Površi drugog reda u geometriji, Beleške od Matematika

Preuzmite Površi drugog reda u geometriji i više Beleške u PDF od Matematika samo na Docsity!

Povr²i drugog reda

Dragana Guti¢

Univerzitet Donja Gorica, Fakultet Primijenjene Nauke, smjer Matematika

Istraºiva£ki Projekat

April 28, 2023

Uvod

Analiza i Geometrija dvije su osnovne grane matematike. Geometrija posmatra likove i gure i prou£ava njihova svojstva i mežusobne odnose. Osnovu Analize £ine brojevi i njihovi odnosi. Unutra²nja logi£ka struktura odnosa mežu objektima jedne od tih grana odgovara velikim dijelom unutara²njoj strukturi odnosa mežu objektima druge.

Elipsoid,rotacioni elipsoid,sfera i njihovo predstavljanje u

programskom jeziku Mathematica

Povr² koja je nastaje rotacijom elipse. Jedna£ina elipsoida u op²tem slu£aju oblika: x^2 a^2

y 2 b^2

c^2 z^2

Centar u koordinatnom po£etku O( 0 , 0 , 0 ). (x − p)^2 a^2

(y − q)^2 b^2

(c − r )^2 z^2

= 1 , gdje je centar u ta£ki C (p, q, r ).

Graphics 3 D[Ellipsoid[{ 0 , 0 , 0 }, { 4 , 3 , 2 }]]

Slika: Elipsoid

Elipsoid,rotacioni elipsoid,sfera i njihovo predstavljanje u

programskom jeziku Mathematica

a = b, a = c ili b = c elipsoid je rotacioni.

Graphics3D [Ellipsoid[{ 0 , 0 , 0 }, { 4 , 4 , 3 }]] Slika: Rotacioni Elipsoid

a = b = c posmatrana povr² je sfera.

Graphics3D [Ellipsoid[{ 0 , 0 , 0 }, { 4 , 4 , 4 }]] Slika: Sfera

Jednograni hiperboloid,dvograni hiperboloid i njihovo

predstavljanje u programskom jeziku Mathematica

Op²ta jedna£ina dvogranog hiperboloida:

−

x^2 a^2

y 2 b^2

z^2 c^2

With[{a = 1 , b = 1 , c = 1 }, ParametricPlot 3 D[Table[{pmaCosh[u], bSinh[u] Cos[v ], cSinh[u]Sin[v ]}, {pm, {− 1 , 1 }}], {u, − 2 , 2 }, {v , 0 , 2 [π]}]] Slika: Dvograni hiperboloid

Elipti£ki paraboloid,hiperboli£ki paraboloid i njihovo

predstavljanje u programskom jeziku Mathematica

Povr² koja je nastaje rotacijom parabole.

Jedna£ina elipti£kog paraboloida u op²tem obliku: z^2 a^2

y 2 b^2

= 2 pz.

ContourPlot 3 D[x^2 + y 2 == z, {x, − 2 , 2 }, {y , − 2 , 2 }, {z, 0 , 2 }] Slika: Elipti£ki paraboloid

Konusna povr² i njeno predstavljanje u programskom jeziku

Mathematica

Jedna£ina konusne povr²i je oblika

x^2 a^2

y 2 b^2

z^2 c^2

ContourPlot 3 D[x^2 + y 2 − z^2 == 0 , {x, − 2 , 2 }, {y , − 2 , 2 }, {z, − 2 , 2 }]

Slika: Konusna povr²

Elipti£ki cilindar,hiperboli£ki cilindar,paraboli£ki cilindar i

njihovo predstavljanje u programskom jeziku Mathematica

Jedna£ina elipti£kog cilindra je x^2 a^2

y 2 b^2

ParametricPlot3D [{Cos[v ], Sin[v ], u}, {v , 0 , 2 Pi}, {u, 0 , 5 }]

Slika: Elipti£ki cilindar

Elipti£ki cilindar,hiperboli£ki cilindar,paraboli£ki cilindar i

njihovo predstavljanje u programskom jeziku Mathematica

Jedna£ina paraboli£kog cilindra je y 2 = 2 px. vComplexPlot 3 D[ParabolicCylinderD[ 5 , z], {z, − 2 − 2 I , 2 + 2 I }, PlotLegends− > Automatic]

Slika: Paraboli£ki cilindar

Primjena povr²i drugog reda u arhitekturi

Nau£ni muzej Nagoya u Japanu ima oblik sfernog globusa. Pre£nika 35 metara. Sastoji se od oko 700 plo£a solarnih panela. Dvije familije parametarskih krivih, paralele i meridiajni koje £ine koordinatnu mreºu. Nacionalno klizali²te u Pekingu ima poluelipsoidni oblik. Ukupna povr²ina je 36 000 kvadratnih metara. BMW Welt muzej automobila u Minhenu u Njema£koj ima oblik konusne povr²i.

Hvala na paºnji!