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Trigonometria
A palavra trigonometria vem do grego (tri+gonos+metron, que significa três+ângulos+medida) e nos remete ao estudo das medidas dos lados, ângulos e outros elementos dos triângulos. Historicamente, a Trigonometria liga-se à Astronomia, tendo em vista a dificuldade natural que esta apresenta com relação ao cálculo de distâncias impossíveis de serem medidas diretamente. Atribuem-se os primeiros métodos de cálculo dessas distâncias a Hiparco, astrônomo grego que viveu no século II a. C, e é considerado o “pai da Trigonometria”. Foi somente no século XVIII que o matemático suíço Leonhard Euler conseguiu desvincular a Trigonometria da Astronomia, dando àquela o caráter de ramo independente na Matemática.
1. Arcos e ângulos
A medida de cada arco equivale à do ângulo central correspondente, independentemente da medida do raio da circunferência. Assim, verificamos que a circunferência toda mede 360º.
Medidas de arcos e ângulos:
Medir um arco ou ângulo é compará-lo com outro, unitário.
- Grau (º): é um arco unitário igual a 1/360 da circunferência que contém o arco a ser medido.
- Radiano (rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido, isto é, corresponde a 1/2π da circunferência.
Um ângulo pode ser medido em graus ou radianos. Temos as seguintes relações:
2 π= 360º; π=180º; π/2=90º e assim sucessivamente.
OBS: π é um número irracional cujo valor é 3,14159...
Podemos através de uma simples regra de três, exprimir qualquer ângulo em radianos e vice-versa.
Exemplos:
- Exprimir 160º em radianos 180º ------- π rad 160º ------- x rad Daí, x = 8π/9 rad
- Exprimir 5π/6 rad em graus
180º -------- π rad x -------- 5π/6 rad
Daí, x= 150º
Vejamos algumas correspondências importantes:
2. O ciclo trigonométrico
O conceito expresso pela palavra ciclo foi introduzido pelo matemático francês Laguerre. Significa uma circunferência com uma direção predefinida, isto é, orientada. Pode-se trabalhar nos sentidos horário ou anti-horário. Chama-se ciclo trigonométrico a circunferência de raio 1 (R=1), associada a um sistema de eixos cartesianos ortogonais, para a qual valem as seguintes convenções: I) A origem do sistema coincide com o centro da circunferência. II) O ponto A de coordenadas (1,0) é a origem de todos os arcos a serem medidos na circunferência.
- O domínio e contradomínio dessa função são iguais a IR.
- Como a projeção do ponto P está no ciclo trigonométrico, e este tem raio igual a 1, a imagem da função seno é o intervalo [-1,1], isto é, -1 ≤ sen(α) ≤ 1 (significa que essa função é limitada).
4.1.1 Valores notáveis x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 (^) π 3 π/2 2 π sen x 0 ½ (^) √2/2 √3/2 1 0 -1 0
4.1.2 Sinais
- Considerando a orientação do eixo dos senos, percebemos que a arcos dos 1° e 2° quadrantes associam-se valores positivos de senos, e a arcos do 3° e 4° quadrantes associam-se valores negativos de senos.
- No 1° e 4° quadrantes, à medida que o ângulo cresce, o seno também cresce; logo a função é crescente nesses quadrantes. Equivalentemente, nos 2° e 3° quadrantes, o seno é decrescente.
- Como, a partir de 2π (uma volta inteira no ciclo), o seno se repete, a função é periódica de período 2π.
4.1.3 Gráfico (senóide)
- Podemos notar que a função seno é uma função ímpar, isto é, sen(-x)=-sen(x) (seu gráfico é simétrico em relação à origem).
4.2 Cosseno
Na figura a seguir, utilizando o triângulo retângulo OPP 2 , podemos escrever cosx=OP 2 /OP. Como OP é raio unitário, temos cos x= OP 2.
Assim, para encontrarmos o cosseno de um ângulo, basta projetar ortogonalmente a extremidade do arco correspondente sobre o eixo horizontal e medir a distância entre essa projeção e o centro O do ciclo, sempre levando em conta a orientação do eixo (para direita).
A partir da noção de cosseno de um ângulo x, podemos estabelecer o conceito de função cosseno. De fato, dado um número real x, podemos associar a ele, como vimos, o valor do cosseno de um ângulo de x rad ou de um arco de x rad.
Chama-se função cosseno a toda função f:IR → IR definida por y=f(x)=cos (x)
- O domínio e contradomínio da função cosseno são iguais a IR.
- O intervalo [-1,1] reflete o segmento que é o conjunto de todas as projeções ortogonais de pontos do ciclo trigonométrico. Assim, o conjunto imagem da função cosseno é o intervalo [-1,1], isto é, -1≤ cos x ≤ 1 (significa que essa função é limitada).
4.2.1 Valores notáveis
x (^0) π/6 π/4 π/3 π/2 π 3 π/2 2 π cos x (^1) √3/2 √2/2 ½ 0 -1 0 1
4.2.2 Sinais
- Considerando a orientação do eixo dos cossenos, percebemos que a ângulos do 1° e do 4° quadrantes associam-se cossenos positivos, e a ângulos do 2° e 3° quadrantes associam-se cossenos negativos.
2º Relação fundamental I
Seja x um arco do 1º quadrante. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OPP 2 , temos: (sen x)² + (cos x)² = (OP)², ou seja,
Mesmo que x não seja do 1° quadrante, vale a relação fundamental I. Assim, dado o seno de um arco qualquer, é possível, por meio da relação fundamental I, obter o cosseno desse mesmo arco, e vice-versa.
4.3 Função tangente
Para definirmos a tangente de um arco x, é necessário acoplar um 3° eixo ao ciclo trigonométrico. Na figura, o eixo (vertical) das tangentes é obtido quando se tangencia, por uma reta, o ciclo no ponto A de origem dos arcos.
Unindo-se o centro O à extremidade do arco x e prolongando-se esse raio, ele interceptará o eixo das tangentes – no caso, no ponto T. Por definição, a medida algébrica do segmento AT é a tangente do arco de x rad. a orientação do eixo das tangentes é para cima, sendo A sua origem, e, no caso, sendo x do 1° quadrante, temos: tg x= AT > 0 Vamos associar a cada número real x o valor de tg x, introduzindo a função y=tg x.
Domínio
Inicialmente poderíamos pensar no conjunto IR como possível domínio da função y= tg x. Ocorre porém que, no caso de termos, por exemplo, x=π/2, deixa de existir o ponto T, visto que a reta que une o centro O à extremidade do arco x torna-se paralela ao eixo das tangentes, não o interceptando, portanto. O mesmo ocorre quando x= 3π/2. Assim, podemos dizer que não existem tg (π/2), tg(3π/2), etc. De maneira geral, escrevemos “não existe tg (π/2 + kπ), k ∈ Z”. Conclusão: D={x ∈ IR/ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}.
Conjunto imagem Vamos analisar o que ocorre em cada quadrante, em relação ao valores assumidos por y= tg x, enquanto x completa a 1ª volta no ciclo.
Podemos verificar que tg 0 = 0 (pois T coincidiria com A); além disso, a medida que x aumenta dentro do 1° quadrante, o ponto T afasta-se gradativamente do ponto A, no sentido do eixo. Assim, o valor da tangente vai crescendo indefinidamente e assumindo todos os valores reais positivos, até que a tangente deixa de existir quando x= π/2. Logo, no 1° quadrante, y= tg x é crescente e assume valores positivos.
Quando x passa para o 2° quadrante, o ponto T reaparece (na parte negativa do eixo das tangentes) e, à medida que x aumenta dentro do quadrante, o ponto T se aproxima de A, embora ainda na parte negativa do eixo. O ponto T volta a coincidir com A quando x assume o valor π: tgπ=0. Desse modo, podemos escrever que, no 2° quadrante, y= tg x é crescente e assume valores negativos.
- Podemos notar que a função tangente é uma função ímpar, isto é tg(-x)=-tg(x) (seu gráfico é simétrico em relação à origem).
Relação fundamental II:
Essa relação, de grande importância, será utilizada para obtenção de alguns valores de tangentes de arcos que aparecem com freqüência.
Ângulos notáveis
Redução ao 1oquadrante
Dado um arco com extremidade α no 1o^ quadrante, existem três outros, cada um com extremidade num dos outros quadrantes, que têm, com exceção do sinal, o mesmo
seno e o mesmo cosseno do arco α. Por exemplo, os arcos de 30o, 150o, 210o^ e 330o^ têm, com exceção do sinal, os mesmos senos e cossenos.
Para reduzir um arco x qualquer pertencente ao 2o, 3o^ ou 4o^ quadrantes, a um correspondente arco no primeiro quadrante, com o mesmo valor da razão trigonométrica (em módulo), procede-se:
- Localize o quadrante em que está o arco a ser reduzido.
- Verifique o sinal da razão trigonométrica no referido quadrante.
- Faça redução do arco conforme abaixo
2 o^ ⇒ quanto falta para 180o 3 o^ ⇒ quanto passa de 180o 4 o^ ⇒ quanto falta para 360o
Exemplos:
Generalizando essa expressão para os demais quadrantes, temos:
cotgx= , ,. sen
cos válida x k k Z x
x
4.4.1 Tabela de valores:
x (^0) π/ (30o)
π/ (45o)
π/ (60o)
π/ (90o)
π 3 π/2 2 π
cotgx (^) ∃ 3 1 3 3 0 ∃ 0 ∃
Repare que de π/2 a 0, a cotangente vai crescendo até ficar paralela ao eixo das cotangentes, o mesmo acontecendo de 3π/2 a π (no sentido horário); π/2 a π, assim como de 3π/2 a 2π, a cotangente é sempre negativa e vai ficando cada vez menor, até a reta ficar paralela ao eixo das cotangentes também.
4.4.2 Propriedades:
- Os sinais da cotangente são os mesmos da tangente, porém a função y=cotgx é decrescente nos quatro quadrantes.
- como, a partir de π, a cotangente se repete, a função é periódica de período π.
- a funçao cotangente é uma função ímpar, isto é, cotg(-x)=-cotgx (seu gráfico é simétrico em relação à origem).
4.4.3 Gráfico : chamado cotangentóide
4.5 Função secante
Seja x um arco do 1o^ quadrante e de extremidade X. A reta tangente ao ciclo, traçada pelo ponto X, intercepta o eixo dos cossenos no ponto S. Por definição, a medida algébrica do segmento OS é a secante do arco x. No caso, temos secx= OS>0, pois o eixo das secantes (e é claro, sua orientação) coincide com o eixo dos cossenos; além disso, temos secx=OS>1, pois o ponto S é externo ao ciclo.
Quando x=2kπ, os pontos S e A coincidem (t//eixo dos senos) e OA=sec 2kπ =1, k ∈ Z; se, por outro lado, x=(2k+1) π. Os pontos S e A’coincidem, e O A’ = sec(2k+1) π=-1, k∈Z.
No caso de x assumir um valor da forma 2
+kπ, k ∈ Z, não existe o ponto S e,
consequentemente, não está definida sec( 2
+kπ), k ∈ Z.
Domínio de f(x)=sec x: D(f)={ x ∈ IR/ x≠ 2
+kπ, k ∈ Z}.
O conjunto imagem da função f(x)=sec x: Im(f)=IR-]-1,1[, pois o ponto S, quando existe, não pode ser, em hipótese alguma, interno ao ciclo.
Relação fundamental:
4.6 Função cossecante
Da mesma forma que a reta tangente ao ciclo, traçada pelo ponto X, intercepta o eixo dos cossenos no ponto S, ela intercepta também o eixo dos senos, feita no ponto C. Por definição, a medida algébrica do segmento OC é a cossecante do arco x. no caso, temos cossecx=OC>0, pois o eixo das cossecantes é o próprio eixo dos senos; além disso, cossecx=OC>1, pois C é externo ao ciclo.
Se x assume algum dos valores π/2 + 2kπ, o ponto C coincide com B (t//eixo dos cossenos) e OB=cossec(π/2 + 2kπ) =1 , k ∈ Z. Por outro lado, se x assume algum dos valores 3π/2 + 2kπ, o ponto C coincide com B’ (t’ // eixo dos cossenos) e OB’=cossec(3π/2 + 2kπ)=-1, k ∈ Z. Somente nos casos em que x=kπ, k ∈ Z, não existe o ponto C e, consequentemente, não está definida cossec kπ, k ∈ Z.
Domínio da função f(x)=cossec x : D(f)={ x ∈ IR/ x ≠ kπ, k ∈ Z }
Conjunto imagem da função f(x)=cossec x: Im(f)=IR - ]-1,1[, pois o ponto C, quando existe, não pode ser interno ao ciclo. Relação fundamental:
4.6.1 Tabela de valores
x (^0) π/ (30o)
π/ (45o)
π/ (60o)
π/ (90o)
π 3 π/2 2 π
cossecx (^) ∃ 2 1 2 33 1 ∃ -1 (^) ∃
4.6.2 Propriedades:
- Periodicidade: 2π
- A função cossecante é uma função ímpar, isto é, cossec(-x)=-cossec(x) (seu gráfico é simétrico em relação à origem).
4.6.3 Gráfico: chamado cossecantóide
Resumo das relações fundamentais:
sen 2 x + cos^2 x = 1 , válida ∀x ∈ IR
tg x= válida x k k Z x
x ∀ ≠ + , ∈ 2
cos
sen
- cotg x= , ,.
sen
cos válida x k k Z x tgx
x = ∀ ≠ π ∈
- sec x= ,. 2
cos
válida x k k Z x
- cossec x= , ,. sen
válida x k k Z x
- sec x = + tg xválida ∀ x ≠ + k , k ∈ Z 2
Fórmula do produto
sen x cos y = [sen( ) sen( )] 2
x + y + x − y
cos x cos y = [cos( ) cos( )] 2
x + y + x − y
sen x sen y= [cos( ) cos( )] 2
x − y − x + y
