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Version August 2019
Art: Formelsammlungen
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Systematischer Fehler: Abw. einer Messung von ihrem Erwartungswert Statistischer Fehler: Entstehung durch zuf¨allige Abweichungen
Arithmetischer Mittelwert: x = (^) n^1
∑n i=
xi
Standardabweichung: s = σ =
1 n− 1
∑^ n
i=
(xi − x)^2
Standardabweichung mit TR: sRechner =
∑^ n i=
x^2 i − (^) n^1 (
∑n i=
xi)
n − 1
Normalverteilung/Gauß-Funktion: g(x) =
σ
2 π
exp(−
(x − x)^2 2 σ^2
N¨aherungsweise gilt:
Elektrische Feldkonstante ε 0 = 8. 85 · 1012 C
2 N m^2 Vakuumlichtgeschwindigkeit c 0 = 299792458 ms ≈ 3 · 108 ms
Gravitationskonstante G = 6, 67 · 10 −^11 N m
2 kg Boltzmannkonstante kB = (^) NR Av
Plank’sches Wirkungsquantum h = 6. 626 · 10 −^34 Js = 4. 136 · 10 −^15 eV s Avogadrokonstante NA = 6. 022 · 10 −^23 mol^1
Gaskonstante R = NA · kB = Cp(mol) − Cv(mol) = 8. (^314) molJ·K
x 0 π/ 6 π/ 4 π/ 3 π/ 2 π 32 π 2 π sin 0 12 √^1 2
√ 3 2 1 0 −^1 cos 1
√ 3 2 √^1 2
1 2 0 −^1 0 tan 0
√ 3 3 1
x 1 , 2 =
−b±
√ b^2 − 4 ac 2 a oder^ P1,2^ =^
−p 2 ·
p 2
(^2) − q
momentane Geschwindigkeit: v =
r mittlere Geschwindigkeit: vm = ∆ ∆rt
II.1.1 Galilei Transformation
Gilt nur f¨ur v << c x′^ = x − ut und t′^ = t mit der Geschwindigkeit u des bewegten
Systems → dxdt = dx
′ dt +^ u Transformation erleichtert Bezugssystem mit konstanter Geschwindigkeit → Berechnung im Schwerpunktsystem
II.1.2 Eindimensionale Bewegungen
Mittlere Beschleunigung: a = dvdt Gleichf¨ormige, geradlinige Bewegung: x(t) = v 0 t + c Gleichf¨ormig beschleunigte Bewegung: x(t) = 12 a 0 t^2 + v 0 t + x 0
Momentane Geschwindigkeit: v = drdt
II.1.3 Zweidimensionale Bewegungen
Unabh¨angige Bewegungen in den einzelnen Raumrichtungen Schiefer Wurf: Berechnung von z(x) durch Eliminieren von t: x(t) = v 0 xt ⇒ t = (^) vx 0 x z(x) = − 12 g( (^) vx 0 x
)^2 + vv^0 z 0 x
x = − g 2 v^2 x 0
x^2 + tanθx
II.2.1 Schiefe Ebene
Gewichtskraft: FG = mg Normalkraft: FN = mg cos α Hangabtriebskraft: FH = FA = mg sin α Reibung: K¨orper steht, falls FHaft = FHang kritischer Neigungswinkel: tanα = μh
II.2.2 Kreisbewegung
Winkel φ = sr , mit Bogenl¨ange s, Radius r Kreisfrequenz ω = dφdt = (^2) Tπ = 2πf , mit Umlaufdauer T , Frequenz f Krummlinige Bewegung: a = d dtv = at + azp, mit Tangentialbeschl. at
II.3.1 Kraft
F¨ur mt 6 = const: F = mt (^) dtd v + v (^) dtd ,t
Kr¨afte werden vektoriell addiert: Fges =
∑n i=
Fi
Gravitationskraft: FG = −G
m 1 m 2 r^212
, mit G = 6, 67 · 10 −^11 N m
2 kg
Zentripetalkraft: FZ = m v
2 r =^ mω
(^2) r
Federkraft (Hooke’sches Gesetz): FF = −kx mittlere Kraft: |< F >| =
∣ ∆ ∆pt
m(vE −vA) ∆t
Coulombkraft: F = (^4) πε^1 0
Q 1 Q 2 r^2
Reibungskr¨afte allgemein: FR = μF ,z.B. Haft-, Gleit- und Rollreibung K¨orper beginnt zu rutschen, wenn μH ≥ tan θ
Luftwiderstand: FW = 12 ρcW Av^2 , mit ρ: Luftdichte
II.3.2 Arbeit
Generell: W =
´ (^) r 2 r 1 F dr^ bzw.^ W^ =^ F s^ cos^ α Spannarbeit an einer Feder: W = 12 k(x − xa)^2
II.3.3 Energie
Energieerhaltung: Grundprinzip: Evorher = Enachher potentielle Energie: Epot = mgh kinetische Energie: Ekin = 12 mv^2
Gesamte Rotationsenergie: Erot =
i=
1 2 ∆mir
2 i⊥ω
2
II.3.4 Leistung
P = dWdt = FV = dEdt
Zentrifugalkraft Ff = −Fz , Kompensation zur Zentripetalkraft Corioliskraft Fc = mac = 2mv × w
II.4.1 St¨oße
Impuls: p = mv, F =
p
II.4.2 Inelastischer Stoß
Massen bilden gemeinsame Masse: v 1 ′ = v′ 2 = v′
II.4.3 Elastischer Stoß
Fall m 1 = m 2 : v′ 1 = v 2 , v′ 2 = v 1 Fall m 1 = m 2 , v 1 6 = 0, v 2 = 0: v′ 1 = 0, v′ 2 = v 1 Fall m 1 6 = m 2 : v1,end = (^) m^1 1 +m 2
(m 1 − m 2 )v1,anf + 2m 1 v2,anf
II.4.4 Drehungen
Drehmoment: M = r × F Drehimpuls: L = r × p Tr¨agheitsmoment: J =
∑n i=
miR^2 i =
V r
2 ⊥ρdV
Satz von Steiner: J = JS + M d^2 , Bei bel. Achse A: Summe vom JS der Rotation durch Schwerpunkt + M d^2 von Schwerpunkt um A Ekin(∆mi) = 12 ∆miv^2 i = 12 ∆mir^2 i⊥ω^2
Gesamte Rotationsenergie: Erot = lim N →∞
i
1 2 ∆mir
2 i⊥ω
1 2 ω
V r
2 ⊥dm F¨ur ein Teilchensystem: J =
i
mir^2 i⊥ ⇒ Erot = 12 Jω^2
Massenschwerpunkt Rs = (^) M^1
i
miri
II.5.1 Tr¨agheitsmomente
Drehachse ist K¨orperachse: Vollzylinder: J = 12 mgesr^2 Zylindermantel: J = mgesr^2 Hohlzylinder: J = 12 mges(r^21 + r^22 )
Drehachse durch Mittelpunkt ⊥ K¨orperachse: Zylindermantel: J = 12 mgesr^2 + 121 mgesl^2 Vollzylinder: J = 14 mgesr^2 + 121 mgesl^2 D¨unner Stab: J = 121 mgesl^2 (Drehachse durch Mittelpunkt) D¨unner Stab: J = 13 mgesl^2 (Drehachse durch ein Ende) D¨unne Kugelschale: J = 23 mgesr^2 (Drehachse durch Mittelpunkt) Massive Kugel: J = 25 mgesr^2 (Drehachse durch Mittelpunkt) Massiver Quader: J = 121 mges(a^2 + b^2 ) (Drehachse durch Oberfl¨ache)
Masse des Zylindermantel: M ≈ 2 πRhdρ Energieerhalt. rollender Zylinder: Epot = Ekin,translation + Erotation → mgh = 12 mv^2 s + 12 Jω^2 ; s = rα, v = rω
1 2 rvsinα^ =^
1 2 r^ ×^ v^ =^
1 2 m|L| ⇒^ Der Drehimpuls ist zeitlich konstant
T 12 T 22
a^31 a^32
mit T: Umlaufzeit, a: Große
Halbachse
Erzwungen: Amplitude A(ω) =
F 0 √^ m (ω 02 −ω^2 )^2 +(2γω)^2 mit Resonanzfrequenz ω 0 , Abklingkonstante γ = (^2) mb
Logarithmisches Dekrement Λ = ln xmxn = γ · T = √^2 πγ ω^20 −γ^2
(Maß
f¨ur D¨ampfungsverhalten) D¨ampfungsgrad D = (^) ωγ 0 G¨utefaktor Q eines Oszillators: Q =
ω 0 2 γ
Falls von Reibung dominiert: A = F^0 b
√ k m Uberlagerung^ ¨ von Schwingungen: x(t) = ∑ n
xn(t) = ∑ n
an cos ωnt + δn
x(t) = A cos(ω 0 t + Φ) mit Amplitude A, Kreisfrequenz ω [ rads ], Frequenz f [ (^1) s ] Schwingungsdauer T = (^1) f , Phasenkonstante φ
III.2.1 Federpendel
ω^2 = (^) EinheitsmasseR¨ucktreibende Kraft × Einheitsauslenkung = (^) mk → ω =
k m ω = 2πf → f = (^21) π
k m Energiebilanz: Eges = Epot + Ekin = 12 kx^2 + 12 mv^2
III.2.2 Mathematisches Pendel
F = −mg sin θ ≈ −mgθ Oft Kleinwinkeln¨aherung: Bis 15◦: Fehler < 0.01% x = lθ; F = − mgl x Hooke’sches Gesetz: Kraft proportional zur Auslenkung ω =
g l III.2.3 Torsionsschwingungen
Elastisches R¨uckstelldrehmoment M = −Dθ = Jα mit Torsionskonstante D und α = d
(^2) θ dt^2
θ + DJ θ = 0 ⇒ ω =
D J
III.2.4 Ged¨ampfter harmonischer Oszillator
Stoke’sche Reibungskraft: FR = −bv = −b
x Bewegungsgleichung:
x + 2γ
x + ω 02 x = 0; mit 2γ = (^) mb L¨osungsansatz mit Cosinus: x = Ae−γt^ cos(ω′t) mit ω′^ =
ω^20 − γ^2 , γ = 2 bm , ω 0 =
k m
schwache D¨ampfung: γ < ω 0 → x = Ae
− (^) tt L (^) cos(ω′t) aperiodischer Grenzfall: γ = ω 0 → ω′^ = 0 ¨uberkritische D¨ampfung: γ ω 0 → ω′^ =
ω 02 − γ^2 = img. → Das System schwingt nicht, kehrt langsam in GGP zur¨uck tL = mittlere Lebensdauer, Zeit um auf (^1) e der Amplitude zur¨uckzukehren
Allgemeine Wellengleichung: 1 c^2
∂^2 u ∂t^2
− ∆u = 0 Polarisation in Materie: P = χeε 0 E, mit χe: Elektrische Suszeptibilit¨at, Materialeigenschaft, i.A. komplex Longitudinale Welle: Auslenkung in Ausbreitungsrichtung Transversale Welle: Auslenkung normal zur Ausbreitungsrichtung
Geschwindigkeit Seilwelle: ν =
FT μ mit FT = Zugspannung, μ spezifische Masse
Masse m = μ · vt → μ = mvt
Elastizit¨atsmodul: E = F /A ∆l/l
Kompressionsmodul: K = (^) ∆−V /Vp
Ausbreitungsgeschw. νTransv. =
F μ ,^ νLongi.^ =
E ρ ,^ νl,Gas^ =
K ρ Schwingungsenergie des Teilchens: E = 12 kD^2 M
k = 4π^2 mf 2 ; E = 2π^2 mf 2 D M^2
m = ρV = ρAvt; ∆E = 2π^2 ρAv∆tf 2 D M^2
Durchschnittliche Leistung: P =
∆t
= 2π^2 ρavf 2 D^2 M
Intensit¨at: I =
= 2π^2 ρvf 2 D M^2
Intensit¨at sph¨arische Welle: I = Pˆ qπr^2 , mit^ DM^ ∝^
1 r
Schallpegel L = 10 log (^) II 0
dB mit I 0 = 10−^12 W m^2
, mit 1dB = 10Bel
Reflexion bei elektrischen Leitungen: r = Z ZLast−ZKabel Last+ZKabel
f · λ = c Vakuumlichtgeschwindigkeit c 0 = 2, 99792458 · 108 ms = √ε^1 0 μ 0 Energie Photonen: h · c, mit Plank’schem Wirkungsquantum h Brechungsindex n = cv
Dielektrizit¨atskonstante ε = n^2 Brechungsgesetz von Snellius: sinsin^ θθ^1 2
= v v^1 2
= c/n c/n^1 2
= n n^2 1 Licht bricht immer zum Medium mit dem h¨oheren Index hin Fermatsches Prinzip: Licht folgt dem Weg mit der k¨urzesten Laufzeit: dtdx = 0; Optischer Weg:
γ n Optische Wand, parallelverschiebung um ∆d :
d = t · sin(α) ·
1 − √ cos^ α n^2 −sin^2 (α)
Totalreflexion: falls θ > θg : sin(θg ) =
n 2 n 1
Brechungsindex n ist frequenzabh. n(ω) Ausbreitungsgeschw. ist frequenzabh. v(ω) heißt Dispersion Maxwell Relation: n =
εr · μr ≈
εr =
1 + χe Elektrische Suszeptibilit¨at: P = N · p
x 0 = eE^0 m(ω 02 −ω^2 ) ω < ω 0 : Auslenkung in Phase, ω > ω 0 : Auslenkung gegen Phase Fel
Dipolmoment: |p(t)| = e · x(t) =
e^2 E 0 ·sin(ωt) m(ω^20 −ω^2 )
χe(ω) = N e
2 ε 0 (ω 02 −ω^2 )
Sellmeier Gleichung: n^2 (λ) = 1 +
B 1 λ^2 λ^2 −C 1
B 2 λ^2 λ^2 −C 2
B 3 λ^2 λ^2 −C 3 mit Bi und Ci (i ∈ 1-3) Sellmeier Koeffizienten, experimentell ermittelt Anormale Dispersion: n steigt mit λ Normale Dispersion: n f¨allt mit λ
Entweder reales Bild oder virtuelles Bild (z.B. Spiegel) Strahlenkonstruktion allgemein: (^1) b = (^) f^1 − (^1) g
fokale L¨ange f = r 2 , mit Gegenstandsweite g; Bildweite b Vorzeichen korrekt w¨ahlen: +: g, b, Krummungsmittelp. vor dem Spiegel Abbildungsmaßstab V = BG = −gb
bei V negativ: Bild umgekehrt
III.5.1 Linsen
Linsengleichung: Gegenstandseite: fg = (^) BB+G , Bildseite: fb = (^) GG+B
Dicke Linsen: 2 Hauptebenen mit eigenem f, b, g, Bi-konvex: 2 fn
Reziproke Brennweite = Brechkraft → Einheit Dioptrie [D]= 1dpt = (^) m^1 g > f : Reelles Bild; g < f : Virtuelles Bild Berechnung Brennweite: (^1) f = (n − 1)( (^) r^1 1
− (^) r^1 2
mit n = Brechungsindex der Linse, r Radien
III.5.2 Auge
Weitsichtigkeit: Bild naher Gegenst¨ande hinter Netzhaut → Korrektur durch Sammellinse Kurzsichtigkeit: Bild weiter Gegenst¨ande vor Netzhaut → Korrektur durch Zerstreuungslinse Stabsichtiges Auge (Astigmatismus): abnormale Hornhautverkr¨ummung → Korrektur durch Zylinderlinsen
Sehwinkel/r¨aumliche Aufl¨osung des Auges: εmin 0 ≈ 1” ⇒ ∆xmin = S 0 · εmino ≈ 70 μm Mikroskop: VMikroskop = (l−dfe)·Ld 0 ·fe
= βObjektiv · VOkular
Vergr¨oßerung Okular: VOkular = LFed Ld = deutliche Sehweite des Menschen, ca 250mm Aufl¨osungsgrenze bei ca 1000-facher Vergr¨oßerung
III.6.1 Sch¨arfefehler
Sph¨arische Abberationen; Koma; Astigmatismus → Sinus ist nichtlinear
III.6.2 Lagefehler
Bildfeldw¨olbung; Verzeichnung → Sinus ist nichtlinear III.6.3 Farbfehler/Chromatische Abberationen
Farbl¨angsfehler; Farbquerfehler → Dispersion
WWelle = Wel + Wmagn = 12 · ε 0 · E^2 + (^21) μ 0
mit E = √μ^1 0 ε 0
· B = c · B → WWelle = ε 0 E^2 = B
2 μ 0 Permittivit¨at ε: Durchl¨assigkeit eines Materials f¨ur el. Felder magn. Permittivit¨at μ: Durchl¨assigkeit von Materie f¨ur magn. Felder ε = εr ε 0 ; μ = μr μ 0
Welleneigenschaften: Pointingvektor S = (^) μ^1 0
zeigt in Ausbreitungsrichtung, Betrag = Intensit¨at der Strahlung Intensit¨at S = Energiedichte × Ausbreitungsgeschw., [S] = W m^2 Lichtwellen sind transversale e-m-Wellen mit E ⊥ B ⊥ k, mit k ‖ Achse E = E 0 · cos(k · z − ω · t − Φ) = E 0 · cos( (^2) λπ (z − c · t) − Φ) B ist direkt mit E verkn¨upft
III.7.1 Koh¨arenz
Gleiche Frequenz und eine feste Phasendifferenz erm¨oglicht die Interferenz Die meisten Lichtquellen sind inkoh¨arent. Laser stellen eine Ausnahme dar Bei inkoh¨arentem Licht mittelt sich die Interferenz zu null.
Leistung eines Dipols (max 10 −^10 m): P = 23 · e
(^2) ·ω (^4) ·d 2 4 πε 0 ·c^3 mit ω^2 · d = a ≡ Beschleunigung bei zirkularer Frequenz ω Lebensdauer atomare Schwingung: 1ns bis 10ns Koh¨arenzl¨ange (Wegstrecke in 1ns): 30cm Fabry-Perot-Interferometer: Wellenl¨angenaufl¨osung: ∆λλ = (^) Nn
Huygens-Fresnel-Prinzip: jeder Raumpunkt ist Ausgangspunkt f¨ur eine neue Kugelwelle (Elementarwelle)
III.7.2 Beugung am Einfachspalt
Interferenz falls Spalt breiter als λ Bedingung f¨ur Minima: a·sin θ = Z · λ, mit Z ∈ 1 , 2 , 3 , ... Bedingung f¨ur Maxima: a·sin θ = (Z + 12 )·λ, mit Z ∈ − 12 , 1 , 2 , 3 , ...
III.7.3 Beugung am Doppelspalt
Gangunterschied ∆s = q · sin α Konstruktive Interferenz f¨ur Richtungen mit: ∆s = Z · λ Destruktive Interferenz f¨ur Richtungen mit: ∆s = (Z + 12 )λ
Aufl¨osungsverm¨ogen Mikroskop mit Spalt b: Ψmin = α = arcsin λb ≈ λ b (Abb´e Limit) f¨ur runde Linse mit Durchmesser D: Ψmin = D · sin α = 1, (^22) Dλ
III.8.1 R¨ontgenbeugung
Bragg-Bedingung f¨ur konstruktive Interferenz: nλ = 2d sin θ, n∈ N
III.8.2 Polarisation von Licht
E-M-Welle ist transversal, also E ⊥ k bzw B ⊥ k linear polarisiert → E-Feld steht nur in eine Richtung Die Richtung von E ist die Polarisationsrichtung und die von k,E aufgespannte Ebene die Polarisationsebene
Emmissionsakt eines einzelnen Atoms i.d.R. polarisiert, ungeregelte Uberlagerung¨ → unpolarisiert Zwei Polarisationen: S (Senkrecht) oder P (Parallel) zur Einfallsebene Einfallsebene: k und nˆ spannen Ebene auf F¨ur Interferenz gilt: Beide Quellen m¨ussen die gleiche Polarisation haben Polarisation ist linear, elliptisch und zirkular m¨oglich und auch eine Superposition mehrerer ist m¨oglich
Intensit¨at in bestimmter Polarisationsrichtung: I′^ = I · cos^2 α
Dichte ρ = mV
Normalkraft FN senkrecht zur Oberfl¨ache A erzeugt Druck p =
FN A Schweredruck: ps = ρFl · h · g Kompressibilit¨at κ = − (^1) p · ∆VV → δVV = −κ · δp Kompressionsmodul K = (^) κ^1
Schallgeschwindigkeit in Fl¨ussigkeit: v 0 =
dp dρ =
1 ρκ Gewicht pro Volumen γ = ρg, Einheit [γ] = [ N m^3
zum Beispiel: γWasser = 998 kg m^3
· 9. 807 m s^2
m^2 Auftriebskraft: FA = ρFl · g · VK mit Volumen VK VVerdr¨angt =
ρK ρF l ·^ VK^ ; Einsinken bis^ mv^ =^ mk ρk < (=) [>]ρFl: K¨orper schwimmt (schwebt) [sinkt] Oberfl¨achenspannung σ = FL = dEdA (auch γ) zum Beispiel σWasser = 0.073 Nm Kapillarspannung pkap = σ( (^) r^1 1
kreisrunde Kapillare: pkap = (^2) rσ cos(φ), mit Kontaktwinkel φ ⇔ pS = ρ · g · hkap
laminare Str¨omung: kleine Geschwindigkeiten, große innere Reibung, geringe Reibung mit W¨anden turbulente Str¨omung: große Geschwindigkeiten, geringe innere Reibung, hohe Reibung mit W¨anden Kontinuit¨atsgleichung f¨ur inkompressible Fl¨ussigkeit: A 1 · v 1 = A 2 · v 2 , mit Querschnittsfl¨ache A Volumenstrom
V = dVdt = A · v ist konstant Bernoulligleichung: p + ρ · g · h + 12 · ρ · v^2 = const., mit geod¨atischer H¨ohe h Hydrodynamisches Paradoxon: Gleichgewicht bei mg = 12 ρv^2 A
ideale Gasgleichung:
ρ 0 P 0
Luftdruck: p(h) = 1013hP a · exp − (^) hsh , mit hs = RTM g = 8428m
Kraft bei linearem Geschwindigkeitsprofil: F = η · A · vz , mit Abstand z Viskosit¨at η [P a · s] (stark Temperaturabh¨angig)
Str¨omung einer viskosen Fl¨ussigkeit durch ein Rohr: v(r) = p^14 ·−η·pl^2 · (R^2 − r^2 ), v steigt parabelf¨ormig zur Mitte hin an
Gesetz von Hagen-Poiseuille:
V = π·(p 81 ·η−·lp 2 )· R^4 (Volumenstrom f¨ur laminare Str¨omung)
Reynolds Zahl: Re = v·ρη· Lmit L: char. L¨ange/Durchm. des K¨orpers:
2 2
Beschreibung von Vielteilchensystemen durch Mittelung
W¨armemenge Q bei Erw¨armung: Q = Cp · (T 2 − T 1 ) mit Cp = W¨armekapazit¨at in (^) KJ Gaskonstante: R = Cp(mol) − Cv(mol), bzw. nR = Cp − Cp mit W¨armekapazit¨at Cp bei isobarer, Cv bei isochorer Zustands¨anderung spezifische W¨armekapazit¨at c = (^) mC = (^) ∆∆TQ ·m , mit W¨armezufuhr ∆Q, Temperaturerh¨ohung ∆T , Masse des K¨orpers m
Zustandsgleichung des idealen Gases: ρ · V = n · R · T = N · kB · T , mit n Stoffmenge in Mol, Gaskonstante R , Anzahl der Gasatome N
Kinetische Gastheorie pV = N m〈v^2 z 〉 mittlere kin. Energie der Teilchen eines idealen Gases E¯kin = 32 kB T Gesamte Translationsenergie eines idealen Gases: 32 RTM W = −
V 1 pdV^ ∆U^ =^
T 1 CdT
S(T ) = 0 (Entropie bei 0 K ist 0)
Vom System geleistete Arbeit: ∂W = −F ·ds = −p·A·ds = −p·dV Adiabatengleichung p · V κ^ = const., mit Adiabatenexponent κ = ( CpCv ) isotherme Zustands¨anderung: p · V = const. Carnotscher Kreisprozess: Idee der W¨armekraftmaschine Wirkungsgrad η = (^) Q|W^ | 12
, ηCarnot = T^2 T−T^1 2
Reversibler Prozess: z.B. Carnot- oder Stirling- Motor → Abwechselnde Kompression/Expansion eines Gases f¨uhrt zu Temperaturver¨anderungen Irreversibler Prozess: ηirreversibel < ηCarnot → Es kann nicht mehr in
W¨armestrahlung: Gesetz von Stefan und Boltzmann: Strahlungsleistung Schwarzk¨orper Ps eines schwarzen K¨orpers = PS = σ · A · T 4 Stefan-Boltzmann-Konstante: σ = 5. 670 · 10 −^8 m 2 W·K 4
effektiv abgestrahlte Leistung: ∆Ps = σ · A(T 14 − T 24 )
F¨ur nichtideale K¨orper ∆Ps = εσ · A(T 14 − T 24 )
Wien’scher Verschiebungssatz: λmax = 2897 ,T^8 μ·K
Der Photoeffekt: Metallplatte entl¨adt sich durch Beleuchtung mit kurz- welligem Licht Um ein Elektron abzul¨osen ist Austrittsarbeit WA = Eph − Ekin n¨otig
Teilchen haben Welleneigenschaften de Broglie-Wellenl¨ange p = hλ ⇒ λ = hp
Materialwellen: ℏ = 2 hπ ⇒ p = ℏ 2 π (^1) λ
aus der Wellenmechanik: 2 π (^) λ^1 = k → p = ℏk Impuls des Teilchens wird mit der Wellenzahl verkn¨upft
Ansatz: eben Welle f¨ur ein Teilchen mit Masse m 0 , das sich mit der Ge-
schwindigkeit v bewegt: E = ℏω, p = ℏk → ψ(x, t) = Cei(ωt−kx)
ψ(x, t) = Cei(^
E ℏ t−^
p h x)^ Die Phase ist das Argument des Imagin¨arteils der Exponentialfunktion! Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, bei der die zeitliche Anderung der Phase gleich 0 ist:¨ d dt (ωt^ −^ kx) = 0^ ⇒^ ω^ −^ kvph^ = 0 ⇒ vph = ωk
Phasengeschwindigkeit Vph ↔ Ausbreitungsgeschwindigkeit 12 vT y(x, t) = 2y 0 sin(kx − ωt) cos(∆kx − ∆ωt)
Ansatz: ψ(x, t)
´ k 0 + ∆ 2 k ko− ∆ 2 k
C(k)ei(ωt−kx)dk L¨osung: ψ(x, t) =
sin(u ∆ 2 k u Teil der L¨osung: u = (( dωdk )k 0 · t − x mit νgr = ( dωdk k 0
∆x · ∆k = 2π Breite der Wellenfunktion ∆x bei ∆k mit p = ℏm ∆x · ∆px ≥ ℏ Genauigkeit der Frequenzmessung h¨angt von der Lebensdauer des Zu- standes ab: ∆ω = (^1) τ
Zur Deutung von ψ(x, t): ”Wahrscheinlichkeitsdichte”|ψ(x, t)|^2 ψ(x, t) muss NORMIERT werden, da die Summe aller Wahrscheinlich- keiten zum Auftreten des Teilchens an allen Orten x und Zeiten t gleich 1 ist (100% !)
Allgemein im Raum:
Erwin Schr¨odinger (1887 - 1961)
R¨aumliche und zeitliche Entwicklung von ψ und damit der Wahrschein- lichkeit W (x, t) = |ψ(x, t)|^2 Muss DGL erster Ordnung sein (damit an t 0 durch Anfangsbedingung bestimmt), muss homogen sein, L¨osungen sollten harmonische Wellen sein, damit man sie Superpositionieren kann (z.B. f¨ur Wellenpakete)
Ansatz:ψ(x, t) = Aei(kx−ωt)
ψ(x, t) = Ae
i ℏ (pxx−Ekint)^ Ziel ist DGL f¨ur ψ
S Station¨arer Fall: E h¨angt nicht von t ab: ψ(x) = Aeikx
Ekin + Epot = E Ekin = p
2 2 m =^
ℏ^2 k^2 2 m +^ Epot^ =^ E Zweimaliges Differenzieren von ψ:
∂^2 ψ(x) ∂x^2 =^ −k
(^2) ψ(x)
Station¨are Schr¨odingergl. in einer Dim.: − ℏ
2 2 m
∂^2 ψ ∂x^2
Verallgemeinerung auf 3 Dimensionen: − ℏ
2 2 m ∆ψ^ +^ Epotψ^ =^ Eψ mit Laplaceoperator ∆ = ∂
2 ∂x^2
2 ∂y^2
2 ∂z^2 und Hamiltonoperator Hˆ = − ℏ
2 2 m ∆ +^ Epot
Zeitabh¨angigkeit : dψ( dtx,t )= − (^) ℏi Ekinψ
Von vorher: ⇒ Ekin = ∂
(^2) ψ ∂x^2
2 2 m
Zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung: iℏ ∂ψ∂t = Hψˆ Hψ^ ˆ = Eψ
F¨ur Epot = 0: Hψ¯ = iℏ ∂ψ∂t
F¨ur unendlichen Potentialtop: − ℏ
2 2 m
∂^2 ψ ∂x +^ Epotψ^ =^ Eψ Allgemeiner L¨osungsansatz: ψ = Aeikx^ + Be−ikx Mit Randbedinungen: ∂
(^2) ψ ∂x^2
definiert und ψ = 0 bei x = 0undx = a
Ergebnis: 0 = 2 Ai sin(ka), ka = nπ; n = 1 , 2 , 3 , ... und ψ = 2Ai sin( nπa x)
Wichtige Eigenschaft: Die Energien En sind diskret
Coulombsches Gesetz: Epot(r) = Q
2 4 πε 0 ·^
1 r
VI.5.1 Unendlicher Potentialtopf
∂^2 ψ ∂x^2 muss definiert sein ψ muss stetig und diff’bar sein bei x = a und x = 0 → ψ = 0 bei x = 0 und x = a
Ergebnis: 0 = 2Ai sin(ka), ka = nπ; n = 1,2,3,... ψ = 2Ai sin( nπa x)