Вежбе из Математичке анализе 2, Skripte od Matematička analiza

Preuzmite Вежбе из Математичке анализе 2 i više Skripte u PDF od Matematička analiza samo na Docsity!

Matematiˇcka analiza 4

zadaci za veˇzbu

Dragan S. ¯Dor¯devi´c

4 SADRZAJˇ

Glava 1

Integrali

1.1 Dvostruki integrali

Izraˇcunati slede´ce dvostruke integrale:

1.1.1. I(a) =

G(x^ +^ y)

−adxdy, gde je skup G odre¯den nejednaˇcinama:

x > 0, y > 0, 0 < a ≤ x + y ≤ 1. Zatim izraˇcunati lim a→ 0 I(a).

1.1.2. I(a) =

G √dxdy x+√y ,^ G^ je trougao ograniˇcen pravama^ x^ = 1,^ x^ =^ y, x = y + a, 0 < a < 1. Na´ci lim a→ 0 I(a).

1.1.3.

G xydxdy,^ G^ je ograniˇcen^ x-osom i lukovima kruˇznica^ x

(^2) + y (^2) = 1,

x^2 + y^2 − 2 x = 0.

1.1.4.

x^2 +y^2 ≤ 2 ay

(x^2 + y^2 )dxdy.

G

a^2 − x^2 − y^2 dxdy, G je ograniˇcen kruˇznicom x^2 + y^2 = a^2 i

pravama y = x, y = x

G

a^2 − x^2 − y^2 dxdy, G je krug x^2 + y^2 − ax = 0.

1.1.7.

G

dxdy (x^2 +y^2 )

( 1+

√ 1+ 3

x^2 +y^2

) (^) , G je odre¯den nejednaˇcinama x^2 − y^2 ≤ 0,

x^2 + y^2 ≥ 1, x^2 + y^2 ≤ 4.

1.1.8.

G

4 − x^2 a−^2 − y^2 b−^2 dxdy, ako je G ograniˇcen elipsama x 2 a^2 +^

y^2 b^2 = 1 i x 2 (2a)^2 +^

y^2 (2b)^2 = 1 i pripada prvom kvadrantu.

5

1.1. DVOSTRUKI INTEGRALI 7

1.1.24. y = 2x − x^2 , y = x^2.

1.1.25. (x^2 + y^2 )^2 = 2ax^3.

1.1.26. (x^2 + y^2 )^3 = x^4 + y^4.

1.1.27. (x^2 + y^2 )^3 = 4x^2 y^2.

1.1.28. (x^2 + y^2 )^2 = 2a^2 (x^2 − y^2 ), x^2 + y^2 ≥ a^2.

1.1.29. (x^2 + y^2 )^5 = x^2 y^2.

1.1.30. (x^3 + y^3 )^2 = x^2 + y^2 , x ≥ 0, y ≥ 0.

1.1.31. (x^2 + y^2 )^2 = 8a^2 xy, (x − a)^2 + (y − a)^2 ≤ a^2.

1.1.32. x 2 a^2 +^

y^2 b^2 =^

x h +^

y k.

1.1.33. x

3 a^3 +^

y^3 b^3 =^

x^2 h^2 +^

y^2 k^2 ,^ x^ = 0,^ y^ = 0.

1.1.34.

(x a +^

y b

= xa − ya , y > 0.

1.1.35.

(x a +^

y b

= xyc 3 (povrˇsinu petlje).

1.1.36.

x^2 a^2 +^

y^2 b^2

= xyc 2.

1.1.37.

x +

y =

a, x + y = a, a > 0.

Na´ci zapreminu tela ograniˇcenog slede´cim povrˇsima u prostoru, koriˇs´cenjem dvostrukih integrala:

1.1.38. Paraboloidom z = x^2 + y^2 , koordinatnim ravnima i ravni x + y = 1.

1.1.39. Paraboloidom z = x^2 + y^2 i ravnima z = 0, y = 1, y = 2x, y = 6 − x.

Ravnima z = 0, y + z = 2 i cilindrom y = x^2.

1.1.40. Cilindrima y =

x, y = 2

x i ravnima z = 0, x + z = 6.

1.1.41. Koordinatnim ravnima, ravni 2x − 3 y − 12 = 0 i cilindrom z = 12 y^2.

1.1.42. Povrˇsi z = cos x cos y i ravnima z = 0, |x + y| ≤ π 2 , |x − y| ≤ π 2.

1.1.43. Povrˇsima x^2 + y^2 = 2x, xy = z, z > 0.

8 GLAVA 1. INTEGRALI

1.1.44. Paraboloidom z = 3 − x^2 − y^2 i ravni z = 0.

1.1.45. Sferom x^2 + y^2 + z^2 = R^2 i cilindrom x^2 + y^2 = Rx, x^2 + y^2 ≤ Rx.

1.1.46. Paraboloidom z = x^2 + y^2 , cilindrima x^2 + y^2 = x, x^2 + y^2 = 2x i ravni z = 0.

1.1.47. Paraboloidom x^2 + y^2 − az = 0, cilindrom (x^2 + y^2 )^2 = a^2 (x^2 − y^2 ) i ravni z = 0, a > 0.

1.1.48. Ravnima z = ax, z = 0 i cilindrom x^2 + y^2 = 2ax.

1.1.49. Cilindrom x^2 + y^2 − 2 x = 0 i povrˇsi z = x^2 y, z ≥ 0.

1.1.50. Povrˇsima x^2 + y^2 + z^2 = 3a^2 , x^2 + y^2 = 2az.

1.1.51. Povrˇsi

x^2 a^2 +^

y^2 b^2

• z 2 c^2 = 1.

1.1.52. Izraˇcunati povrˇsinu dela cilindra z^2 = 4x koji pripada prvom ok- tantu, a koji isecaju cilindar y^2 = 4x i ravan x = 1, koriˇs´cenjem dvojnih integrala.

1.1.53. Izraˇcunati povrˇsinu dela paraboloida 2z = x^2 + y^2 koji iseca cilindar x^2 + y^2 = 1.

1.1.54. Izraˇcunati povrˇsinu dela sfere x^2 + y^2 + z^2 = a^2 koji iseca cilindar x^2 + y^2 = b^2 , (b ≤ a).

1.1.55. Na´ci povrˇsinu onog dela sfere x^2 + y^2 + z^2 = R^2 koji se projektuje na ravan z = 0 van kruga x^2 + y^2 − Rx = 0, x ≥ 0, y ≥ 0.

1.1.56. Na´ci povrˇsinu dela paraboloida z^2 = 2xy, z > 0, koji je ograniˇcen ravnima x = 0, x = a, y = 0, y = b.

1.1.57. Izraˇcunati povrˇsinu dela konusa z^2 = x^2 + y^2 , iseˇcenog cilindrom x^2 + y^2 = 2x.

1.1.58. Na´ci povrˇsinu dela sfere x^2 + y^2 + z^2 = a^2 iseˇcenog cilindrom (x^2 + y^2 )^2 = a^2 (x^2 − y^2 ).

1.1.59. Izraˇcunati povrˇsinu onog dela povrˇsi z^2 = x^2 + 2y^2 koji iseca cilindar (x^2 + y^2 )^2 = 2c^2 xy za x ≥ 0 i z ≥ 0.

10 GLAVA 1. INTEGRALI

G(x

(^2) + y (^2) )dxdydz, G je ograniˇcen povrˇsima x (^2) + y (^2) = 2z, z = 2.

1.2.17.

x≥ 0 ,y≥ 1 ,z≥ 1 ,xyz≤ 1

exyz^ x^2 ydxdydz, uvode´ci smenu x = u, y = u+u v, z = u+v+w u+v.

∫^1

0

dx

√ 1 −x 2 ∫

−√ 1 −x^2

dy

∫^ a 0

dz.

∫^2

0

dx

√ (^2) ∫x−x^2

0

dy

∫^ a 0

z

x^2 + y^2 dz.

∫^1

0

dx

√ (^1) ∫−x^2

0

dy

1 − ∫x^2 −y^2

0

x^2 + y^2 + z^2 dz.

a^2 ≤x^2 +y^2 +z^2 ≤R^2 ,z≥ 0

(x^2 + y^2 )dxdy.

Izraˇcunati zapreminu tela ograniˇcenog povrˇsima:

1.2.22. z = x^2 + y^2 , z = 2x^2 + 2y^2 , y = x, y = x^2.

1.2.23. x^2 + z^2 = a^2 , x + y = ±a, x − y = ±a.

1.2.24. z = 4 − y^2 , z = y^2 + 2, x = −1, x = 2.

1.2.25. z = 0, x^2 + y^2 = 4az, x^2 + y^2 = 2cx.

1.2.26. z = ln(x + 2), z = ln(6 − x), x = 0, x + y = 0, x − y = 2.

1.2.27. (x − 1)^2 + y^2 = z, 2x + z = 2.

1.2.28. z = 6 − x^2 − y^2 , z^2 = x^2 + y^2.

1.2.29. x^2 + y^2 + z^2 = 4, x^2 + y^2 = 3z.

1.2.30.

x^2 a^2 +^

y^2 b^2

• z

2 c^2 = 1.

1.2.31. x^2 + y^2 + z^2 = R^2 , x^2 + y^2 = R(R − 2 z).

1.2.32. z = x^2 + y^2 , z^2 = xy.

1.2.33. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x^2 + y^2 ≥ 1, 0 ≤ z ≤ (x^2 + y^2 )^3.

1.2. TROSTRUKI INTEGRALI 11

1.2.34. x^2 + y^2 + z^2 = 4Rz − 3 R^2 , z^2 = 4(x^2 + y^2 ) (deo sfere u unutraˇsnjosti konusa).

1.2.35. x

2 a^2 +^

y^2 b^2 +^

z^2 c^2 = 1,^

x^2 a^2 +^

y^2 b^2 =^

z c.

1.2.36. x^2 + y^2 + z^2 = 2az, x^2 + y^2 ≤ z^2.

1.2.37. (x^2 + y^2 + z^2 )^2 = a^2 (x^2 + y^2 − z^2 ).

1.2.38. (x^2 + y^2 + z^2 )^3 = 3xyz.

1.2.39. (x^2 + y^2 + z^2 )^2 = a^3 x.

1.2.40. (x^2 + y^2 − z^2 )^3 = a^3 z^4.

1.2.41. (x^2 + y^2 + z^2 )^3 = a^2 y^2 z^2.

x^2 a^2 +^

y^2 b^2 +^

z^2 c^2

= xh , h > 0.

x^2 a^2 +^

y^2 b^2 +^

z^2 c^2

= x.

x^2 a^2 +^

y^2 b^2 +^

z^2 c^2

= xyz.

x^2 a^2 +^

y^2 b^2 +^

z^2 c^2

= x

2 a^2 +^

y^2 b^2.

(x a +^

y b +^

z c

= zd , x, y, z > 0.

(x a +^

y b +^

z c

= xh + yk , x, y, z > 0.

(x a +^

y b +^

z c

= ln

xa + yb + zc xa + yb^ ,^ x, y, z >^ 0.

1.2.49. x + y + z = a, x + y + z = 2a, x + y = z, y = x, y = 3x.

1.3. NESVOJSTVENI INTEGRALI 13

0 ≤x≤y

e−y 2 dxdy.

0 ≤x≤ y 2

x sin y y^2 e

−ydxdy.

x+y≥ 1 ,x> 0 ,y> 0

arctg(x+y) (x^2 +y^2 )^2 dxdy.

x^2 +y^2 ≤ 1

dxdy (1−x^2 −y^2 )a^ ,^ a^ ∈^ R.

R^2 e

−(x^2 +y^2 ) (^) cos(x (^2) + y (^2) )dxdy.

R^2 e

−(x^2 +y^2 ) (^) sin(x (^2) + y (^2) )dxdy.

Ako je G krug x^2 +y^2 ≤ a^2 , ispitati koji od slede´cih integrala konvergiraju:

1.3.21.

G ln^

x^2 + y^2 dxdy.

1.3.22.

G

e−x^2 −y^2 x^2 +y^2 dxdy.

1.3.23.

G √^ sin(x^2 +y^2 ) (x^2 +y^2 )^3 dxdy.

1.3.24.

G

cos(x^2 +y^2 ) x^2 +y^2 dxdy.

Izraˇcunati integrale

1.3.25.

x≥ 0 ,y≥ 0 ,z≥ 0

√^ dxdydz (1+x+y+z)^2.

1.3.26.

x≥ 0 ,y≥ 0 ,z≥ 0

xydxdydz (1+x^2 +y^2 +z^2 )^3.

R^3 e

−x^2 −y^2 −z^2 dxdydz.

1.3.28.

x^2 +y^2 +z^2 ≤R^2

ln(x^2 + y^2 + z^2 )dxdydz.

0 ≤x,y,z≤ 1

dxdydz xpyq^ zr^ ,^ p, q, r^ ∈^ R.

Ako je G kugla x^2 + y^2 + z^2 ≤ R^2 , ispitati koji od slede´cih integrala konvergiraju:

14 GLAVA 1. INTEGRALI

G √ dxdydz (x^2 +y^2 +z^2 ) ln 3

x^2 +y^2 +z^2

G

ln

x^2 +y^2 +z^2 x^2 +y^2 +z^2 dxdydz.

1.3.32.

G

xyz (x^2 +y^2 +z^2 )^3 dxdydz.

1.4 n-tostruki integrali

Izraˇcunati integrale:

1.4.1.

G dx^1 · · ·^ dxn,^ G^ =^ {(x^1 ,... , xn) :^ x^1 ,... , xn^ >^0 , x^1 +^ · · ·^ +^ xn^ ≤ 1 }.

1.4.2.

G x^1 dx^1 · · ·^ dxn,^ G^ je kao u prethodnom primeru.

1.4.3.

G dx^1 · · ·^ dxn,^ G^ =^ {(x^1 ,... , xn) :^ |x^1 |^ +^ · · ·^ +^ |xn| ≤^ a}.

1.4.4.

G(x

2 1 +· · ·+x

2 n)dx^1 · · ·^ dxn,^ G^ =^ {(x^1 ,... , xn) : 0^ ≤^ x^1 ,... , xn^ ≤ 1 }.

1.4.5.

G(x^1 x^2 +^ x^1 x^3 +^ · · ·^ xn−^1 xn)dx^1 · · ·^ dxn,^ G^ je kao u prethodnom primeru.

16 GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI

γ (x^ +^ y^ +^ z)ds,^ γ^ je presek povrˇsi^ x

(^2) + z (^2) = a (^2) , y (^2) + z (^2) = a (^2).

Na´ci duˇzinu luka krive:

2.1.10. x = 3t, y = 3t^2 , z = 2t^2 , t > 0, od taˇcke (0, 0 , 0) do taˇcke (3, 3 , 2).

2.1.11. x = e−t^ cos t, y = e−t^ sin t, z = e−t, 0 < t < ∞.

2.2 Krivolinijski integrali drugog reda

Izraˇcunati krivolinijske integrale drugog reda (pozitivnu orijentaciju krive u prostoru videti u predavanjima):

2.2.1.

γ (x

(^2) + y (^2) )dx + (x (^2) − 2 y (^2) )dy, y je deo krive y = 1 − | 2 − x| od taˇcke

x = −1 do x = 3.

2.2.2.

γ x

(^2) ydx − xy (^2) dy, γ je pozitivno orijentisana kruˇznica x (^2) + y (^2) = R (^2).

γ

x 1+y dx+^

y 1+x dy,^ γ^ je pozitivno orijentisana kriva^ |x−^1 |+|y^ −^1 |^ = 1.

2.2.4.

γ xy^

[(x 2 +^ y

dy −

x − y 2

dx

]

, γ je pozitivno orijentisana kruˇznica

x^2 + y^2 = 1.

2.2.5.

γ ydx^ −^ xdy,^ γ^ je deo cikloide^ x^ =^ a(t^ −^ sin^ t),^ y^ =^ a(1^ −^ cos^ t) od taˇcke (0, 0) do taˇcke (6π, 0).

2.2.6.

γ ydx^ +^ xdy,^ γ^ je petlja Dekartovog lista^ x^ =^

3 at 1+t^3 ,^ y^ =^

3 at^2 1+t^3.

2.2.7.

γ

x^2 dy−y^2 dx x^5 /^3 +y^5 /^3 ,^ γ^ je deo asteroide^ x^ =^ a^ cos

(^3) t, y = a sin^3 t od taˇcke (a, 0)

do taˇcke (0, a).

2.2.8.

γ zdx^ +^ xdy^ +^ ydz,^ γ^ je deo zavojnice^ x^ =^ a^ cos^ t,^ y^ =^ a^ sin^ t,^ z^ =^ at, t ∈ [0, 2 π].

2.2.9.

γ (y^ −^ z)dx^ + (z^ −^ x)dy^ + (x^ −^ y)dz,^ γ^ je presek koordinatnih ravni sa ravni x + y + z = 1; γ je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo.

2.2.10.

γ y

(^2) dx + z (^2) dy + x (^2) dz, γ je Vivijanijeva kriva: x (^2) + y (^2) + z (^2) = a (^2) ,

x^2 + y^2 = ax, a > 0, z > 0; γ je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo.

2.2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI DRUGOG REDA 17

γ ydx^ +^ zdy^ +^ xdz,^ γ^ je kriva data kao presek povrˇsi^ x

(^2) + y (^2) = r (^2) i

x^2 = rz; γ je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo.

2.2.12.

γ (y

(^2) + z (^2) )dx + (z (^2) + x (^2) )dy + (x (^2) + y (^2) )dz, γ je kriva data kao presek

povrˇsi x^2 + y^2 + z^2 = R^2 i x^2 + y^2 = 2ax, 0 < a < R; γ je orijentisana pozitivno posmatrana odozgo.

2.2.13.

γ (y^ −^ z)dx^ + (z^ −^ x)dy^ + (x^ −^ y)dz,^ γ^ je presek povrˇsi^ x

(^2) + y (^2) = a 2

i xa + yb = 1, a, h > 0; γ je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo.

2.2.14.

γ (4y

(^2) + 2x (^2) )dx + (z + x)dy + ydz, γ je presek povrˇsi z = 4 − x (^2) − y (^2) ,

z = y^2 ; γ je orijentisana pozitivno posmatrana odozgo. Na´ci funkciju kada

je dat njen diferencijal:

2.2.15. (ey^ + x)dx + (xey^ − 2 y)dy.

2.2.16. (^) xx 2 ++ayy 2 dx + (^) xy 2 −+axy 2 dy.

2.2.17. (2x cos y − y^2 sin x)dx + (2y cos x − x^2 sin y)dy.

2.2.18. 2 x(1−e

y (^) ) (1+x^2 )^2 dx^ +^

( (^) ey 1+x^2 + 1

dy.

2.2.19. (2xyex

(^2) y

• y^2 exy

2

• 1)dx + (x^2 ex

(^2) y

• 2xyexy

2 − 2 y)dy.

2.2.20. (x^2 − 2 yz)dx + (y^2 − 2 xz)dy + (z^2 − 2 xy)dz.

1 − (^1) y + yz

dx +

x z +^

x yz^2

dy − xyz 2 dz.

2.2.22. (2xyz + ln y)dx +

x^2 y + xy

dy + (x^2 y − 2 z)dz.

2.2.23. dx−z^3 dy+ 3 y−x+z

3 z^2 dz.

2.2.24. e

y x (^) dx +

[

e yx (x+1) z +^ ze

yz

]

dy +

[

−e^ xy (x+1) z^2 +^ ye

yz (^) + e−z

]

dz.

Integraliti slede´ce diferencijale:

2.2.25.

γ xdy^ +^ ydx,^ γ^ je deo krive^ x

(^6) + x (^17) − 2 x (^12) = 0 izme¯du taˇcaka (0, 0)

i (1, 1).

2.3. GRINOVA FORMULA 19

2.3.13. omotaˇc cilindra x^2 + y^2 = 4 izme¯du ravni z = y i z = 3y.

2.3.14. omotaˇca cilindra x^2 + y^2 = R^2 izme¯du ravni z = −1 i z = 2y.

2.3.15. omotaˇca cilindra x^2 + y^2 − ax = 0 koji se nalazi unutar sfere x^2 + y^2 + z^2 = a^2.

20 GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI