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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA´IBA
CENTRO DE CIENCIAS APLICADAS E EDUCACˆ ¸ AO˜
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATASˆ
C ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II-PER´ ´IODO: 2007.
PROFESSOR: GIVALDO DE LIMA
VOLUME DE S ´OLIDOS DE REVOLUC¸ ˜AO
Defini¸c˜ao: Chamamos de s´olido de revolu¸c˜ao o s´olido obtido quando rotacionamos uma regi˜ao plana em torno de uma reta do plano, a qual chamamos de eixo de revolu¸c˜ao. Para calcularmos o volume dos s´olidos de revolu¸c˜ao, utilizaremos os m´etodos abaixo:
M´etodo do Disco Circular
Considere R a regi˜ao sob o gr´afico de uma fun¸c˜ao cont´ınua n˜ao-negativa f entre x = a e x = b (figura 1). Seja S o s´olido de revolu¸c˜ao gerado pela rota¸c˜ao de R em torno do eixo x (figura 2). Tomando agora uma por¸c˜ao infinitesimal dv do volume V de S, que consiste de um disco circular de espessura infinitesimal dx, temos que o raio desse disco ´e dado por r = f (x) (figura 3). Observe que o disco pode ser considerado como
Figura 1: Regi˜ao Figura 2: S´olido Figura 3: Por¸c˜ao Infinitesimal
um c´ırculo de raio r e cuja altura ´e dx. Da´ı, temos que: dv = π.r^2 .dx = π.[f (x)]^2 .dx Sendo assim, o volume total V do s´olido S ´e obtido pela soma de todos os volumes infinitesimais dv de tais discos, `a medida que x vai de a at´e b. Ou seja:
V =
∫ (^) b a dv^ ⇒^ V^ =^
∫ (^) b a π.[f^ (x)]
(^2) .dx
Exemplos:
- Determine o volume V do s´olido S gerado pela revolu¸c˜ao da regi˜ao R sob o gr´afico de f (x) = x^3 , com x ∈ [1, 2], em torno do eixo x.
V =
∫ (^) b a π.[f^ (x)]
(^2) .dx = π. ∫^2 1 (x
(^3) ) (^2) dx = π. ∫^2 1 x
(^6) dx = π.( x^7 7 )
∣∣^2
1
= π.( 2
(^7) − 1 7 ) =^
127 .π 7 unidades de volume.
- Calcule o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao, em torno do eixo x, da regi˜ao entre o gr´afico da fun¸c˜ao y = sin x e o eixo x, de − 2 π at´e 3 .π 2.
V =
∫ (^) b a π.[f^ (x)]
(^2) .dx = π. ∫^3 .π 2 − π 2 sin
(^2) xdx = π. ∫^3 .π 2 − π 2 (^
1 2 −^
1 2.^ cos(2x))dx^ =^ π.(^
1 2 .x−^
1 2.^
1 2.^ sin(2x))
3 .π 2 − π 2
= π^2 unidades
de volume.
Observa¸c˜ao: Se ao inv´es de girar em torno do eixo x, a regi˜ao R, onde A = (a, c) e B = (b, d), girar em torno do eixo y, temos que:
V = π.
∫ (^) d c [g(y)]
(^2) dy
Exemplo: A regi˜ao delimitada pelo eixo y e pelos gr´aficos de y = x^3 , y = 1, y = 8 gira em torno do eixo y. Determine o volume do s´olido resultante.
Note que g(y) = x = 3
y = y
(^13)
Da´ı, temos que:
V = π.
∫ (^) d c [g(y)]
(^2) dy = π. ∫^8 1 (y^
(^13) )^2 dy = π.
1 y^
(^23) dy = 3 .π 5 .y
8 1
= 935 .π unidades de volume.
M´etodo do An´eis Circulares ou Arruelas
Suponha que f e g s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas n˜ao-negativas no intervalo [a, b] tais que f (x) ≥ g(x) para todos os valores de x ∈ [a, b], e seja R a regi˜ao plana limitada pelos gr´aficos de f e g entre x = a e x = b. Seja S o s´olido gerado pela rota¸c˜ao de R em torno do eixo x.
