4
ei*
* kann Spuren von Katzen enthalten
nicht für Humorallergiker geeignet
alle Angaben ohne Gewehr
Analysis 1
1 Allgemeines
Dreiecksungleichung |x+y|≤|x|+|y|
||x|−|y|| ≤ |x−y|
Cauchy-Schwarz-Ungleichung: |hx,y i| ≤ kxk·kyk
Arithmetische Summenformel
n
P
k=1
k=n(n+1)
2
Geometrische Summenformel
n
P
k=0
qk=1−qn+1
1−q
Bernoulli-Ungleichung (1 + a)n≥1 + na
Binomialkoeffizient n
k=n!
k!(n−k)!
n
0=n
n= 1
Binomische Formel (a+b)n=n
P
k=0 n
kan−kbk
¨
Aquivalenz von Masse und Energie E=mc2
Wichtige Zahlen: √2 = 1,41421 π=ist genau 3 e= 2,71828
π= 3,14159
Fakult¨
aten n!=1·2·3·...·n0!=1!=1
2 Mengen
Eine Zusammenfassung wohlunterschiedener Elemente zu einer Menge
explizite Angabe: A={1; 2; 3}
Angabe durch Eigenschaft: A={n∈N|0<n<4}
2.1 F¨
ur alle Mengen A,B,C gilt:
1. ∅ ⊆ B
2. A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C)
3. (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
4. A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
Q={p
q|p∈Z;q∈N}
Jede rationale Zahl m
n∈Qhat ein Dezimaldarstellung.
0,2554 =: a→10000a−100a= 2554 −25 ⇒a(9900) =
2529 ⇒a=2529
9900 =281
1100
3 Vollst¨
andige Induktion
Behauptung: f(n) = g(n)f¨
ur n0≤n∈N
IA: n=n0: Zeige f(n0) = g(n0).
IV: Annahme f(n) = g(n)gilt f¨
ur ein beliebiges n∈N
IS: n→n+ 1: Zeige f(n+ 1) = f(n)
=wahr
...=g(n+ 1)
4 Komplexe Zahlen
Eine komplexe Zahl z=a+bi, z ∈C, a,b ∈Rbesteht aus einem
Realteil <(z) = aund einem Imagin¨
arteil =(z) = b, wobei i=√−1
die immagin¨
aren Einheit ist. Es gilt: i2=−1i4= 1
4.1 Kartesische Koordinaten
Rechenregeln:
z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i
z1·z2= (a1·a2−b1·b2)+(a1·b2+a2·b1)i
Konjugiertes Element von z=a+bi:
z=a−bieix =e−ix
zz =|z|2=a2+b2
Inverses Element:
z−1=1
zz
zz =z
a2+b2=a
a2+b2−b
a2+b2i
4.2 Polarkoordinaten
z=a+bi6= 0 in Polarkoordinaten:
z=r(cos(ϕ) + isin(ϕ)) = r·eiϕ
r=|z|=pa2+b2ϕ= arg(z) =
+ arccos a
r, b ≥0
−arccos a
r, b < 0
Multiplikation: z1·z2=r1·r2(cos(ϕ1+ϕ2) + isin(ϕ1+ϕ2))
Division: z1
z2=r1
r2(cos(ϕ1−ϕ2) + isin(ϕ1−ϕ2))
n-te Potenz: zn=rn·enϕi=rn(cos(nϕ) + isin(nϕ))
n-te Wurzel: n
√z=zk=n
√rcos ϕ+2kπ
n+isin ϕ+2kπ
n
k= 0,1,...,n−1
Logarithmus: ln(z) = ln(r) + i(ϕ+ 2kπ)(Nicht eindeutig!)
Anmerkung: Addition in kartesische Koordinaten umrechnen(leichter)!
5 Funktionen
Eine Funktion fist eine Abbildung, die jedem Element xeiner Definiti-
onsmenge Dgenau ein Element yeiner Wertemenge Wzuordnet.
f:D→W, x 7→ f(x) := y
Injektiv:f(x1) = f(x2)⇒x1=x2
Surjektiv:∀y∈W∃x∈D:f(x) = y
(Alle Werte aus Wwerden angenommen.)
Bijektiv(Eineindeutig): fist injektiv und surjektiv ⇒fumkehrbar.
Ableitung der Umkehrfunktion
fstetig, streng monoton, an x0diff’bar und y0=f(x0)
⇒f−1(y0) = 1
f0(x0)=1
f0(f−1(y0))
5.1 Symmetrie einer Funktion f
Achsensymmetrie (gerade Funktion): f(−x) = f(x)
Punktsymmetrie (ungerade Funktion): f(−x) = −f(x)
Regeln f¨
ur gerade Funktion gund ungerade Funktion u:
g1±g2=g3u1±u2=u3
g1·g2=g3u1·u2=g3u1·g1=u3
5.2 Kurvendiskussion von f:I= [a, b]→R
Kandidaten f¨
ur Extrama (lokal, global)
1. Randpunkte von I
2. Punkte in denen fnicht diffbar ist
3. Station¨
are Punkte (f0(x)=0) aus (a, b)
Lokales Maximum
wenn x0station¨
arer Punkt (f0(x0)=0) und
•f00(x0)<0oder
•f0(x)>0, x ∈(x0−ε, x0)
f0(x)<0, x ∈(x0, x0+ε)
Lokales Minimum
wenn x0station¨
arer Punkt (f0(x0)=0) und
•f00(x0)>0oder
•f0(x)<0, x ∈(x0−ε, x0)
f0(x)>0, x ∈(x0, x0+ε)
Monotonie
f0(x)≥
(>)0→f(streng) Monoton steigend, x∈(a, b)
f0(x)≤
(<)0→f(streng) Monoton fallend, x∈(a, b)
Konvex/Konkav
f00(x)≥
(>)0→f(strikt) konvex, x∈(a, b)
f00(x)≤
(<)0→f(strikt) konkav, x∈(a,b)
f00(x0)=0und f000(x0)6= 0 →x0Wendepunkt
f00(x0)=0und Vorzeichenwechseln an x0→x0Wendepunkt
5.3 Asymptoten von f
Horizontal: c= lim
x→±∞ f(x)
Vertikal: ∃Nullstelle ades Nenners : lim
x→a±f(x) = ±∞
Polynomasymptote P(x):f(x) := A(x)
Q(x)=P(x) + B(x)
Q(x)
→0
5.4 Wichtige S¨
atze f¨
ur stetige Fkt. f: [a, b]→R, f 7→ f(x)
Zwischenwertsatz: ∀y∈[f(a), f(b)] ∃x∈[a, b] : f(x) = y
Satz von Rolle: Falls f(a) = f(b), dann ∃x0:f0(x0)=0
Mittelwertsatz: Falls fdiffbar, dann ∃x0:f0(x0) = f(b)−f(a)
b−a
Regel von L’Hospital:
lim
x→a
f(x)
g(x)=h0
0i/h∞
∞i→lim
x→a
f(x)
g(x)= lim
x→a
f0(x)
g0(x)
5.5 Polynome P(x)∈R[x]n
P(x) = Pn
i=0 aixi=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0
L¨
osungen f¨
ur ax2+bx +c= 0
Mitternachtsformel: Satz von Vieta:
x1/2=−b±qb2−4ac
2ax1+x2=−b
ax1x2=c
a
5.6 Trigonometrische Funktionen
f(t) = A·cos(ωt +ϕ0) = A·sin(ωt +π
2+ϕ0)
sin(−x) = −sin(x) cos(−x) = cos(x)
sin2x+ cos2x= 1 tan x=sin x
cos x
eix = cos(x) + isin(x)e−ix = cos(x)−isin(x)
sin(x) = 1
2ieix −e−ixcos(x) = 1
2eix +e−ix
sinh(x) = 1
2(−e−x+ex) cosh(x) = 1
2(e−x+ex)
Additionstheoreme
cos(x+y) = cos xcosy−sin xsin y
cos x−π
2= sin xsin x+π
2= cos x
sin (x+y) = sin xcosy+ cos xsin y
sin 2x= 2 sin xcos x
cos 2x= cos2x−sin2x= 2 cos2x−1
x0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
x0π/6π/4π/3π/22
3π3
4π5
6π π 3
2π2π
sin 0 1
21
√2
√3
21√3
21
√2
1
20−1 0
cos 1 √3
21
√2
1
20−1
2−1
√2−√3
2−1 0 1
tan 0 √3
31√3 ` −√3−1−1
√30 ` 0
5.7 Potenzen/Logarithmus
ln(ur) = rln u
6 Folgen
Eine Folge ist eine Abbildung a:N0→R, n →a(n) =: an
explizite Folge: (an)mit an=a(n)
rekursive Folge: (an)mit a0=f0, an+1 =a(an)
6.1 Monotonie
Im Wesentlichen gibt es 3 Methoden zum Nachweis der Monotonie.
F¨
ur (streng) monoton fallend gilt:
1. an+1 −an≤
(<)0
2. an
an+1 ≥
(>)1∨an+1
an≤
(<)1
3. Vollst¨
andige Induktion: ∀n∈N:an+1 ≤
(<)an
6.2 Konvergenz
(an)ist Konvergent mit Grenzwert a, falls: ∀ > 0∃N∈N0:
|an−a|< ∀n≥N
Eine Folge konvergiert gegen eine Zahl a:(an)n→∞
−→ a
Es gilt:
•Der Grenzwert a einer Folge (an)ist eindeutig.
•Ist (an)Konvergent, so ist (an)beschr¨
ankt
•Ist (an)unbeschr¨
ankt, so ist (an)divergent.
•Das Monotoniekriterium: Ist (an)beschr¨
ankt und monoton, so
konvergiert (an)
•Das Cauchy-Kriterium: Eine Folge (an)konvergiert gerade dann,
wenn:
∀ > 0∃N∈N0:|an−am|< ∀n, m ≥N
Regeln f¨
ur konvergente Folgen (an)n→∞
−→ aund (bn)n→∞
−→ b:
(an+bn)n→∞
−→ a+b(anbn)n→∞
−→ ab (an
bn)n→∞
−→ a
b
(λan)n→∞
−→ λa (√an)n→∞
−→ √a(|an|)n→∞
−→ |a|
Grenzwert bestimmen:
•Wurzeln: Erweitern mit binomischer Formel
•Br¨
uche: Z¨
ahler und Nenner durch den Koeffizient h¨
ochsten Grades
teilen
•Rekursive Folgen: Fixpunkte berechnen. Fixpunkte sind m¨
ogliche
Grenzwerte. Monotonie durch Vergleich an+1 und anzeigen. Be-
schr¨
anktheit mit Induktion beweisen.
6.3 Wichtige Regeln
an=qnn→∞
−→
0|q|<1
1q= 1
±∞ q < −1
+∞q > 1
an=1
nk→0∀k≥1
an=1 + c
nn→ec
an=nc1
n−1= ln c
an=n2
2n→0(2n≥n2∀n≥4)
lim
n→∞ n1
n= lim
n→∞
n
√n= 1
6.4 Limes Inferior und Superior
Der Limes superior einer Folge xn⊂Rist der gr¨
oßte Grenzwert
konvergenter Teilfolgen xnkder Folge xn
Der Limes inferior einer Folge xn⊂Rder kleinste Grenzwert kon-
vergenter Teilfolgen xnkder Folge xn
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