiras
V 1 = 220 V
. 220 440 V
.V
N
N
V 1
1
2 2 = = =
Logo o transformador, utilizando o enrolamento de baixa tensão como primário, constitui um transformador elevador de tensão.
A figura abaixo apresenta o transformador ideal agora com uma carga &Z 2 conectada ao
secundário.
I 1 I^2
V 1 E 1 E 2 V 2 N 1 N 2
Z 2
ℑ 1 ℑ 2
Figura 2 – Transformador Ideal com Carga
O fato de se colocar a carga Z& 2 no secundário fará aparecer uma corrente I 2 tal que:I V (^2) Z 2 2
Esta corrente irá produzir uma força magnetomotriz (FMM) ℑ 2 =N 2 I 2 no sentido mostrado
na figura 2. Uma força magnetomotriz (FMM) ℑ 1 =N 1 I 1 de mesmo valor mas contrária a ℑ 2 deve
aparecer no enrolamento 1 para que o fluxo não varie. Desta maneira tem-se:
ℑ 1 =N 1 I 1 =N 2 I 2 =ℑ 2 , ou seja, I I
N
N
1 2
2 1
o que indica que as correntes no primário e secundário de um transformador ideal estão entre si, na relação inversa do número de espiras.
Levando-se em consideração o princípio da conservação de energia, se desprezarmos todas as
perdas podemos calcular a carga Z 2 em relação ao primário do transformador sabendo que Z V (^2) I 2 2
Tem-se então:
S 2 = V 2 I 2 (Potência Aparente)
S 1 = V 1 I 1 (Potência Aparente)
S 1 = S 2 (Conservação da Energia)
Assim: V 2 I 2 = V 1 I 1 Os resultados anteriores mostraram que:
IE
V 1 E 1 N 1 N 2 E 2 V 2
Figura 4 – Transformador com Perdas Com o secundário em aberto e V& 1 na referência, a corrente que flui no primário é chamada de
corrente de excitação IE. Esta corrente é constituída por duas outras: (a) a corrente de magnetização &I (^) M , em fase com o fluxo pois é responsável pelo estabelecimento do
fluxo através do núcleo, podendo ser calculada pelas características do núcleo de ferro e (b) a corrente de perda no núcleo &IC , que representa a potência dissipada nas perdas por histerese e por
corrente parasita, e que está em fase com a tensão V& 1. O diagrama abaixo apresenta esta situação.
φ
I & M^ I & E
I & C^ V 1
& V & 2
Figura 5 – Diagrama Fasorial de Tensões e Correntes – Secundário Aberto Tem-se portanto: &I (^) E = &I (^) C + &IM ou &I (^) E = I (^) C −jIM
Com o secundário em aberto, a corrente de entrada é exatamente igual a corrente de excitação que estabelece o fluxo magnético e produz as perdas no núcleo. Desta maneira a tensão V 1 é aproximadamente igual a E 1 pois a potência de entrada sem carga é aproximadamente igual à potência dissipada no núcleo.
VIII.2.1.2 Com o secundário com carga
A análise feita para o transformador ideal mostrou que colocar uma carga em um transformador faz com que uma corrente I 2 circule pela carga induzindo um FMM ℑ 2 no enrolamento conectado a carga. Para que o fluxo não varie uma FMM ℑ 1 deve aparecer no outro enrolamento levando ao aparecimento de uma corrente I 1 neste enrolamento.
A análise do transformador com perdas, feita na seção anterior, mostrou que existe com o secundário em aberto, uma corrente de excitação IE presente no primário. A figura abaixo apresenta esta condição através da chave S aberta.
I & E
V & 1 N 1 N 2 E & 2
V
E & 1
V
V & 2
S
' I & 1
I & 2
V
Z & 2
V
Figura 6 – Correntes no Transformador com Carga Ao se fechar a chave S, pode-se fazer as mesmas considerações feitas acima para o transformador ideal, ou seja, neste momento uma corrente I 2 circulará pela carga induzindo uma FMM ℑ 2 no enrolamento conectado a esta. Para que o fluxo não varie uma FMM ℑ 1 aparecerá no outro enrolamento levando ao aparecimento da corrente I (^) 1 ' apresentada na figura 6. Para manter o fluxo no
núcleo constante a nova FMM deve igualar a FMM devida somente a corrente de excitação I & E^ , ou
seja:
1 E
' N 1 I&^ E−N 2 &I 2 +N 1 I 1 =NI&
Isto requer que: N 1 I 1 ' = N 2 I& 2 ou
I
I
N
N
1
'
2
2 & (^1) = onde:
&I 2 = corrente no secundário devido à carga Z& 2 conectada &I 1 '^ = corrente adicional no primário
Portanto tem-se no primário a corrente &I 1 dada por &I^1 = &I^ E + &I 1 '.
O figura abaixo apresenta um diagrama de tensões e correntes de um transformador elevador de tensão onde Z&^2 =Z∠ φ 2 com ∅ 2 ≅ 40°. Conforme pode ser observado a relação entre I 2 e I (^) 1 ' é
dada pela relação de espiras a.
I & C
I & E
I & 2
I & M
φ
V & 1
V & 2
' 2 1 1
2 I I
N
N
φ 2
Figura 7 – Diagrama de Fasores do Transformador com Perdas
Equações do modelo: & & & (^) ) & & & & & & (^) ) & &
I f (V , I Y V a I V f (V , I a V Z I
1 1 1 2 1 2 2 2 1 2
' 1 2
Observações:
- A corrente &I 2 é mostrada saindo porque o transformador é considerado como sendo uma fonte que alimenta uma carga conectada na saída.
- Na dedução do modelo pode-se escolher duas quaisquer das variáveis independentes. Escolheu-se V e I&^1 & 2
VIII.3.1 Natureza física dos parâmetros Y e Z&^ & :
VIII.3.1.1 Secundário aberto:
Com o transformador sem carga conectada ao secundário, tem-se que &I 2 = 0 e &I^1 = Y V&^ & 1.
Conforme apresentado anteriormente, sem carga conectada ao secundário, &I^1 = &IE.
Logo 1
E 1
1 V
I
V
Y I
= =. Colocando V& 1 na referência e lembrando que &I (^) E = I (^) C − jIM temos:
Y =^ & I
V
j
I
V
C 1
M 1
Adotando-se então 1
C V
I
G = (G é uma condutância que considera a perda de potência no
núcleo por histerese e correntes parasitas) e 1
M V
B =-I (B é uma suscetância indutiva que considera o
armazenamento de energia) chega-se a seguinte equação:
Y &=G +jB
A 2ª equação do modelo fornece:
V^ &^ a V& a N (^2) N
' 1
' (^2) 1
VIII.3.1.2 Secundário com carga:
Com o secundário com carga, uma corrente &I 1 '^ igual a N N
2 I
1
& 2 deve aparecer no primário. Ou
seja: a N
N
I
I
1
2 2
' (^1) = = &
. Conforme demonstrado para o secundário sem carga, 1
' 2 N
a = N e desta maneira
provamos que a = a'.
Com I 2 diferente de zero, a perda de potência devido às resistências dos enrolamentos e a energia armazenada nos campos de dispersão tornam-se apreciáveis. Estes efeitos são levados em consideração através da impedância:
Z = R + j X onde:
R: resistência equivalente que considera as resistências de ambos os enrolamentos, vista no secundário. X: reatância equivalente que considera as perdas por dispersões magnéticas em ambos os enrolamentos, vista no secundário. A figura abaixo apresenta um modelo para o transformador com parâmetros híbridos, levando em consideração as perdas.
I E
I 1
I C
aI 2
I M
I 2
V 1 G B 2
R X
a V & 1
Figura 9 – Modelo para o Transformador com Parâmetros Híbridos
VIII.3.2 Testes de circuito aberto e curto-circuito
Os parâmetros do modelo híbrido são fácil e precisamente determinados por um procedimento de laboratório que consiste de dois testes representados na figura abaixo: Teste de Circuito Aberto (à esquerda) e Teste de Curto-Circuito (à direita).
Figura 10 – Testes de Circuito Aberto e de Curto Circuito
a) Teste de Circuito Aberto :
Neste teste deve-se considerar I 2 = 0 (circuito aberto) e utilizar-se a tensão nominal (V2a e V1a). Deve-se colocar os instrumentos para medir a potência, tensão e corrente conforme apresentado na figura 10 (à esquerda). Como IE é pequena a perda de potência nos enrolamentos é desprezível e o watímetro WM indica unicamente as perdas no núcleo. Assim:
G = P V
Ca 1a
2
Y = I
V
1a 1a
B = - Y 2 −G^2
a = V V
2a 1a
b) Teste de Curto-Circuito
Neste caso deve-se considerar V 2 = 0 (curto-circuito) e substituir o voltímetro do secundário por um amperímetro (cf. figura 10). O teste de curto-circuito deve ser realizado à corrente nominal. Com o secundário em curto, o modelo do transformador é o apresentado a direita da figura 10. Como I 2 é limitada unicamente pela impedância interna R + jX, a tensão requerida para estabelecer a corrente nominal é muito pequena. Nesta baixa tensão a densidade de fluxo B é muito pequena, com a perda no núcleo sendo muito pequena de tal maneira que se pode omitir a admitância de excitação Y do modelo (cf. figura 10 – direita). Com os instrumentos conectados conforme apresentado na figura, o watímetro WM indicará agora somente a perda no cobre. Assim temos:
R
a
P I R IC
CC C.
2 22 1
= = e R = a^ P I
2 CC 1C
2
Da figura pode-se observar que: C
C C C I
aV I Z aV Z 2
1 2.^ = 1 ⇒ =
Como a
I
I (^) 2 C = 1 C tem-se que: Z = a
V
I
(^2) 1C 1C
e X = Z 2 −R^2
Exemplo 4 : O primário de um transformador tem capacidade nominal de 10A e 1000V. Em circuito aberto os instrumentos conectados no primário indicaram 0,42A e 100W. Já o voltímetro colocado no secundário indicou 500V. Em curto circuito obteve-se 400W e 125V no primário. Determine: a) Os parâmetros do transformador. b) Utilizando o modelo híbrido, para uma tensão de entrada igual a 1000V, determine a tensão de saída e a corrente solicitada da rede sabendo-se que é conectada uma carga de 20 + j 15 Ω ao secundário. c) Idem a anterior mas considerando o transformador como ideal.. d) O diagrama de fasores para os dois casos (com e sem perdas).
a) Os parâmetros são determinados a partir da utilização das equações obtidas para os testes de circuito aberto e curto-circuito. Para circuito aberto, o ensaio é feito na tensão nominal, logo V 1 = 1000V. Portanto:
100 S ( 1000 )
V
G =Pca 2 2 1 a
= = μ
a =
V
V
2 a 1a
420 μ S 1000
V
I
Y=
1a
1a (^) = =
B =- Y^2 −G^2 =− 408 μ S
Y& = 100 - j 408 μ S
Em curto circuito, o ensaio é feito com a corrente nominal, logo I 1 = 10A. Portanto:
R =
a Pcc I
2
1c
2
2 2
Ω Z = a^
V
I
(^2) 1c 1c
X = Z 2 − R^2 = 3 Ω
Z = 1 + j3^ & Ω
b) Considerando-se o circuito a seguir, com a tensão V& 1 colocada na referência temos:
I E
I 1
aI 2
I 2
V (^) 1 G B
R X
+
-
aV & 1 ZC
V & 2 &
Figura 11 – Modelo do Transformador com Parâmetros a Determinar
&
I
a V (^2) Z Z j3 + 20 + j15 j
1 c
&I 2 = 18 08, ∠ − 40 6, °A
V^ &^2 = Z&^ c. &I^2 = 25 0, ∠ 36 87,. 18 08, ∠ − 40 60, °
V^ &^2 = 452 ∠ − 3 73, ° V &I (^1) = &I (^) E+ a I& 2 -6 3 -6 3 I&E = GV& 1 +jBV& 1 = 100 x10 x10 −j408x10 x
I&E = 0 , 1 −j0,408 A
ou I& (^) E = Y&V& 1 = 0 , 4201 ∠− 76 , 28 °A
I^ & 1 = 0 , 4201 ∠− 76 , 28 ° + 0 , 5 x18,08∠-40,60 °
I& 1 = 9 , 43 ∠− 42 , 08 ° A
c) Para o transformador ideal, representado na figura abaixo, como as perdas são nulas temos:
I (^) 1
I 2
V (^) 1 C Z &
V & 2
Figura 12 – Modelo Ideal para o Transformador
a N N
V
V
2 1
2a 1a
a
V
V
I
I
2 1
1 2
Exemplo 5 : Para o modelo obtido anteriormente, determinar o modelo mais preciso:
a
X
1,5 X
X X
a
R
0 , 5 R
R R
2
2 2 1
2
2 2 1
I E
aI 2
V (^) 1^100 μS^ + -
E (^1) aE & 1 = E & 2 &
2 Ω
-j408μS
j 6 Ω^0 ,^5 Ω j^1 ,^5 Ω
Figura 15 – Modelo Mais Preciso com os Parâmetros
VIII.4 O Transformador como Elemento do Circuito
As quatro hipóteses apresentadas quando da introdução do transformador ideal, embora possam ser quase atingidas por transformadores reais bem projetados (fazendo com que uma aproximação possa ser realizada) não podem ser utilizadas em todos os casos. Certos fenômenos desprezados com as hipóteses utilizadas para os transformadores ideais devem ser levadas em consideração em certas aplicações práticas. Para estes casos foram desenvolvidos os modelos com perdas apresentados nas seções anteriores.
Algumas aplicações práticas, em faixas de freqüência determinadas, permitem entretanto a utilização de um modelo intermediário. Nos projetos atuais, normalmente as perdas de potência no núcleo por correntes parasitas e histerese podem ser desprezadas.
Como a reatância indutiva diminui com a freqüência, as indutâncias de dispersão (que são normalmente pequenas) têm efeito desprezível nas baixas freqüências. Desta maneira tem-se o circuito equivalente apresentado na figura abaixo (os apóstrofos representam valores do secundário refletidos para o primário).
R 1
' R 2
B
Figura 16 – Modelo do Transformador em Baixas Freqüências Para altas freqüências, o efeito da reatância B em paralelo (G já foi desprezado) pode ser desconsiderado pois se torna desprezível. O modelo fica como apresentado à esquerda na figura 17.
Existe também uma faixa intermediária de freqüência na qual as duas indutâncias podem ser desprezadas e o modelo se torna conforme apresentado a direita na figura 17.
' R 1 (^) + R 2 ' X 1 (^) + X 2 '
R 1 + R 2
Figura 17 – Modelo do Transformador em Altas Freqüências
Exemplo 6 : Um transformador de audiofreqüência é utilizado para acoplar uma carga resistiva de 50 ohms a uma fonte eletrônica que pode ser representada por uma tensão constante EG = 5 V em série com uma resistência interna
RG = 2000 ohms. Este transformador tem as seguintes constantes: L 1 ( X 1 ) = 5 mH,
L 2 ( X 2 ) = 0 , 125 mH, L ( B ) = 0 , 632 mH (medida no primário) e N 1 N 2 = 40. As
resistências dos enrolamentos e as perdas no núcleo podem ser desprezadas. Pede-se determinar a tensão terminal do secundário sob as seguintes condições: a) Para 15000 Hz, desprezando a indutância de magnetização. b) Para 100 Hz, desprezando as indutâncias de dispersão. c) Para 5000 Hz, desprezando todas as indutâncias.
a-) A figura abaixo apresenta o modelo do transformador para esta situação.
X 1 (^) + X 2 '
I 1
' V 1 V 2 EG = 5 V
RG = 2000 Ω
R L^ '
A resistência de carga deve ser referida para o primário. Assim:
= =^ Ω
=. ( 40 )^2. 50 2000
2
2
' 1 L (^) N R L
R N
A indutância de dispersão do secundário referida ao primário é dada por:
. 2 ( 40 )^2. 0 , 125 5 mH
2
2
' 1 (^2) = =
= X
N
X N
A reatância de dispersão total para 15000 Hz é dada por:
X 1 + X 2 ' = 2 π. 15000 .( 0 , 005 + 0 , 005 )= 942 Ω
O valor eficaz total da corrente no primário do transformador é dado então por:
V. 7 , 9. 10. 50 0 , 395 V
1 , 25. 10. 40 7 , 90 mA a 3 2 2
1 3 2
= = =
−
−
I R L
I I
VIII.5 Desempenho do Transformador
O desempenho de um transformador deve ser levado em consideração em aplicações práticas. Neste caso são importantes as relações de tensões, a potência de saída, o rendimento e a variação da tensão com a carga. Estes dados podem ser obtidos seja das especificações do fabricante (características de placa), seja de medidas experimentais ou ainda de cálculos baseados em um modelo de circuito.
VIII.5.1 Características de Placa:
O fabricante de uma máquina elétrica indica normalmente nas características de placa as condições de operação normal do transformador. Uma característica típica de placa pode ser:
Transformador 4400/220V, 10 kVA, 60 Hz. Estas características indicam que com uma freqüência de 60 Hz as tensões nominais representam a operação próxima do joelho da curva de magnetização (região que separa a região considerada linear da região onde ocorre a saturação) e a corrente de excitação e as perdas no núcleo não são excessivas. Neste caso, as tensões 4400 e 220V são ditas tensões eficazes nominais em volts das duas bobinas sendo que qualquer uma pode ser o primário ou secundário. Usando qualquer lado como secundário a saída nominal será 10 kVA, o que é importante para avaliar a corrente máxima permitida.
VIII.5.2 Rendimento
Rendimento é a relação entre a potência consumida na saída do transformador e a potência fornecida à entrada do transformador. Assim temos:
potência na entrada
η = potência nasaída
Considerando o modelo híbrido podemos avaliar o rendimento por:
η θ θ
V I
V I R I G .V
2 2 2 2 2
2 1
2
cos cos
2 2 onde θ 2 é o ângulo da impedância da carga.
Exemplo 7 : Avaliar o rendimento para os valores encontrados o item (b) para o transformador usado no exemplo 4, com Z& (^) c = 20 +j 15 Ω.
V 2 = 452 V θ 2 = 36,87° V 1 = 1000 V I 2 = 18,08 A R = 1 Ω G = 100 μ S
η =
x18,08 cos 36, 452 x18,08 cos 36,87 +1 (18,08) 2 x10 -6^ x(1000)^2
η = 0,9387 ou 93,87 %
VIII.6 Regulação de Tensão
Para se manter na saída de um transformador, sob carga variável, um nível de tensão constante, emprega-se um regulador, que pode estar presente no próprio transformador, através por exemplo de derivações na bobina do primário.
Como exemplo adotamos o transformador com 1100 espiras no primário e 500 espiras no secundário que é apresentado na figura 18.
C
B
A 900
1100
1000
500
O
Figura 18 – Transformador com Regulação no Primário
Na posição OB teremos uma relação de espiras a = =
0 5, e desta maneira para uma
tensão de entrada de 220V teremos 110V na saída. Se devido a uma variação da carga, a tensão na saída cair, deve-se operar as derivações para corrigir este problema, ou seja, deve-se aumentar a tensão no secundário. Como V 2 = a.V 1 , o valor de a deve aumentar. Assim, se N 1 passar para a
posição A teremos
= 0 556, que com V 1 = 220 V resultará numa tensão maior, compensando a
queda de tensão.
A regulação RV pode ser avaliada pela seguinte expressão:
x100% valorcomcargamáxima
RV=valorsemcarga-valorcomcargamáxima
A regulação pode ser positiva ou negativa e está ligada a uma diminuição ou aumento do número de espiras (para o regulador atuando no primário). Uma fórmula aproximada é dada por:
RV a V^ V V
(^1 2) x100% 2
Para se determinar a regulação, deve-se considerar a tensão V&^2 como sendo a nominal, ou
seja (^1) 1
2 (^2) N V
N
V &^ = & e então calcular V&^1 para o V&^2 estabelecido, utilizando-se o circuito equivalente do
transformador.
Exemplo 8 : Seja o transformador de 10 kVA, 60 Hz 1000/500V do exemplo 4 alimentando uma carga Z &^ C com FP em avanço igual a 0,5. Pede-se determinar a regulação de tensão com carga máxima.
A saída é especificada com V 2 = 500 V o quê com carga máxima, S = 10 kVA, resulta em uma
corrente máxima de 20 A 500
I 2 = =.
