Baixe Varíaveis Complexas - Apostilas - Matemática Parte2 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Theorem 5.2 Seja f (z) anal´ıtica num conjunto Ω aberto e conexo simples. Ent˜ao ∫ C
f (z) dz = 0
para qualquer curva fechada simples iscrita em Ω.
Proof: Assumiremos que f ′(z) ´e cont´ınua. O caso sem esa hip´otese foi mostrado por Goursat cuja demonstra¸c˜ao ´e mais complexa. Seja z(t) = x(t) + iy(t) a parametriza¸c˜ao de C. escrevemos f (z) = u(x, y) + iv(x, y). desde que f ′(z) ´e cont´ınua as fun¸c˜oes u(x, y) e v(x, y) possuim derivadas parciais cont´ınuas de primeira ordem. Agora
f (z)dz = (u + iv)(dx + idy) = (udx − vdy) + i(vdx + udy)
ent˜ao pelo Teorema de Green temos que ∫ C
f (z) dz =
C
(udx − vdy) + i
C
(vdx + udy)
=
R
− (^) ∂x∂v − ∂u∂y
=
dxdy + i
R
(∂u ∂x −^
∂v ∂y
=
dxdy
Exemplo Consideremos as circunferˆencias C 1 = {z ∈ C : |z − 2 i| = 1}, C 2 = {z ∈ C : |z| = 1} percorridas no sentido antihor´ario. Ent˜ao aplicando o teorema de Cauchy ∫ C 1
dz z = 0,
pois C 1 esta inscrita numa regi˜ao conexa simples onde 1 /z ´e anal´ıtica. Por outro lado, n˜ao podemos aplicar o teorema de Cauchy para calcular a integral na curva C 2 pois a curva n˜ao esta inscrita em nenhum conjunto conexo simples onde a fun¸c˜ao 1 /z ´e anal´ıtica. Usando a defini¸c˜ao de integral podemos encontrar que ∫ C 2
dz z = 2πi.
Corollary 5.3 Se f (z) ´e anal´ıtica num conjunto Ω aberto e conexo simples ent˜ao a integral de f (z) numa curva contida em Ω de extremos z 0 e z so depende desses pontos e n˜ao da curva.
Proof: Sejam C 1 e C 2 duas curvas simples diferentes que coincidem nos extremos z 0 , z ent˜ao, se consideramos a curva fechada C = C 1 ∪ (−C 2 ), pelo teorema de Cauchy tem-se
0 =
C
f (z) dz
=
C 1
f (z) dz +
−C 2
f (z) dz
=
C 1
f (z) dz −
C 2
f (z) dz
isto ´e ∫ C 1
f (z) dz =
C 2
f (z) dz
2
Exemplo Considere C 1 uma curva poligonal que inicia no ponto 1 , passa pelo pontos 1 + 2i, −1 + 3i ate o ponto − 1. Calculemos
C 1
dz z. Consideremos a curva^ C^2 =^ {z(t) = eit^ : 0 ≤ t ≤ π, ent˜ao, as curvas C 1 e C 2 tem os mesmos extremos iniciais e finais e est˜ao dentro de um mesmo conjunto conexo simples onde a fun¸c˜ao 1 /z ´e anal´ıtica, por tanto pelo corol´ario anterior tem-se ∫ C 1
dz z =
C 2
dz z =
∫ (^) π 0
ieit eit^ =^ iπ.
Observe que a curva C 3 = {z(t) = e−it^ : 0 ≤ t ≤ π tem os mesmos extremos iniciais e finais que C 1 , mas neste caso n˜ao pode ser usado o Corol´ario anterior, pois ambas curvas n˜ao est˜ao dentro de algum conjunto conexo simples onde 1 /z seja anal´ıtica.
Theorem 5.4 (Teorema de cauchy em abertos multiplemente conexos) Seja Ω um conjunto aberto que cont´em as curvas fechadas simples C 0 , C 1 ,... , Cn orientadas no mesmo sentido talque C 1 ,... , Cn est˜ao no interior de C 0 e Ci e Cj s˜ao exteriores um ao outro para todo i 6 = j, i, j = 1,... , n. Se f (z) ´e anal´ıtica em Ω que cont´em o interior de C 0 exeto talvez em regi˜oes Ωi interiores a Ci para i = 1,... , n ent˜ao ∫ C 0
f (z) dz =
C 1
f (z) dz + · · · +
Cn
f (z) dz
Exemplo Seja C uma curva fechada simples que envolve a origem ent˜ao ∫ C
z dz^ = 2πi,
Dai segue que
lim h→ 0 F^ (z^ +^ h h)^ −^ F^ (z) = f (z)
Portanto F ′(z) = f (z) ∀z ∈ Ω. Seja agora F (z) uma primitiva qualquer de f (z) mostraremos que F (z) ´e da forma (5.9). consideremos
G(z) = F (z) −
∫ (^) z z 0
f (w) dw
ent˜ao
G′(z) = F ′(z) − f (z) = 0 ∀z ∈ Ω
Ent˜ao G(z) = C, ∀z ∈ Ω para alguma constante C ∈ C. Portanto
F (z) =
∫ (^) z z 0
f (w) dw + C, ∀z ∈ Ω
2
Exemplo Calcule uma primitiva de f (z) = z. Usando o teorema anterior qualquer primitiva dessa fun¸c˜ao ´e dada por
F (z) =
∫ (^) z 0
w dw + C
usando a parametriza¸c˜ao w(t) = zt com t ∈ [0, 1] da reta que une a origem com z temos que
F (z) =
0
w(t)w′(t) dt + C
= z^2
0
t^2 dt + C
= z
2 2 +^ C
Exerc´ıcios:
- Seja C a circunferˆencia unit´aria de centro na origem. Calcule a integral
C f^ (z)^ dz, sendo que a curva ´e percorrida no sentido antihor´ario. Use o teorema de Cauchy nos casos que seja poss´ıvel.
f (z) = ¯z, f (z) = ez^2 , f (z) =^1 −z 2 z, f (z) = (^) z (^2 1) + 4, f (z) = lnp(z).
- Seja C a circunferˆencia de raio 3 / 2 e centro na origem. Calcule as seguintes integrais considerando que a curva ´e percorrida no sentido antihor´ario ∫ C
z + 1 z^2 + 2z dz,
C
z^2 + z + 4 z^3 + 4z dz. Dica: Decomponha o integrando em fra¸c˜oes parciais e calcule cada uma das integrais resultantes.
- Seja Ω ⊂ C um conjunto aberto e conexo simples. Mostre que ∫
C
f (z) dz = 0 para toda curva C fechada simples inscrita em Ω se e somente se ∫ (^) Q P
f (z) dz := integral em uma curva de extremos P e Q depende somente de os extremos P e Q e n˜ao da curva.
- (i) seja g : R → R uma fun¸c˜ao cont´ınua e t 0 ∈ R. Mostre que lim h→ 0 h^1
∫ (^) t 0 +h t 0
g(s) ds = g(t 0 ) (ii) seja Ω ⊂ C um conjunto aberto conexo simples, g : Ω → C uma fun¸c˜ao anal´ıtica e z 0 ∈ Ω. Mostre que
h^ lim→ (^0) h^1
∫ (^) z 0 +h z 0
g(w) dw = g(z 0 )
Theorem 5.6 (F´ormula integral de Cauchy) Seja f (z) anal´ıtica em Ω aberto e conexo simples. Ent˜ao, para qualquer curva fechada simples C inscrita em Ω e z 0 um ponto inte- rior a C tem-se (^) ∫
C
f (z) z − z 0 dz^ = 2πif^ (z^0 ) sendo que a curva ´e percorrida em sentido antihor´ario.
Proof: Consideremos Cr = Sr(z 0 ) com 0 < r < r 0 positivo tal que Cr 0 esteja no interior de C. Ent˜ao, pelo teorema de Cauchy para multiplemente conexos, temos que ∫ C
f (z) z − z 0 dz^ =
Cr
f (z) z − z 0 dz = f (z 0 )
Cr
z − z 0 dz^ +
Cr
f (z) − f (z 0 ) z − z 0 dz = f (z 0 )2πi +
Cr
f (z) − f (z 0 ) z − z 0 dz
Exemplo Vejamos como encontrar a integral de F (z) = (^) z 2 e+zπ 2 ao longo da circun- ferˆencia C, de centro iπ/ 2 e raio π, no sentido antihor´ario. Usando a f´ormula integral de Cauchy tem-se ∫ C
ez z^2 + π^2 dz^ =
C
ez^ /(z + iπ) z − iπ dz^ = 2πi^
eiπ iπ + iπ =^ −^1. obs: A f´ormula integral de cauchy fornece uma outra forma de escrever a fun¸c˜ao f (z) da forma
f (z) = (^21) πi
C
f (w) w − z dw
onde C ´e uma curva fechada simples que envolve z.
Theorem 5.7 2 Se f (z) ´e anal´ıtica num conjunto Ω aberto e conexo simples, ent˜ao possui derivadas de todas as ordens as quais tamb´em s˜ao fun¸c˜oes anal´ıticas em Ω. Al´em disso
f (n)(z) = 2 nπi!
C
f (w) (w − z)n+1^ dw
onde C ´e uma curva fechada simples inscrita em Omega envolvendo z sendo percorrido no sentido antihor´ario.
Proof:
f (n)(z) = (^21) πid
n dzn
[∫
C
f (w) w − z dw
]
= (^21) πi
C
f (w) d
n dzn
[ 1
w − z
]
dw (se a derivada conmuta com a integral)
= (^21) πi
C
f (w) (^) (w −n z!)n+1 dw.
2
Obs: Se z 0 ´e um ponto interior `a curva fechada simples C e f (z) ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica num conjunto aberto e conexo que cont´em C, ent˜ao ∫ C
f (z) (z − z 0 )n+1^ dz^ =
2 πi n! f^
(n)(z 0 )
(^2) Este teorema pode ser generalizado para f (z) e C uma curva de comprimento finito n˜ao necessaria- mente fechada, no seguinte sentido: a fun¸c˜ao dada por F (z) = ∫ C^ f w^ (−wz) dw possui derivadas de todas as ordens para todo z 6 ∈ C. Alem disso, F (n)(z) = n! ∫ C(w^ f−^ (zw)n)+1 dw.
Exemplo Consideremos C uma curva fechada simples que tem z 0 = 0 no seu inte- rior, mostremos que ∫ C
f (z^2 ) z^2 dz^ = 0.
para toda fun¸c˜ao f (z) anal´ıtica num conjunto aberto e conexo simples que contem C. Denotando com F (z) = f (z^2 ), claramente est´a fun¸c˜ao ´e anal´ıtica nos pontos onde f (z) ´e anal´ıtica, alem disso F ′(z) = f ′(z^2 ) · 2 z. Aplicando o teorema anterior temos que ∫ C
f (z^2 ) z^2 dz^ =
C
F (z) (z − 0)^2 dz^ =
2 πi 1! F^
Exemplo Determinemos a integral da fun¸c˜ao f (z) = 1/(4z^2 + 1)^2 a longo da cir- cunferˆencia unit´aria C de centro i, percorrida no sentido antihor´ario.
f (z) = (^) (2z 1 − i) (^2) (2z 1 + i) 2 =^1 /(2z^ +^ i)
2 (2z − i)^2 =
1 /[4(2z + i)^2 ] (z − i/2)^2 =^
h(z) (z − i/2)^2
Como a fun¸c˜ao h(z) = 1/[4(2z + i)^2 ] ´e anal´ıtica num conjunto aberto e conexo que contem C, pelo teorema anterior temos que ∫ C
(4z^2 + 1)^2 dz^ =
C
h(z) (z − i/2)^2 dz^ =
2 πi 1! h
′(i/2) =^2 πi 1!
− (^) (2[i/2] +^1 i) 3
= π 4.
Corollary 5.8 (Estimativa de Cauchy) Se f (z) ´e anal´ıtica em B¯R(z 0 ) tal que |f (z)| ≤ M para todo z ∈ B¯R(z 0 ) ent˜ao
|f (n)(z 0 )| ≤ M n Rn !, ∀n ∈ N
Proof:
|f (n)(z 0 )| ≤ 2 nπ!
SR(z 0 )
|f (z)| |z − z 0 |n+1^ |dz| ≤ 2 nπ!RMn+
SR(z 0 )
|dz|
≤ M n Rn!
2
Definition 5.9 Dizemos que uma fun¸c˜ao f (z) ´e inteira se for anal´ıtica em todo C
logo
1 2 π
∫ (^2) π 0
| ︸f (z 0 )| − |f︷︷ ( z 0 + reit)︸| ≥ 0
dt ≤ 0
assim |f (z)| = |f (z 0 )|, ∀z ∈ B¯R(z 0 ). 2
Exercicios:
- Calcule a integral das fun¸c˜oes f (z) = (^) z (^2 1) + 1 e g(z) = (^) z (^4 1) − 1 ao longo de cada uma das seguintes circunferˆencias no sentido antihor´ario (a) |z − i| = 1, (b) |z + i| = 1/ 2 , (c) |z| = 1/ 2 , (d) |z + 1| = 1, (e) |z| = 2.
- Seja C o circunferˆencia unit´aria centrada na origem. Calcule a integral da fun¸c˜ao complexa f (z) ao longo de C no sentido antihor´ario onde f (z) ´e uma das seguintes fun¸c˜oes
(a) (^) z (^2) + 2^1 z + 2; (b) (^) z 2 z+^ − z^1 − 2 ; (c) z
z^2 + 1 ;^ (d)^
ez^2 z ;^ (e)^
cos(z) z^2 + 2z.
- Usando o teorema de Cauchy para dom´ınios multiplemente conexos mostre que (a)
C
dz z − 2 − i = 2πi;^ (b)
C
dz (z − 2 − i)n^ = 0 onde C ´e a fronteira do retangulo 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 2. orientado no sentido antihor´ario.
- Mostre que
(a)
∫ √iπ 0
zez^2 dz = −1; (b)
∫ (^) i 2
cos(πz) dz = isinh( ππ)
- calcule a integral da fun¸c˜ao f (z) = (^) zz 2 − (^) + 1^1 ao longo das circunferˆencias no sentido antihor´ario (a) |z + 1| = 1, (b) |z − i/ 2 | = 1, (c) |z + i| = 1/ 2004.
- Seja C a fronteira do quadrado, cujos lados est˜ao sobre as retas x = ± 2 , y = ± 2 , orientada no sentido antihor´ario. Dˆe o valor de cada uma das seguintes integrais
(a)
C
cos(z) z^3 + 9z dz;^ (b)
C
cosh(z) z^4 dz;^ (c)
C
3 z z^3 + az^2 dz,^ (|a|^ >^
- Dˆe o valor da integral da fun¸c˜ao complexa f (z) ao longo da curva fechada |z −i| = 2 no sentido antihor´ario.
(a) (^) z (^2 1) + 4; (b) (^) (z (^2) + 4)^12 ; (c) (^) (z 2 z (^) −+ 4 16) 2 ; (d) z
3 (3z + 1)^2.
- Seja C o circulo unit´ario z = eiθ, orientado de θ = −π a θ = π, e k uma constante real qualquer, mostre primeiro que ∫ C
ekz z dz^ = 2πi; e a seguir, escreva a integral em termos de θ para deduzir a f´ormula ∫ (^) π 0
ek^ cos(θ)^ cos(k sin(θ)) dz = π
- Seja f (z) = u(x, y) + iv(x, y) anal´ıtica num aberto conexo limitado Ω e cont´ınua em Ω¯. Mostre que a fun¸c˜ao harmˆonica u(x, y) assume seu valor m´aximo e m´ınimo na fronteira de Ω e nunca num ponto interior a menos que seja constante. Dica: Considere F (z) = ef^ (z).
- Seja f (z) = u(x, y) + iv(x, y) uma fun¸c˜ao inteira. Mostre que a fun¸c˜ao harmˆonica u(x, y) ´e necess´ariamente uma constante, se a mesma admite um majorante u 0 , isto ´e, u(x, y) ≤ u 0 , ∀(x, y) ∈ R^2.
6 S´eries de Potˆencias
Uma s´erie de potˆencias centradas em z 0 ´e uma s´erie de fun¸c˜oes da forma
S(z) =
∑^ ∞
n=
an(z − z 0 )n^ = a 0 + a 1 (z − z 0 ) + a 2 (z − z 0 )^2 + · · ·
onde an ´e uma seq¨uencia de numeros complexos. Estamos interesados em determinar os valores z ∈ C onde esta s´erie converge. Por exemplo se tomamos z = z 0 a s´erie toma o valor S(z 0 ) = a 0 , isto ´e a serie converge em z 0.
∞^ Exemplo^ Se^ z^0 = 0^ e^ an^ = 1,^ ∀n^ ∈^ Z+^0 defrontamos com a s´erie geom´etrica^ S(z) = ∑
n=
zn, a qual foi visto anteriormente que ´e convergente para |z| < 1 , mas ainda
S(z) = (^1) −^1 z , ∀|z| < 1.
portanto a s´erie converge para todo z ∈ B 2 (−i). Exemplo A s´erie
∑^ ∞
n=
e−n^2 (z − 3)n^ tem raio de convergˆencia
R = (^) lim^1 n→∞ e
−n =^ ∞,
portanto a s´erie converge para todo z ∈ C.
Theorem 6.2 Toda s´erie de potˆencias
S(z) =
∑^ ∞
n=
an(z − z 0 )n
´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica no seu c´ırculo de convergˆencia |z −z 0 | < R e sua derivada ´e a s´erie cujos termos s˜ao as derivadas dos termos de S(z) tendo o mesmo raio de convergˆencia.
Proof: A s´erie
S^ ˆ(z) =
∑^ ∞
n=
nan(z − z 0 )n−^1 =
∑^ ∞
n=
(n + 1)an+1(z − z 0 )n
tem raio de convergˆencia Rˆ dado por 1 Rˆ = lim^ n→∞
√ n|(n + 1)an+1| = lim n→∞
√ nn + 1 √n|an+1| = 1 · 1 R ent˜ao Rˆ = R. Como as somas parciais da s´erie S(z) e as respectivas derivadas destas so- mas finitas (somas parciais de Sˆ(z)) convergem uniformemente em B¯r(z 0 ) para qualquer r < R temos que S′(z) = Sˆ(z) para todo z ∈ B¯r(z 0 ), dada a arbitrariedade de r ent˜ao a igualdade anterior ´e v´alida para todo z ∈ BR(z 0 ). 2
Exemplo A s´erie
∑^ ∞
n=
zn^ ´e anal´ıtica no seu c´ırculo de convergˆencia B 1 (0), alem disso vimos que converge para S(z) = 1/(1 − z), logo
S′(z) = − (^) (1 −^1 z) 2 =
∑^ ∞
n=
nzn−^1.
Este exemplo nos fornece uma forma de calcular o valor de uma s´erie derivada. Exerc´ıcios:
- A partir da s´erie geom´etrica (^1) −^1 z =
∑^ ∞
n=
zn^ para |z| < 1 Mostre que
(a) (^1) z =
∑^ ∞
n=
(−1)n(z − 1)n^ para |z − 1 | < 1
(b) (^) 1 +^1 z =
∑^ ∞
n=
(−1)nzn^ para |z| < 1
(c) (^) (1 −^1 z) 2 =
∑^ ∞
n=
(n + 1)zn^ para |z| < 1
(d) (^) z^12 =
∑^ ∞
n=
(n + 1)(z + 1)n^ para |z + 1| < 1
(e) (^4) z −^1 z 2 =
∑^ ∞
n=
zn−^1 4 n+1^ para^0 <^ |z|^ <^4
- Determine o c´ırculo de convergˆencia das seguintes s´eries
(a)
∑^ ∞
n=
anzn; (b)
∑^ ∞
n=
an n! (z^ +^ i)
n; (c)
∑^ ∞
n=
a^2 nzn; (d)
∑^ ∞
n=
n an^ (iz)
n; (e)
∑^ ∞
n=
(2n)! (n!)^2 z
n
- Seja 0 6 = a ∈ C Verifique o raio de convergˆencia R das seguintes s´eries de potˆencias
(b)
∑^ ∞
n=
anzn^2 , R = 1; (c)
∑^ ∞
n=
zn!, R = 1.
- Mostre que o raio de convergˆencia da s´erie de potˆencias ∑^ ∞ n=
(−1)n n z
n(n+1)
´e 1 e estude a convergˆencia nos pontos z = 1, − 1 , i.
- Seja r < 1. Usando o M-teste de Weierstrass mostre que as seguintes s´eries con- vergem uniformemente em |z| ≤ r
(a)
∑^ ∞
n=
n cos(3n) 1 + 5n z
n; (b)
∑^ ∞
n=
n^2 − 3 sin(n) 10 n^2 + 7 z
2 n− 1
Theorem 6.3 (S´erie de Taylor) Se f (z) ´e anal´ıtica em Ω e B¯r(z 0 ) ⊂ Ω ent˜ao f (z) pode ser representada como uma s´erie de potˆencias no conjunto Br(z 0 ), isto ´e,
f (z) =
∑^ ∞
n=
an(z − z 0 )n, ∀z ∈ Br(z 0 ).
Obs: Observe que os coeficientes da s´erie podem ser encontrados usando as derivadas de f (z) avaliadas no ponto z 0 da seguinte forma
f (z 0 ) = a 0 , f ′(z 0 ) = a 1 , f ′′(z 0 ) = 2 a 2 , f ′′′(z 0 ) = 3 · 2 a 2 , ...
f (n)(z 0 ) = n(n − 1) · · · 3 · 2 an,
isto ´e an pode ser determinada pelas f´ormula
an = f^
n(z 0 ) n!. Usando esta observa¸c˜ao temos uma outra alternativa para mostrar o Teorema 5.7, isto ´e, a f´ormula:
f n(z 0 ) = 2 nπi!
Sr (z 0 )
f (w) (w − z 0 )n+1^ dw.
Exemplo Representemos cosh(z) como uma s´erie de potˆencias centradas na origem.
cosh(z) =
∑^ ∞
n=
cosh(n)(0) n! z
n
∑^ ∞
n=
cosh(2n)(0) (2n)! z
2 n (^) +
∑^ ∞
n=
cosh(2n+1)(0) (2n + 1)! z
2 n+
∑^ ∞
n=
z^2 n (2n)!. Exercicios:
- Desenvolva as seguintes fun¸c˜oes na sua s´erie de taylor em torno de z = 0 (a) f (z) = ez^ ; (b) f (z) = sin(z); (c) f (z) = sinh(z); (d) f (z) = (^) z 2 z+ 1.
- Desenvolva as seguintes fun¸c˜oes na sua s´erie de taylor em torno de z 0 (a) f (z) = cos(z), z 0 = π/2; (b) f (z) = sinh(z), z 0 = πi.
- Sejam a, b ∈ C tal que a 6 = b. Mostre que 1 a − z =
∑^ ∞
n=
(z − b)n (a − b)n+1^ ,^ para^ |z^ −^ b|^ <^ |a^ −^ b|
7 Zeros de uma fun¸c˜ao anal´ıtica
Definition 7.1 Dizemos que uma f (z) anal´ıtica em Ω tem um zero em a ∈ Ω se f (a) =
- Neste caso dizemos que a ´e um ponto de zero de multiplicidade m ∈ N se existe g(z) anal´ıtica em Ω tal que f (z) = (z − a)mg(z) onde g(a) 6 = 0
Remark Quando n˜ao existe m ∈ N dizemos que a multiplicidade de a ´e infinita. Por exemplo uma fun¸c˜ao identicamente nula tem multiplicidade nula em qualquer ponto. Ser´a mostrado posteriormente que a ´unica fun¸c˜ao anal´ıtica que tem zeros com multiplicidade infinita ´e a fun¸c˜ao nula.
Theorem 7.2 (prolonga¸c˜ao anal´ıtica) Seja f (z) anal´ıtica num aberto e conexo Ω. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(i) f (z) ≡ 0 ;
(ii) Existe z 0 ∈ Ω tal que f (n)(z 0 ) = 0, ∀n ∈ Z+ 0 ; (iii) Z = {z ∈ Ω : f (z) = 0} tem um ponto de acumula¸c˜ao em Ω.
Proof: E obvio que´ (a) ⇒ (b) e (a) ⇒ (c). (c) ⇒ (b): Seja z 0 ∈ Ω um ponto de acumula¸c˜ao de Z, logo pela continuidade de f (z) temos que f (z 0 ) = 0. Mostraremos que z 0 ´e o ponto que satisfaz (ii). Procedamos pelo absurdo; suponhamos que existe n 0 ≥ 1 tal que f (n)(z 0 ) = 0, para n = 0, · · · , n 0 e f (n^0 )(z 0 ) 6 = 0. como f (z) pode ser expressada como uma s´erie de potˆencias en torno de z 0 temos que
f (z) =
∑^ ∞
n=n 0
f (n)(z 0 ) n! (z^ −^ z^0 )
n
= (z − z 0 )n^0
∑^ ∞
n=
f (n^0 +n)(z 0 ) (n 0 + n)! (z^ −^ z^0 )
n
= (z − z 0 )n^0 g(z)
para todo z ∈ BR(z 0 ) para algum R > 0. Note que a fun¸c˜ao g(z) ´e anal´ıtica em BR(z 0 )
e satisfaz g(z 0 ) = f^
(n 0 )(z 0 ) n 0! 6 = 0, logo por continuidade temos que^ g(z)^6 = 0^ para todo z ∈ Br(z 0 ) para algum 0 < r < R. Por z 0 ser ponto de acumula¸c˜ao de Z existe zr ∈ Br(z 0 ) − {z 0 } tal que 0 = f (zr) = (zr − z 0 )n^0 g(zr) dai segue que g(zr) = 0. (⇒⇐).
- Usando o teorema da prolonga¸c˜ao anal´ıtica mostre as seguintes propriedades ez+z^0 = ez^ ez^0 , sin(z + z 0 ) = sin(z) cos(z 0 ) + sin(z 0 ) cos(z)
- Seja Ω um aberto e conexo. f (z) e g(z) s˜ao fun¸c˜oes anal´ıticas em Ω tal que f (z)g(z) = 0, ∀z ∈ Ω, mostre que f ≡ 0 ou g ≡ 0.
- Seja Ω um aberto e conexo. Mostre que que a fun¸c˜ao anal´ıtica f (z) em Ω ´e um polinˆomio de ordem menor ou igual que m se e somente se existe z 0 ∈ Ω tal que f (n)(z 0 ) = 0, para todo n > m.
- Seja f (z) uma fun¸c˜ao inteira tal que |f (z)| ≤ M |z|m, ∀|z| > R para algum M > 0 e R > 0. Mostre que f (z) ´e um polinˆomio de ordem menor ou igual a m.
8 Singularidades
Definition 8.1 Dizemos que uma fun¸c˜ao complexa f (z) tem uma sigularidade isolada em z 0 se ela n˜ao for an´alitica em z 0 (ou n˜ao est´a definida nesse ponto) sendo que ´e an´alitica em Br(z 0 ) − {z 0 } para algum r > 0. Neste caso a singularidade ser´a do seguinte tipo:
- Remov´ıvel: Se existe g(z) an´alitica em Br(z 0 ) tal que f (z) = g(z) para todo z ∈ Br(z 0 ) − {z 0 } para algum ≤ > 0 ;
- P´olo: se (^) zlim→z 0 |f (z)| = ∞;
- Singularidade essencial: Se n˜ao for remov´ıvel nem p´olo.
Obs: Se z 0 e uma singularidade remov´ıvel de f (z) ent˜ao existe (^) zlim→z 0 f (z) ∈ C Exemplo
- f (z) = sin( z z)definida para todo z 6 = 0 tem uma singularidade remov´ıvel em z = 0. Vejamos porqu´e: como sin(0) = 0 existe m ∈ N e uma fun¸c˜ao anal´ıtica em C tal que sin(z) = zmg(z), assim f (z) = sin( z z)= zm−^1 g(z), ∀z 6 = 0 sendo zm−^1 g(z) ´e anal´ıtica em todo C.
- f (z) = (^) z (^2 1) + 1 tem um p´olo em z = i, pois
lim z→i |f (z)| = lim z→i |z − i^1 ||z + i| = ∞
- f (z) = e^1 /z^ tem uma singularidade essencial em z = 0. Para isto vejamos que n˜ao existe L ∈ R ou L = ∞ tal que lim z→ 0 |f (z)| = L
lim z → 0 z ∈ R+
e^1 /z^ = e+∞^ = +∞, lim z → 0 z ∈ R−
e^1 /z^ = e−∞^ = 0
onde R+^ = {z = x + iy : x > 0 , y = 0} e R−^ = {z = x + iy : x < 0 , y = 0}
Theorem 8.2 f (z) tem uma singularidade remov´ıvel em z = z 0 se e somente se (^) zlim→z 0 (z − z 0 )f (z) = 0
Proof: (⇒): como tem uma singularidade remov´ıvel em z = z 0 , tem-se f (z) = g(z) para todo z ∈ Br(z 0 ) − {z 0 } com g(z) an´alitica em z 0.
z^ lim→z 0 (z^ −^ z^0 )f^ (z) = lim z→z 0 (z^ −^ z^0 )g(z) = 0^ ·^ g(z^0 ) = 0 (⇐): Definimos h(z) = (z − z 0 )f (z) para z ∈ Br(z 0 ) − {z 0 } e h(z 0 ) = 0. Se mostrarmos que h(z) ´e anal´ıtica em z 0 pelo fato de se anular em z 0 teremos que h(z) = (z − z 0 )g(z) onde g(z) ´e anal´ıtica em z 0 desta forma f (z) = g(z) para todo z ∈ Br(z 0 ) − {z 0 } o que mostraria que z 0 ´e uma singularidade remov´ıvel de f (z). Ent˜ao mostremos que h(z) ´e anal´ıtica em z 0 , para isso, faremos uso do teorema de Morera, isto ´e mostraremos que ∫ T
h(z) dz = 0 (8.11)
para todo curva triangular T inscrita em Br(z 0 ). Denotemos com ∆ o interior do triˆangulo ent˜ao, temos 4 posibilidades
- z 0 6 ∈ ∆ ∪ T
- z 0 ´e um v´ertice de T
- z 0 ∈ T ´e n˜ao ´e v´ertice de T
- z 0 ∈ ∆
Mostremos que (8.11) no segundo caso: Seja L o per´ımetro de T como h(z 0 ) = 0 para cada ≤ > O existe δ > 0 tal que |h(z)| < ≤/L para todo z ∈ Bδ(z 0 ) Sejam a, b pontos de cada um dos lados do triˆangulo T adjacentes ao v´ertice z 0 de tal forma que a, b ∈ Bδ(z 0 ) ent˜ao ∣∣ ∣∣
T
h(z) dz
Tab
h(z) dz
Tab
|h(z)| |dz| ≤ ≤
