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ei
- kann Spuren von Katzen enthaltennicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr
Analysis 3
- N¨utzliches Wissen e
ıx = cos(x) + ı · sin(x)
1.1. Sinus, Cosinus sin
(x) + cos
(x) = 1
sin x =
2ı
(e
ıx − e
−ıx ) cos x =
(e
ıx
−ıx )
x 0 π/ 6 π/ 4 π/ 3
π π 1
π 2 π
sin 0
cos 1
tan 0
Additionstheoreme Stammfunktionen
cos(x −
π
) = sin x
x cos(ax) dx =
ax sin(ax)+cos(ax)
a
sin(x +
π
) = cos x
x sin(ax) dx =
sin(ax)−ax cos(ax)
a
sin 2x = 2 sin x cos x
sin
(ax) dx =
x
2
sin(2ax)
4 a
cos 2x = 2 cos
x − 1
cos
(ax) dx =
x
sin(2ax)
4 a
tan(x) =
sin(x)
cos(x)
cos(x) sin(x) = −
cos
(x)
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
Sinus/Cosinus Hyperbolicus
sinh x =
(e
x − e
−x ) = −ı sin(ıx) cosh
x − sinh
x = 1
cosh x =
(e
x
−x ) = cos(ıx) cosh x + sinh x = e
x
Kardinalsinus si(x) =
sin(x)
x
genormt: sinc(x) =
sin(πx)
πx
1.2. Integrale
e
x
dx = e
x
= (e
x
Partielle Integration:
uw
= uw −
u
w
Substitution:
f (g(x)
| {z }
t
) g
(x) dx
| {z }
dt
f (t) dt
F (x) f (x) f
(x)
q+
x
q+ x
q qx
q− 1
p
ax
ax
a
ax
x ln(ax) − x ln(ax)
a
x
a
e
ax (ax − 1) x · e
ax e
ax (ax + 1)
a
x
ln(a)
a
x a
x ln(a)
− cos(x) sin(x) cos(x)
cosh(x) sinh(x) cosh(x)
− ln | cos(x)| tan(x)
cos
(x)
e
at sin(bt) dt = e
at a sin(bt)−b cos(bt)
a
+b
x =
−b±
q
b
− 4 ac
2 a
at+b
dt =
at+b
a
t
e
at dt =
(at−1)
a
e
at
te
at dt =
at− 1
a
e
at
xe
ax
dx =
2 a
e
ax
1.3. Exponentialfunktion und Logarithmus k ∈ Z
a
x = e
x ln a log a x =
ln x
ln a
ln x ≤ x − 1
ln(x
a ) = a ln(x) ln(
x
a
) = ln x − ln a log(1) = 0
e
= e
ı2πk = 1 e
ıπk = (−1)
k e
ı
π
k = ı
k
1.4. Betrag komplexer Zahlen und komplexe Wurzel
|z|
= zz
= x
n
z =
n
p
|z| exp
ıφ
n
2 πı
n
mit k = 0,... , n − 1
1.5. Reihen
P
n=
n
Harmonische Reihe
P
n=
z
n |z|< 1 =
1 −z
Geometrische Reihe
P
n=
z
n
n!
= e
z
Exponentialreihe
- Fourierreihe f (x) ∼ F (x) ω =
2 π
T
Voraussetzungen:
- f ist T -periodisch im Intervall I, meist I = [−
T
T
) oder I = [0, T )
- I aufteilbar in Teilintervalle, in denen f stetig und monoton
- In den endlich viele Unstetigkeitsstellen existieren links- und rechtsseitige Grenzwerte
f ist T -periodisch, falls f (x + T ) = f (x) ⇒ auch n · T periodisch.
Reelle Fourierreihe:
F (x) =
a 0
X
k=
a k
cos (kωx) + b k
sin (kωx)
mit a k , b k ∈ R (bzw. C ) :
n a k
b k
T
T
T
f (x)
n cos
sin
(kωx) dx
a 0
immer separat berechnen mit k = 0
Komplexe Fourierreihe:
F (x) =
X
k=−∞
c k
exp (ıkωx)
mit c k ∈ C : c k
T
T
T
f (x) exp (−ıkωx) dx
c 0
immer separat berechnen mit k = 0
Konvergenz: F (x) ∼ f (x)
- f in x stetig & st¨uckweise stetig differenzierbar ⇒ F (x) = f (x)
- f in x nicht stetig ⇒ x = a i und F (x) =
f (a
i
)+f (a
i
2.1. Rechenregeln
Linearit¨at αf + βg a q αc k
Konjugation f a q c −k
Zeitumkehr f (−t)
a q c −k
Streckung f (γt)
a q c k
; γ > 0;
T =
T
γ
⇔ ω˜ = γω
Verschiebung t f (t + a)
a q e
ıkωa c k
Verschiebung ω e
ınωt f (t) a q c k−n
Ableitung
f (t)
a q ıkωc k
Ableitung bei Sprungstellen
f (t) a q ıkωc k
T
P
N
j=
j
e
−kωtj
Stammfunktion
t
0
f (t)
a q
c k
ıkω
k ̸= 0
T
T
tf (t) dt k = 0
c 0 f (t)
Faltung f ∗ g
a q c k d k
2.2. Symmetrien
- f gerade (achsensym.) Funktion: f (t) = f (−t)
c k
= c −k
b k
= 0 a k
T
T / 2
f (x) cos (kωx) dx
- f ungerade (punktsym.) Funktion: f (t) = −f (−t)
c k
= −c −k
a k
= 0 b k
T
T / 2
f (x) sin (kωx) dx
T
-periodisch: f (
T
c 2 k+
= a 2 k+
= b 2 k+
a 2 k
b 2 k
T
T / 2
f (t)
cos (2kωt)
sin (2kωt)
dt
T
-periodischen Anteil: f (
T
c 2 k
= a 2 k
= b 2 k
a 2 k+
b 2 k+
T
T / 2
f (t)
cos ((2k + 1)ωt)
sin ((2k + 1)ωt)
dt
2.3. Umrechnungsformeln
= c k
b k
= ı(c k
− c −k
a 0
2
c k
(a k
− ıb k
) c −k
(a k
2.4. Umrechnung von T in S periodische Funktionen
f ist T periodisch, g(x) = f
T
S
x
, S periodisch, denn g(x + S) =
f
T
S
(x + S)
= f
T
S
x + T
= f
T
S
x
= g(x)
2.5. LTI-Systeme (c
k
sind Fourierkoeffizienten von x(t))
Ly = any
(n) (t) + · · · + a 1
y(t) + a 0 y(t) = x(t)
d
n
dt
n → s
n ⇒ P (s) = ans
n · · · + a 1
s + a 0
h T (t) =
P
k=−∞
d k e
ıkωt mit d k
P (ıkω)
y(t) = h T
(t) ∗ x(t) =
T
h T
(τ )x(t − τ ) dτ =
P
c k
d k
e
ıkωt
2.6. Funktionen
2.6.1. S¨agezahnfunktion
s(t) =
(π − t), 0 < t < 2 π, T = 2π, ω = 1
c 0 = 0 c k̸ =
2 kı
bzw. a 0 = 0 a k
= 0 b k
k
S(t) =
P
k=
k
e
ıkt −e
−ıkt
2ı
P
k̸ =
2ık
e
ıkt
2.6.2. Weiterer S¨agezahn, Rechteck und Treppenfunktion ( 2 π-periodisch)
f : [−π, π) → R, f (x) = x a k = 0, b k
k
k+
f : [−π, π) → R, f (x) = sgn(x) a k
= 0, b 2 k− 1
(2k−1)π
Treppe mit Sprungwert ∆ n an tn c k
2 kπı
P
m
n=
ne
ıktn
- Fouriertransformation f (t) → F (ω)
Voraussetzungen:
- f st¨uckweise stetig differenzierbar
- f (t) =
f (t
) + f (t
|f (t)| dt < ∞ (f absolut integrierbar)
f (t)
F
a q F (ω) :=
f (t) exp(−ıωt) dt
δ(t − T )
F
a q e
−ıωT 1
F
a q 2 πδ(ω)
u(t)
F
a q 1
ıω
n
F
a q 2 πı
n δ
(n) (ω)
t
n− 1
(n−1)!
e
−at u(t)
F
a q
(a+ıω) n
|t
n |
F
a q 2 n!
(ıω) n+
|t| e
−|t|
F
a q 2(1−ω
(1+ω
e
−|t|
F
a q 2
1+ω
cos(at)
F
a q π (δ(ω + a) + δ(ω − a))
sin(at)
F
a q ıπ (δ(ω + a) − δ(ω − a)) (
A, |t − a| ≤ T
0 , |t − a| > T
F
a q 2 AT e
−ıωa si(ωT )
3.1. Die Inverse Fouriertransformation
e f (t) =
2 π
F (ω) exp(ıωt) dω =
f (t) , f stetig in t
f (t
)+f (t
, f unstetig t
3.2. Faltung
(g ∗ f )(x) = (f ∗ g)(t) =
f (τ )g(t − τ ) dτ
3.3. Lineare DGLn
Ly = P
d
dt
y(t) = b(t)
F
a q P (ıω)Y (ω) = B(ω)
Y (ω) =
P (ıω)
B(ω) ⇒
P (ıω)
= H(ω)
F
a q h(t)
y(t) = h ∗ b(t) (Partikul¨are L¨osung)
3.4. Rechenregeln
Linearit¨at αf (t) + βg(t)
F
a q αF (ω) + βG(ω)
Konjugation f (t)
F
a q F (−ω)
Skalierung f (ct)
F
a q 1
|c|
F
ω
c
Verschiebung t f (t − a)
F
a q exp(−ıωa)F (ω)
Verschiebung ω exp(ı ˜ωt)f (t)
F
a q F (ω − ˜ω)
Ableitung t f
(n) (t)
F
a q (ıω)
n F (ω) [FT Bedingung]
Ableitung ω t
n f (t)
F
a q ı
n F
(n) (ω)
Integration t
t
−∞
x(τ ) dτ
F
a q 1
ıω
X(ω) + πX(0)δ(ω)
Integration ω
ı
t
x(t) + πx(0)δ(t)
F
a q
ω
−∞
X(Ω) dΩ
Faltung: (f ∗ g)(t)
F
a q F (ω) · G(ω)
Modulation f (t) · g(t)
F
a q 1
2 π
X
(ω) ∗ X 2 (ω)
3.5. Symmetrie
f (t) f (t) f (t) F (ω) F (ω) F (ω)
reell F (−ω) = F
(ω)
gerade gerade
ungerade ungerade
reell u. gerade reell u. gerade
reell u. ungerade imagin¨ar u. ungerade
imagin¨ar u. gerade imagin¨ar u. gerade
imagin¨ar u. ungerade reell u. gerade
- Laplacetransformation L
f (t)
= F (s)
Voraussetzung: |f (t)| ≤ M e
σt ∀t > 0; σ = Re(s)
f (t)
L
a q F (s) :=
f (t) exp(−st) dt
L
a q 1
s
δ(t − t 0
L
a q e
−st 0
t
n
L
a q n!
s
n+
e
at
s>a
L
a q 1
s−a
sin(at)
L
a q a
s
+a
cos(at)
L
a q s
s
+a
sinh(at)
L
a q a
s
−a
cosh(at)
L
a q s
s
−a
sin(at)
t
L
a q arctan
a
s
t
n− 1
(n−1)!
L
a q 1
s
n
e
−at sin(bt)
L
a q b
(s+a)
+b
e
−at cos(bt)
L
a q s+a
(s+a)
+b
ae
−at −be
−bt
a−b
L
a q s
(s+a)(s+b)
4.1. Die Inverse Laplacetransformation
f (t) =
2 πı
−γ+ı∞ ´
γ−ı∞
F (s) exp(st) ds
4.2. Rechenregeln
Linearit¨at αf (t) + βg(t)
L
a q αF (s) + βG(s)
Skalierung f (ct)
L
a q 1
c
F
s
c
Verschiebung t f (t − a) u(t − a)
L
a q e
−as F (s)
Verschiebung s e
−at f (t)
L
a q F (s + a)
Ableitung t f
(t)
L
a q sF (s) − f (0)
f
(t)
L
a q s
F (s) − sf (0) − f
f
(n)
L
a q s
n F (s) − s
n− 1 f (0) − s
n− 2 f
(0)... − f
(n−1) (0)
Ableitung s (−t)
n f (t)
L
a q F
(n) (s)
Integration t
t
0
f (x) dx
L
a q
s
F (s)
Integration s
t
f (t)
L
a q
s
F (s
)ds
Faltung (f ∗ g)(t)
L
a q F (s) · G(s)
Faltung: (f ∗ g)(t) :=
t
f (t − τ )g(τ ) dτ
Es gibt eine eineindeutige Korespondens zwischen den Originalfkt und Bildfkt. Meist
Nennergrad > Z¨ahlergrad: Bruch geschickt umformen!
Laplacetransformierte als Summe nie auf gemeinsamen Nenner bringen!!
4.3. DGL Laplace-Transformierbar
Geg.: af
(t) + bf
(t) + cf (t) = s(t) mit f (0) = d und f
(0) = e
Falls gilt f (t)
L
a q F (s) und s(t)
L
a q S(s):
a
s
F (s) − sf (0) − f
sF (s) − f (0)
Aufl¨osen der Gleichung liefert F (s) =
S(s)+a(sd+e)+bd
as
+bs+c
R¨ucktransformation von F (s) liefert die L¨osung f (t)
4.4. DGL-System Laplace-Transformierbar
x(t) = ax(t) + by(t) + s 1
(t)
y(t) = cx(t) + dy(t) + s 2
(t)
mit x(0) = e und y(0) = f
Falls alle Funktionen LaPlace transformierbar gilt: "
s − a −b
−c s − d
X(s)
Y (s)
S
(s)
S
(s)
e
f
Die Resolvente ist definiert als: (sI
e
− A
f
L
q a exp(tA
f
Homepage: www.latex4ei.de – Fehler bitte sofort melden. von Lukas Kompatscher und Roberto Gudelj – Mail: [email protected] Stand: 23. Januar 2020 1/
- Funktionentheorie (Komplexe Funktionen)
5.1. Reelifizierung
f (z) = f (x + ıy) = u(x, y) + ıv(x, y)
Trigonometrische Funktionen
sin(z) = sin(x) cosh(y) + ı cos(x) sinh(y)
cos(z) = cos(x) cosh(y) − ı sin(x) sinh(y)
sinh(z) = cos(y) sinh(x) + ı sin(y) cosh(x)
cosh(z) = cos(y) cosh(x) + ı sin(y) sinh(x)
5.2. Holomorphe (analytische, regul¨are) Funktionen f
Eine Funktion f ist...
holomorph falls f in G komplex differenzierbar ist.
ganz falls f in ganz C komplex differenzierbar ist.
konform falls Kurven Winkel- und Orientierungstreu bleiben.
f ist genau dann holomorph, falls f (x + yı) = u(x, y) + ıv(x, y) und
- u, v sind stetig partiell diffbar
- Cauchy-Riemann DGLen sind erf¨ullt auf Gebiet G:
∂xu(x, y) = ∂y v(x, y) ∂y u(x, y) = −∂xv(x, y)
Holomorph: exp, sin, cosh, Polynome, f ± g, f g,
f
g
, f (g), f
(n) , ∀n ∈ N
Mittelwerteigenschaft: Ist f : G → C holomorph so ist der Wert f (z 0
) der Mittel-
wert der Funktionswerte auf dem Rand des Kreises mit dem Mittelpunkt z 0
f (z 0
2 π
2 π
0
f (z 0
it ) dt
5.3. Harmonische Funktionen u, v
u bzw. v sind harmonisch, falls gilt:
∆ u = ∂xxu + ∂yy u = 0 ∆ v = ∂xxv + ∂yy v = 0
oder falls f (z) = u + ıv holomorph ist; denn mit Satz von Schwarz:
∆ u = ∂yxv − ∂xy v = 0 ∆ v = −∂yxu + ∂xy u = 0
Bestimmen der harmonischen Konjugierten
- Geg: harm. Fkt. u : G → R, (x, y) → u(x, y)
- Ges: harm. Fkt. v : G → R, (x, y) → v(x, y) so, dass f : G →
V, f (z) = u(x, y) + ıv(x, y)
ux dy mit Integrationskonstante g(x)
(x)
g
(x) dx ⇒ v bis auf Konstante C bestimmt
- zugeh¨orige holomorphe Fkt. f (z) = u(x, y) + ıv(x, y)
Einzige bijektive, holomorphe, konforme Abbildung von
C auf sich selbst.
f : C \
d
c
→ C \
d
c
, f (z) =
az+b
cz+d
ad − bc ̸= 0
f
(w) =
dw−b
−cw+a
5.4. Komplexes Kurvenintegral
f¨ur D ⊂ C Gebiet, f : D → C stetig, γ : [t 1 , t 2 ] → stetig diffbar Kurve
Berechnen eines komplexen Kurvenintegrals
- Bestimme Parametrisierung von γ
γ = γ 1
+... + γ 2
, γ i
: [a i
, b i
] → C
γ i
f (z) dz =
b i ´
a i
f
γ i (t)
γ i (t) dt
Falls f holomorph:
γ
f (z) dz = F
γ(b)
− F
γ(a)
- Berechne die Integrale und addiere:
γ
f (z) dz =
h P
i=
γ i
f (z) dz
5.5. Cauchy-Integralformel
Ist γ eine geschlossene, doppelpunktfreie und positiv durchlaufene Kurve in einem
einfach zusammenh¨angenden Gebiet G und f : G → C holomorph, so gilt f¨ur jedes
z 0 im Inneren von γ:
f (z 0
2 πı
γ
f (z)
z − z 0
dz
γ
f (z)
(z − z 0
k+
dz =
2 πı
k!
f
(k) (z 0
5.6. Integralsatz von Cauchy
Falls keine Unstetigkeitsstelle innerhalb der Kurve γ
f : G → C komplex diffbar auf offenem, einfach zusammenh¨angendem Gebiet
G ⊂ C. γ sei einfach geschlossene Kurve in G (keine Doppelpunkte). ¸
γ
f (z) dz = 0
5.7. Existenz einer Stammfunktion und Wegunabh¨angigkeit
Ist f : G → C holomorph auf dem einfach zsh. Gebiet G, so existiert zu f eine
Stammfunktion F , und es gilt f¨ur jede in G verlaufende Kurve γ mit Anfangspunkt
γ(a) und Endpunkt γ(b):
γ
f (z) dz = F (γ(b)) − F (γ(a))
5.8. Singularit¨aten
Isolierte Singularit¨at z 0 ∈ G: f : G \
z 0 → C (einzelne Punkte, wo f nicht
definiert ist)
- Hebbare Singularit¨at, falls f auf punktierter Umgebung beschr¨ankt ist.
- Pol m-ter Ordnung: (z − z 0
m f (z) ist hebbar in z 0
- Wesentliche Singularit¨at: Sonst.
5.9. Taylorreihe und Laurentreihe
Taylorreihe: Falls f holomorph ist.
f (z) =
X
k=
f
(k) (z 0
k!
(z − z 0
k
Laurentreihe: Falls f nicht holomorph ist.
f (z) =
X
k=−∞
c k (z−z 0
k
X
k=−∞
c k (z − z 0
k
| {z }
Hauptteil
X
k=
c k (z − z 0
k
| {z }
Nebenteil
Konvergenz falls Hauptteil und Nebenteil konvergiert.
Konvergenzradien: R = lim
c k
c k+
∈ [0, ∞]
Resiudensatz: Res z 0
f = c − 1
2 πı
f (z) dz
Res z 0
g
h
g(z 0
h
(z 0
Res z 0
g(z)
(z−z 0
m
g
(m−1) (z 0
(m−1)!
Res z 0
g
h
h
= mg(z 0
) m : Ordnung der Polstelle
Allgemeiner Residuensatz f : G \
z 1 ,... , zn → C holomorph
∀ doppelpunktfrei, geschlossene und pos. orientierte Kurven γ mit z 1 ,... , zn liegen
im Inneren von γ:
˛
γ
f (z) dz = 2πı
n X
k=
Res z k
f
Bestimmen reeller Integrale mit dem Residuenkalk¨ul
p(x)
q(x)
dx
- Bestimme Singularit¨aten z 1 ,... , zn der komplexen Funktion f (z) =
p(z)
q(z)
in der oberen Halbebene, Im
z i
- Bestimme Residuen von f (z) in den Singularit¨aten z 1
,... , zn
p(x)
q(x)
dx = 2πı
P
n
k=
Res z k
f
Bestimmen reeller trigonometischer Integrale mit dem Residuenkalk¨ul
2 π
− 0
R(cos t, sin t) dt
(z + 1/z) = cos t,
2ı
(z − 1 /z) = sin t,
ız
dz = dt
- Erhalte komplexe Fkt. f (z) = R
(z + 1/z),
2ı
(z − 1 /z)
ız
- Bestimme Singularit¨aten z 1
,... , zn der komplexen Funktion f (z) =
p(z)
q(z)
in des Einheitskreises |z| < 1
- Bestimme Residuen von f (z) in den Singularit¨aten z 1
,... , zn
2 π
− 0
R(cos t, sin t) dt = 2πı
P
n
k=
Res z k
f
5.10. Wichtige Taylorreihen
e
z
P
n=
z
n
n!
∀z ∈ C
ln(z)
P
n=
n+
n
(z − 1)
n 0 < z ≤ 2
1 −z
P
n=
z
n |z| < 1
sin z
P
n=
n
(2n+1)!
z
2 n+ ∀z ∈ C
cos z
P
n=
n
(2n)!
z
2 n ∀z ∈ C
sinh z
P
n=
z
2 n+
(2n+1)!
∀z ∈ C
cosh z
P
n=
z
2 n
(2n)!
∀z ∈ C
- Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
6.1. Lineare pDGLen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Geg.: aux
- buy = f (x, y) mit a ̸= 0 ̸= b, ges.: u = u(x, y)
L¨osen einer linearen pDGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
- Substitution: r = r(x, y) = bx + ay und s = s(x, y) = bx − ay
- U (r, s) = u(
r+s
2 b
r−s
2 a
) = u(x, y) und
F (r, s) = f (
r+s
2 b
r−s
2 a
) = f (x, y)
2 ab
F (r, s)
2 ab
F (r, s) dr + G(s) mit diff’barem G(s)
- R¨ucksubstitution liefert u(x, y)
- Anfangsbedingung z.B. u(x, 0) = g(x) legt G(s) fest
6.2. Lineare pDGL 1. Ordnung
Geg.: a(x, y)ux
- b(x, y)uy = 0, ges.: u = u(x, y)
L¨osen einer linearen homogenen pDGL 1. Ordnung (2 Variablen)
dy
dx
b(x,y)
a(x,y)
(ist gDGL), alternativ
dx
dy
a(x,y)
b(x,y)
- L¨ose gDGL und erhalte y = y(x) = F (x, c)
- L¨ose die Gleichung y(x) = F (x, c) nach c = c(x, y) auf (falls m¨oglich)
- u(x, y) = f (c(x, y)) ist f¨ur jede stetig diff’bare Fkt. f eine L¨osung der
pDGL
- f wird durch evtl. gegebene Anfangsbedingung festgelegt
Geg.: a(x, y, z)ux
- b(x, y, z)uy
- c(x, y, z)uz = 0 , ges.: u =
u(x, y, z)
L¨osen einer linearen homogenen pDGL 1. Ordnung (3 Variablen)
dy
dx
b(x,y,z)
a(x,y,z)
und
dz
dx
c(x,y,z)
a(x,y,z)
(ist ein System von gDGL),
alternativ
dx
dy
dz
dy
oder
dx
dz
dy
dz
- L¨ose das System von gDGLen und erhalte
y = y(x) = F (c 1 , x) und z = z(x) = G(c 2 , x)
- L¨ose das System y(x) = F (c 1 , x) und z(x) = G(c 2 , x) nach c 1
c 1
(x, y, z) und c 2
= c 2
(x, y, z) auf (falls m¨oglich)
(x, y, z), c 2
(x, y, z)) ist f¨ur jede stetig diff’bare Fkt.
f eine L¨osung der pDGL
- f wird durch evtl. gegebene Anfangsbedingung festgelegt
6.3. Quasilineare pDGL 1. Ordnung
Geg.: a(x, y, u)ux
- b(x, y, u)uy = c(x, y, u), ges.: u = u(x, y)
L¨osen einer quasilinearen pDGL 1. Ordnung
- Betrachte lineare pDGL in drei Variablen x, y, u:
a(x, y, u)Fx
- b(x, y, u)Fy
- c(x, y, u)Fu = 0
- L¨ose lineare pDGL mit Ansatz aus 6.2 und erhalte F = F (x, y, u)
- Durch F (x, y, u) = 0 ist implizit eine L¨osung u = u(x, y) gegeben
AWP gegeben u(p(x), q(x)) = r(x), z.B. u(x, 0) = x
L¨osen einer quasilinearen pDGL 1. Ord. mit dem Charakteristikverfahren
- Ansatz: v(s) = u(x(s), y(s)) (u h¨angt nur von einer Variable s ab)
- Ableiten des Ansatzes nach s (Kettenregel):
v = ux
x + uy
y
- Vergleichen mit pDGL liefert DGL-System:
x = a(x, y, u)
y = b(x, y, u)
v = c(x, y, u)
- Setze s = 0 in Ansatz v(s): v(0) = u(x(0), y(0)) mit x = x 0
- Vergleichen mit AWP der pDGL liefert AWP f¨ur DGL-System:
x(0) = p(x 0
) y(0) = q(x 0
) v(0) = r(x 0
- L¨ose DGL-System und erhalte v(s)
- Bestimme s = f (x, y) und x 0
= g(x, y) und mit R¨ucksub. u(x, y)
- Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
7.1. L¨osungsmethode
L¨osen der pDGL mit dem Separationsansatz
- Setze u(x, y) = f (x)g(y) in die pDGL ein und erhalte zwei gDGLen f¨ur f
und g. (Faktor k nicht vergessen!)
- L¨ose die zwei gDGLen und erhalte f = f (x) und g = g(y)
- Eine L¨osung der pDGL ist u(x, y) = f (x)g(y)
- Laplace- und Poissongleichung − ∆ u = f
8.1. Laplacegleichung − ∆ u = 0
8.1.1. Allgemeine L¨osung der Laplacegleichung
u(r, φ) =
un(r, φ) = (an cos(nφ) + bn sin(nφ))r
n f¨ur n ∈ Z \ { 0 }
a + b ln(r) f¨ur n = 0
f¨ur beliebige an, bn ∈ R bzw. a, b ∈ R.
8.1.2. Dirichlet’sches RWP f¨ur einen Kreis
Geg.: − ∆ u(x, y) = 0 f¨ur x
< R
und u(x, y) = u 0
(x, y) f¨ur
x
= R
L¨osen eines Dirichlet’schen RWP f¨ur einen Kreis
- Bestimme die Koeffizienten an und bn der Fourierreihe der 2 π-periodischen
Funktion u 0 (φ) : [0, 2 π) → R
- Erhalte die L¨osung u = u(r, φ) als Reihendarstellung in Polarkoordinaten:
u(r, φ) =
a 0
2
P
k=
a k
cos(kφ) + b k
sin(kφ)
r
R
k
> R
, wird r und R vertauscht:
u(r, φ) =
a 0
2
P
k=
a k cos(kφ) + b k sin(kφ)
R
r
k
- Umformen von u(r, φ) mit x = r cos φ, y = r sin φ ergibt u(x, y)
8.1.3. Dirichlet’sches RWP f¨ur ein Quadrat
Geg.: − ∆ u(x, y) = 0 auf dem Quadrat D = [0, a]
mit definierten Randwerten
u(x, 0), u(x, a), u(0, y) und u(a, y) f¨ur x, y ∈ [0, a]
L¨osen eines Dirichlet’schen RWP mit dem Separationsansatz
- Ansatz u(x, y) = f (x)g(y) aus 7.1 liefert:
f
f
= k und
g
g
= −k
- L¨osen der gDGLen 2. Ordnung liefert:
f (x) =
c 1
e
kx
e
kx f¨ur k > 0
c 1
x f¨ur k = 0
c 1
cos
−kx + c 2
sin
−kx f¨ur k < 0
und
g(y) =
d 1 cos
ky + d 2 sin
ky f¨ur k > 0
d 1
y f¨ur k = 0
d 1 e
−ky
−ky f¨ur k < 0
- Vorgegebene Randwerte definieren die L¨osung des RWP u(x, y) = f (x)g(y)
durch die Konstanten k, c 1
, c 2
, d 1
, d 2
∈ R
- W¨armeleitungsgleichung u t = c
∆ u
u t = c
uxx f¨ur x ∈ (0, l), t ≥ 0
Geg: u(x, 0) = g(x) und u(0, t) = u(l, t) = 0 und L¨ange l und
c = const > 0
L¨osen eines Nullrandproblems f¨ur einen Stab
- Bestimme Koeffizienten bn von g(x):
bn
l
l
g(x) sin
n
π
l
x
dx f¨ur n = 1, 2 , 3 , 4 , ...
- L¨osung u(x, t) als Reihendarstellung:
u(x, t) =
X
n=
bn exp −c
nπ
l
t
sin
n
π
l
x
u t = c
uxx f¨ur x ∈ (0, l), t ≥ 0
Geg: u(x, 0) = g(x) und ux(0, t) = ux(l, t) = 0
L¨osen eines modifizierten Nullrandproblems f¨ur einen Stab
- Bestimme Koeffizienten an von g(x):
an
l
l
0
g(x) cos
n
π
l
x
dx f¨ur n = 0, 1 , 2 , 3 , ...
- L¨osung u(x, t) als Reihendarstellung:
u(x, t) =
a 0
X
n=
an exp −c
nπ
l
t
cos
n
π
l
x
- Wellengleichung u tt = c
∆ u
u tt − c
uxx = 0
Geg: l = L¨ange der Saite und u(x, 0) = g(x), u t (x, 0) = v(x), u(0, t) =
u(l, t) = 0 und c = const > 0
L¨osung eines Anfangs-Randwertproblems f¨ur eine schwingende Saite
- Bestimme Koeffizienten an von g(x) und bn von v(x):
an
l
l
0
g(x) sin
n
π
l
x
dx f¨ur n = 1, 2 , 3 , 4 , ...
bn
nπc
l
0
v(x) sin
n
π
l
x
dx f¨ur n = 1, 2 , 3 , 4 , ...
- L¨osung u(x, t) als Reihendarstellung:
u (x, t) =
X
n=
sin
nπ
l
x
an cos
c
nπ
l
t
c
nπ
l
t
Homepage: www.latex4ei.de – Fehler bitte sofort melden. von Lukas Kompatscher und Roberto Gudelj – Mail: [email protected] Stand: 23. Januar 2020 2/
