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Cap.1 - Introdução
1.2. Equações Diferenciais
1
A. Introdução
` Qualquer circuito linear e invariante no tempo pode ser descrito por uma
equação diferencial com coeficientes constantes, tendo a forma geral:
onde y(t) é a saída de interesse, x(t) é a entrada e os termos aj e b (^) j são
coeficientes constantes.
` Como a entrada x(t) é conhecida, então o lado direito da equação é uma
f ã h id d t d i d f ã f t d t d f(t)
bx dt
dx ... b dt
d x b dt
d x a y dt
dy ... a dt
d y a dt
d y
m 1 1 0
m 1
m m^1
m
n 1 1 0
n 1
n n^1
n
−
− −
−
−
função conhecida do tempo, denominada função forçante, denotada por f(t).
Assim:
ay f(t) dt
dy ... a dt
d y a dt
d y
n 1 1 0
n 1
n n^1
n
−
−
` Se f(t) = 0 tem-se uma equação diferencial homogênea, i.e.
a y 0 d
dy ... a d
d y a d
d y
n 1 1 0
n 1
n n^1
n
−
−
` Se f(t) ≠ 0 a equação diferencial é dita não-homogênea, tendo a forma:
` Observações:
y dt dt dt
n n^1 n− 1 1 0
ay f(t ) dt
dy ... a dt
d y a dt
d y
n 1 1 0
n 1
n n^1
n
−
−
ç
` Se os coeficientes forem dependentes do tempo, o circuito é variante no
tempo.
` Se os coeficientes dependerem da entrada x(t) ou da saída y(t), o circuito
é não-linear.
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B. Propriedades
- A equação diferencial homogênea tem n soluções linearmente indepen-
dentes y 1 (t), y 2 (t), ..., y n (t). A Solução mais geral é dada por:
(t) k (t) k (t) k (t)
onde os k’s são constantes arbitrárias.
- A solução da equação diferencial não-homogênea ou solução completa é
dada por:
y (^) h (t)=k 1 y 1 (t)+k 2 y 2 (t)+...+knyn(t)
y( t)=y (t)+y (t )
onde:
y h (t): Solução da equação homogênea (basta fazer f(t) = 0).
yp (t): Solução particular da equação não-homogênea (sem ctes arbitrárias).
y( t) y (t) y (t ) h p
- Sistematização:
Seja, por exemplo, determinar a solução da equação homogênea:
d d
2
1º passo: Obter a equação característica usando o operador D = d/dt
2º passo: Obter as raízes da equação característica
2 y 0 dt
dy 3 dt
dy
2
2
(D 3 D 2 )y 0 D 3 D 2 0
2 2
3º passo: Montar a solução geral
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D 1 =− 2 e D 2 =− 1
t 2
2 t h 1
Dt 2
Dt y (^) h (t) k 1 e k e y (t) ke ke 1 2 −^ − = + ⇒ = +
- Resumo:
Para equações de 1ª e 2ª ordens, tem-se:
Raízes da Eq. Característica Forma da Solução Homogênea
D
D
1
≠ D
2
Dt y (^) h (t)=ke
D t 2
Dt h 1 y (t)=ke^1 +k e^2
D
1
= D
2
= D
D
1 = α+jβ e D 2 = α–jβ
( )
Dt y (^) h (t)= k 1 +k 2 t×e
y (t) e [k 1 cos(t) k 2 sen( t)]
t h =^ β + β
α
D. Solução da Equação Diferencial Não-Homogênea
` Para se obter a solução particular, pode-se usar o método dos coeficientes a
determinar, que consiste em examinar a função forçante f(t) e estimar a
forma de yp(t). Os coeficientes da solução proposta devem ser ajustados
para que esta satisfaça à equação diferencial original. Assim:t ti f à ã dif i l i i l A i
Forma da Função Forçante Forma da Solução Particular
a A
at+b At+B
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at+b At+B
bt ae
bt Ae
a × sen(ωt+φ)oua×cos(ωt+φ) A ×sen(ωt+φ)+B×cos(ωt+φ)
- Exemplo:
Obter a solução geral da equação diferencial:
d y dy
2
` Solução Homogênea:
` S l ã P ti l
5 y t dt
dy 2 dt
dy
2
(D 2 D 5 )y 0 D 2 D 5 0 D 1 1 j 2 D 2 1 j 2
2 2
y (t) e [k cos( 2 t) ksen( 2 t)] 1 2
t h
−
` Solução Particular:
Na equação diferencial ⇒
f (t)=t ⇒ yp (t)=At+ B
(At B) 5(At B) t dt
d (At B) 2 dt
d
2
2
Do exemplo anterior, tem-se:
[ ] 25
t y(t) e k 1 cos( 2 t) k 2 sen( 2 t)
t = + + −
−
Assim:
Logo: Resolvendo:
[ ] [ ] 5
y'(t) e 2 ksen( 2 t) 2 k cos( 2 t) e k cos( 2 t) ksen( 2 t) 1 2
t 1 2
t = − + − + +
− −
y'(0 ) 2 k k
y(0 ) k
2 1
1
k 25
k 1 = 2 =
Finalmente:
t sen( 2 t) 25
cos( 2 t) 25
y(t) e
t
−
