Preuzmite Determinante matrica: drugog, trećeg, četvrtog reda i osobine i više Skripte u PDF od Matematika samo na Docsity!
DETERMINANTE
Najprostije rečeno determinante su kvadratne šeme. Mogu biti drugog, trećeg, četvrtog,...n-tog reda.
DRUGOG REDA
c d
a b = ad – bc Znači računaju se tako što pomnožimo elemente na takozvanoj glavnoj
dijagonali, pa od toga oduzmemo pomnožene elemente na sporednoj dijagonali.
Primer:
TREĆEG REDA
Determinante trećeg reda možemo razviti po bilo kojoj vrsti ili koloni. Najpre svakom elementu dodelimo predznak + ili -, i to radimo neizmenično:
Samo da vas podsetimo: vrste su , a kolone
3 3 3
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
a b c = Ako recimo hoćemo da razvijemo po prvoj vrsti=
3 3
2 2 (^1) b c
b c
2 2 1 3 3
2 2 (^1) a b
a b c a c
a c − b + , ili ako recimo razvijamo po drugoj koloni:
2 2
1 1 3 3 3
1 1 2 3 3
2 2 (^1) a c
a c b a c
a c b a c
a c − b + −
Najbolje je ,naravno, da razvijamo po onoj koloni ili vrsti gde ima najviše nula!
Primer: Izračunaj vrednost determinante
= Najpre iznad svakog broja napišite predznake:
, ili ako vam je
lakše samo iznad brojeva u vrsti ili koloni po kojoj ste rešili da razvijete determinantu. Mi smo rešili po drugoj vrsti jer ima jedna nula (moglo je i po trećoj koloni, sve jedno).
Dakle:
− + −
2 3
Drugi način za računanje determinanti trećeg reda, medju učenicima vrlo popularan, je SARUSOVO pravilo.
Pored date determinante dopišu se prve dve kolone , pa se elementi množe dajući im znake kao na slici:
3 3 3
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
a b c
3
2
1
a
a
a
3
2
1
b
b
b = a 1 (^) b 2 c 3 + b 1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b 3 − b 1 a 2 c 3 − a 1 c 2 b 3 − c 1 b 2 a 3
Primer: Izračunaj vrednost determinante
Dakle, na oba načina smo dobili isti rezultat,pa vi odaberite sami šta vam je lakše.
3. Determinanta se množi brojem, kad se tim brojem pomnože svi elementi ma koje (ali samo jedne) vrste ili kolone. Obrnuto, zajednički faktor elemenata jedne vrste ili kolone može se izvući ispred determinante . Na primer:
k 3 3 3
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
a b c
3 3 3
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
ak bk ck
3 3 3
2 2 2
1 1 1
ak b c
ak b c
ak b c itd ili
3 3 3
2 2 2
1 1 1
a mb c
a mb c
a mb c = m 3 3 3
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
a b c
4. Ako je u determinanti svaki element neke k-te vrste (kolone) zbir dva ili više sabiraka, onda je ona jednaka zbiru dve ili više determinanata, koje imaju iste elemente kao i data determinanta, osim elemenata k-te vrste (kolone).
Na primer:
3 3 3 3
2 2 2 2
1 1 1 1
a b m c
a b m c
a b m c
3 3 3
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
a b c
3 3 3
2 2 2
1 1 1
a m c
a m c
a m c
5. Ako su svi elementi jedne vrste(kolone) jednaki nuli, vrednost determinante je nula.
= 0 ili 0
4 5 9 8
6. Ako elementi u dve vrste ili kolone imaju iste vrednosti, vrednost determinante je opet nula.
Primer:
− = 0 jer su elementi prve i treće vrste jednaki
- Ako su dve vrste ( kolone ) proporcionalne meñu sobom , vrednost determinante je opet nula.
Primer:
− = 0 jer su prva i treća vrsta proporcionalne, tj. prva puta 3 daje treću
vrstu.
- Vrednost neke determinante ostaje nepromenjena ako se elementima jedne vrste(kolone) dodaju odgovarajući elementi neke druge vrste(kolone) pomnoženi istim brojem!
Ova osma osobina će nam pomoći da lakše rešimo determinante
četvrtog i višeg reda.
Još nam preostaje da gde je 2 napravimo nulu.Prvu vrstu ćemo pomnožiti sa –2 i to sabrati sa drugom vrstom. Dakle
(-2) 1+2= 0 (-2) 2+2= - (-2) 4+(-3)=- (-2)(-1)+5=
Ako ovu determinantu razvijemo po prvoj koloni, imaćemo samo jedan član , jer se svi ostali množe sa nulom, pa imaju vrednost nula!
Upotrebimo Sarusovo pravilo:
Vi naravno ne morate da idete korak po korak, već odmah napravite sve tri nule!
Primer:
Izračunaj determinantu:
a b c d
a b c c
a b b b
a a a a
Rešenje:
Napravićemo nule po prvoj koloni i to:
- Od četvrte vrste oduzmemo prvu pa to upišemo umesto četvrte vrste
- Od treće vrste oduzmemo prvu pa to upišemo umesto treće vrste
- Od druge vrste oduzmemo prvu pa to upišemo umesto druge vrste
a b c d
a b c c
a b b b
a a a a
=
b a c a d a
b a c a c a
b a b a b a
a a a a
Iz prve vrste možemo izvući zajedničko a. Pa je:
b a c a d a
b a c a c a
b a b a b a
a a a a
= a
b a c a d a
b a c a c a
b a b a b a
Ovu novu determinantu naravno razvijamo po prvoj koloni:
a b a c a d a
b a c a c a
b a b a b a
= I ovde iz prve kolone možemo izvući zajednički (a-b)
a(a-b)
c a d a
c a c a
b a b a
= Ajde opet da napravimo one nule u prvoj koloni!
- od druge vrste oduzmemo prvu : c-a-b+a=c-b
- od treće vrste oduzmemo prvu : c-a-b+a=c-b i d-a-b+a=d-b
