Docsity
Docsity

Prüfungen vorbereiten
Prüfungen vorbereiten

Besser lernen dank der zahlreichen Ressourcen auf Docsity


Download-Punkte bekommen.
Download-Punkte bekommen.

Heimse Punkte ein, indem du anderen Studierenden hilfst oder erwirb Punkte mit einem Premium-Abo


Leitfäden und Tipps
Leitfäden und Tipps

Formelsammlung Physik, Formelsammlungen von Physik

Version August 2019

Art: Formelsammlungen

2019/2020

Hochgeladen am 11.05.2020

Simon_Teut
Simon_Teut 🇩🇪

4.8

(24)

48 dokumente

1 / 4

Toggle sidebar

Diese Seite wird in der Vorschau nicht angezeigt

Lass dir nichts Wichtiges entgehen!

bg1
4
ei*
* kann Spuren von Katzen enthalten
nicht für Humorallergiker geeignet
alle Angaben ohne Gewehr
Physik
I. Physikalische Gr¨
oßen und Einheiten
I.1. Messgenauigkeit und Messfehler
Systematischer Fehler: Abw. einer Messung von ihrem Erwartungswert
Statistischer Fehler: Entstehung durch zuf¨
allige Abweichungen
Arithmetischer Mittelwert: x=1
n
n
P
i=1
xi
Standardabweichung: s=σ=s1
n1
n
P
i=1
(xix)2
Standardabweichung mit TR: sRechner =v
u
u
u
t
n
P
i=1
x2
i1
n(n
P
i=1
xi)
n1
Normalverteilung/Gauß-Funktion: g(x) = 1
σ2πexp((xx)2
2σ2)
N¨
aherungsweise gilt:
68(95)[99.8]% aller Messwerte haben eine Abweichung <±1(2)[3]σ
vom Mittelwert.
I.2. Konstanten
Elektrische Feldkonstante ε0= 8.85 ·1012 C2
Nm2
Vakuumlichtgeschwindigkeit c0= 299792458 m
s3·108m
s
Gravitationskonstante G= 6,67 ·1011 Nm2
kg
Boltzmannkonstante kB=R
NAv = 1.381 ·1023
Plank’sches Wirkungsquantum h = 6.626 ·1034J s
= 4.136 ·1015eV s
Avogadrokonstante NA= 6.022 ·1023 1
mol
Gaskonstante R=NA·kB=Cp(mol) Cv(mol) = 8.314 J
mol·K
I.3. Trigonometrische Funktionen
x0π/6π/4π/3π/2π3
2π2π
sin 0 1
21
2
3
21 0 1 0
cos 1 3
21
2
1
201 0 1
tan 0 3
3130−∞ 0
I.4. Quadratische Gleichung
x1,2=b±qb24ac
2aoder P1,2 =p
2·qp
2
2q
II. Klassische Mechanik
II.1. Kinematik
momentane Geschwindigkeit: v=.
r
mittlere Geschwindigkeit: vm=r
t
II.1.1 Galilei Transformation
Gilt nur f¨
ur v << c
x0=xut und t0=tmit der Geschwindigkeit udes bewegten
Systems dx
dt =dx0
dt +u
Transformation erleichtert Bezugssystem mit konstanter Geschwindigkeit
Berechnung im Schwerpunktsystem
II.1.2 Eindimensionale Bewegungen
Mittlere Beschleunigung: a=dv
dt
Gleichf¨
ormige, geradlinige Bewegung: x(t) = v0t+c
Gleichf¨
ormig beschleunigte Bewegung: x(t) = 1
2a0t2+v0t+x0
Momentane Geschwindigkeit: v=dr
dt
II.1.3 Zweidimensionale Bewegungen
Unabh¨
angige Bewegungen in den einzelnen Raumrichtungen
Schiefer Wurf: Berechnung von z(x) durch Eliminieren von t:
x(t) = v0xtt=x
v0x
z(x) = 1
2g(x
v0x)2+v0z
v0xx=g
2v2
x0
x2+tanθx
II.2. Dynamik f¨
ur Punktmassen
II.2.1 Schiefe Ebene
Gewichtskraft: FG=mg
Normalkraft: FN=mg cos α
Hangabtriebskraft: FH=FA=mg sin α
Reibung: K¨
orper steht, falls FHaft =FHang
kritischer Neigungswinkel: tanα =µh
II.2.2 Kreisbewegung
Winkel φ=s
r, mit Bogenl¨
ange s, Radius r
Kreisfrequenz ω=
dt =2π
T= 2πf, mit Umlaufdauer T, Frequenz f
Krummlinige Bewegung: a=dv
dt =at+azp, mit Tangentialbeschl. at
II.3. Kr¨
afte, Arbeit, Energie, Leistung
II.3.1 Kraft
F¨
ur mt6=const: F=mtd
dt v+vd
dt ,t
Kr¨
afte werden vektoriell addiert: Fges =n
P
i=1
Fi
Gravitationskraft: FG=Gm1m2
r2
12
, mit G= 6,67 ·1011 Nm2
kg
Zentripetalkraft: FZ=mv2
r=2r
Federkraft (Hooke’sches Gesetz): FF=kx
mittlere Kraft: |<F>|=
p
t
=
m(vEvA)
t
Coulombkraft: F=1
4πε0
Q1Q2
r2
Reibungskr¨
afte allgemein: FR=µF,z.B. Haft-, Gleit- und Rollreibung
K¨
orper beginnt zu rutschen, wenn µHtan θ
Luftwiderstand: FW=1
2ρcWAv2, mit ρ: Luftdichte
II.3.2 Arbeit
Generell: W=´r2
r1Fdr bzw. W=Fs cos α
Spannarbeit an einer Feder: W=1
2k(xxa)2
II.3.3 Energie
Energieerhaltung: Grundprinzip: Evorher =Enachher
potentielle Energie: Epot =mgh
kinetische Energie: Ekin =1
2mv2
Gesamte Rotationsenergie: Erot =N
P
i=1
1
2mir2
iω2
II.3.4 Leistung
P=dW
dt =FV =dE
dt
II.4. Scheinkr¨
afte
Zentrifugalkraft Ff=Fz, Kompensation zur Zentripetalkraft
Corioliskraft Fc=mac= 2mv×w
II.4.1 St¨
oße
Impuls: p=mv,F=.
p
II.4.2 Inelastischer Stoß
Massen bilden gemeinsame Masse: v0
1=v0
2=v0
II.4.3 Elastischer Stoß
Fall m1=m2:v0
1=v2, v0
2=v1
Fall m1=m2, v16= 0, v2= 0:v0
1= 0, v0
2=v1
Fall m16=m2:v1,end =1
m1+m2(m1m2)v1,anf + 2m1v2,anf
II.4.4 Drehungen
Drehmoment: M=r×F
Drehimpuls: L=r×p
Tr¨
agheitsmoment: J=n
P
i=1
miR2
i=´Vr2
ρdV
Satz von Steiner: J=JS+Md2, Bei bel. Achse A: Summe vom JS
der Rotation durch Schwerpunkt + Md2von Schwerpunkt um A
Ekin(∆mi) = 1
2miv2
i=1
2mir2
iω2
Gesamte Rotationsenergie: Erot = lim
N→∞(N
P
i
1
2mir2
iω2) =
1
2ω2´Vr2
dm
F¨
ur ein Teilchensystem: J=P
i
mir2
iErot =1
22
II.5. Dynamik des starren K¨
orpers
Massenschwerpunkt Rs=1
MP
i
miri
II.5.1 Tr¨
agheitsmomente
Drehachse ist K¨
orperachse:
Vollzylinder: J=1
2mgesr2
Zylindermantel: J=mgesr2
Hohlzylinder: J=1
2mges(r2
1+r2
2)
Drehachse durch Mittelpunkt K¨
orperachse:
Zylindermantel: J=1
2mgesr2+1
12 mgesl2
Vollzylinder: J=1
4mgesr2+1
12 mgesl2
D¨
unner Stab: J=1
12 mgesl2(Drehachse durch Mittelpunkt)
D¨
unner Stab: J=1
3mgesl2(Drehachse durch ein Ende)
D¨
unne Kugelschale: J=2
3mgesr2(Drehachse durch Mittelpunkt)
Massive Kugel: J=2
5mgesr2(Drehachse durch Mittelpunkt)
Massiver Quader: J=1
12 mges(a2+b2)(Drehachse durch Oberfl¨
ache)
Masse des Zylindermantel: M2πRhdρ
Energieerhalt. rollender Zylinder: Epot =Ekin,translation +Erotation
mgh =1
2mv2
s+1
22;s=rα, v =
II.6. Planetenbewegung
1. Keplersches Gesetz: Planetenbahnen sind Ellipsen um Stern in einem
der beiden Brennpunkte
2. Keplersches Gesetz: In gleicher Zeit wird die gleiche Fl¨
ache an einer
Bahn aufgespannt
dA
dt =1
2rvsinα =1
2r×v=1
2m|L| Der Drehimpuls ist
zeitlich konstant
3. Keplersches Gesetz: T2
1
T2
2
=a3
1
a3
2
mit T: Umlaufzeit, a: Große
Halbachse
III. Wellenlehre und Optik
III.1. Schwingungen
Erzwungen: Amplitude A(ω) =
F0
m
q(ω2
0ω2)2+(2γω)2
mit Resonanzfrequenz ω0, Abklingkonstante γ=2b
m
Logarithmisches Dekrement Λ = ln xm
xn=γ·T=2πγ
qω2
0γ2(Maß
f¨
ur D¨
ampfungsverhalten)
D¨
ampfungsgrad D=γ
ω0
G¨
utefaktor Q eines Oszillators: Q=ω0
2γ
Falls von Reibung dominiert: A=F0
bqk
m
¨
Uberlagerung von Schwingungen: x(t) = P
nxn(t) =
P
nancos ωnt+δn
III.2. Harmonische Schwingungen
x(t) = Acos(ω0t+ Φ)
mit Amplitude A, Kreisfrequenz ω[rad
s], Frequenz f [ 1
s]
Schwingungsdauer T = 1
f, Phasenkonstante φ
III.2.1 Federpendel
ω2=R¨
ucktreibende Kraft
Einheitsmasse ×Einheitsauslenkung =k
mω=qk
m
ω= 2πf f=1
2πqk
m
Energiebilanz: Eges =Epot +Ekin =1
2kx2+1
2mv2
III.2.2 Mathematisches Pendel
F=mg sin θ mgθ
Oft Kleinwinkeln¨
aherung: Bis 15: Fehler <0.01%
x=;F=mg
lx
Hooke’sches Gesetz: Kraft proportional zur Auslenkung
ω=qg
l
III.2.3 Torsionsschwingungen
Elastisches R¨
uckstelldrehmoment M= =
mit Torsionskonstante D und α=d2θ
dt2
..
θ+D
Jθ= 0 ω=qD
J
III.2.4 Ged¨
ampfter harmonischer Oszillator
Stoke’sche Reibungskraft: FR=bv =b.
x
Bewegungsgleichung: ..
x+ 2γ.
x+ω2
0x= 0; mit 2γ=b
m
L¨
osungsansatz mit Cosinus: x=Aeγt cos(ω0t)
mit ω0=qω2
0γ2, γ =b
2m,ω0=qk
m
schwache D¨
ampfung: γ < ω0x=Aet
tLcos(ω0t)
aperiodischer Grenzfall: γ=ω0ω0= 0
¨
uberkritische D¨
ampfung: γω0ω0=qω2
0γ2= img.
Das System schwingt nicht, kehrt langsam in GGP zur¨
uck
tL= mittlere Lebensdauer, Zeit um auf 1
eder Amplitude zur¨
uckzukehren
III.3. Wellen
Allgemeine Wellengleichung: 1
c22u
∂t2u= 0
Polarisation in Materie: P=χeε0E, mit χe: Elektrische Suszeptibilit¨
at,
Materialeigenschaft, i.A. komplex
Longitudinale Welle: Auslenkung in Ausbreitungsrichtung
Transversale Welle: Auslenkung normal zur Ausbreitungsrichtung
Geschwindigkeit Seilwelle: ν=rFT
µ
mit FT= Zugspannung, µspezifische Masse
Homepage: www.latex4ei.de Fehler bitte sofort melden. von LaTeX4EI - Mail: [email protected] Stand: 6. August 2019 um 16:34 Uhr 1
pf3
pf4

Unvollständige Textvorschau

Nur auf Docsity: Lade Formelsammlung Physik und mehr Formelsammlungen als PDF für Physik herunter!

ei

  • kann Spuren von Katzen enthaltennicht für Humorallergiker geeignetalle Angaben ohne Gewehr

Physik

I. Physikalische Gr¨oßen und Einheiten

I.1. Messgenauigkeit und Messfehler

Systematischer Fehler: Abw. einer Messung von ihrem Erwartungswert Statistischer Fehler: Entstehung durch zuf¨allige Abweichungen

Arithmetischer Mittelwert: x = (^) n^1

∑n i=

xi

Standardabweichung: s = σ =

1 n− 1

∑^ n

i=

(xi − x)^2

Standardabweichung mit TR: sRechner =

∑^ n i=

x^2 i − (^) n^1 (

∑n i=

xi)

n − 1

Normalverteilung/Gauß-Funktion: g(x) =

σ

2 π

exp(−

(x − x)^2 2 σ^2

N¨aherungsweise gilt:

  • 68(95)[99.8]% aller Messwerte haben eine Abweichung < ±1(2)[3]σ vom Mittelwert.

I.2. Konstanten

Elektrische Feldkonstante ε 0 = 8. 85 · 1012 C

2 N m^2 Vakuumlichtgeschwindigkeit c 0 = 299792458 ms ≈ 3 · 108 ms

Gravitationskonstante G = 6, 67 · 10 −^11 N m

2 kg Boltzmannkonstante kB = (^) NR Av

= 1. 381 · 10 −^23

Plank’sches Wirkungsquantum h = 6. 626 · 10 −^34 Js = 4. 136 · 10 −^15 eV s Avogadrokonstante NA = 6. 022 · 10 −^23 mol^1

Gaskonstante R = NA · kB = Cp(mol) − Cv(mol) = 8. (^314) molJ·K

I.3. Trigonometrische Funktionen

x 0 π/ 6 π/ 4 π/ 3 π/ 2 π 32 π 2 π sin 0 12 √^1 2

√ 3 2 1 0 −^1 cos 1

√ 3 2 √^1 2

1 2 0 −^1 0 tan 0

√ 3 3 1

I.4. Quadratische Gleichung

x 1 , 2 =

−b±

√ b^2 − 4 ac 2 a oder^ P1,2^ =^

−p 2 ·

p 2

(^2) − q

II. Klassische Mechanik

II.1. Kinematik

momentane Geschwindigkeit: v =

r mittlere Geschwindigkeit: vm = ∆ ∆rt

II.1.1 Galilei Transformation

Gilt nur f¨ur v << c x′^ = x − ut und t′^ = t mit der Geschwindigkeit u des bewegten

Systems → dxdt = dx

′ dt +^ u Transformation erleichtert Bezugssystem mit konstanter Geschwindigkeit → Berechnung im Schwerpunktsystem

II.1.2 Eindimensionale Bewegungen

Mittlere Beschleunigung: a = dvdt Gleichf¨ormige, geradlinige Bewegung: x(t) = v 0 t + c Gleichf¨ormig beschleunigte Bewegung: x(t) = 12 a 0 t^2 + v 0 t + x 0

Momentane Geschwindigkeit: v = drdt

II.1.3 Zweidimensionale Bewegungen

Unabh¨angige Bewegungen in den einzelnen Raumrichtungen Schiefer Wurf: Berechnung von z(x) durch Eliminieren von t: x(t) = v 0 xt ⇒ t = (^) vx 0 x z(x) = − 12 g( (^) vx 0 x

)^2 + vv^0 z 0 x

x = − g 2 v^2 x 0

x^2 + tanθx

II.2. Dynamik f¨ur Punktmassen

II.2.1 Schiefe Ebene

Gewichtskraft: FG = mg Normalkraft: FN = mg cos α Hangabtriebskraft: FH = FA = mg sin α Reibung: K¨orper steht, falls FHaft = FHang kritischer Neigungswinkel: tanα = μh

II.2.2 Kreisbewegung

Winkel φ = sr , mit Bogenl¨ange s, Radius r Kreisfrequenz ω = dφdt = (^2) Tπ = 2πf , mit Umlaufdauer T , Frequenz f Krummlinige Bewegung: a = d dtv = at + azp, mit Tangentialbeschl. at

II.3. Kr¨afte, Arbeit, Energie, Leistung

II.3.1 Kraft

F¨ur mt 6 = const: F = mt (^) dtd v + v (^) dtd ,t

Kr¨afte werden vektoriell addiert: Fges =

∑n i=

Fi

Gravitationskraft: FG = −G

m 1 m 2 r^212

, mit G = 6, 67 · 10 −^11 N m

2 kg

Zentripetalkraft: FZ = m v

2 r =^ mω

(^2) r

Federkraft (Hooke’sches Gesetz): FF = −kx mittlere Kraft: |< F >| =

∣ ∆ ∆pt

m(vE −vA) ∆t

Coulombkraft: F = (^4) πε^1 0

Q 1 Q 2 r^2

Reibungskr¨afte allgemein: FR = μF ,z.B. Haft-, Gleit- und Rollreibung K¨orper beginnt zu rutschen, wenn μH ≥ tan θ

Luftwiderstand: FW = 12 ρcW Av^2 , mit ρ: Luftdichte

II.3.2 Arbeit

Generell: W =

´ (^) r 2 r 1 F dr^ bzw.^ W^ =^ F s^ cos^ α Spannarbeit an einer Feder: W = 12 k(x − xa)^2

II.3.3 Energie

Energieerhaltung: Grundprinzip: Evorher = Enachher potentielle Energie: Epot = mgh kinetische Energie: Ekin = 12 mv^2

Gesamte Rotationsenergie: Erot =

N∑

i=

1 2 ∆mir

2 i⊥ω

2

II.3.4 Leistung

P = dWdt = FV = dEdt

II.4. Scheinkr¨afte

Zentrifugalkraft Ff = −Fz , Kompensation zur Zentripetalkraft Corioliskraft Fc = mac = 2mv × w

II.4.1 St¨oße

Impuls: p = mv, F =

p

II.4.2 Inelastischer Stoß

Massen bilden gemeinsame Masse: v 1 ′ = v′ 2 = v′

II.4.3 Elastischer Stoß

Fall m 1 = m 2 : v′ 1 = v 2 , v′ 2 = v 1 Fall m 1 = m 2 , v 1 6 = 0, v 2 = 0: v′ 1 = 0, v′ 2 = v 1 Fall m 1 6 = m 2 : v1,end = (^) m^1 1 +m 2

(m 1 − m 2 )v1,anf + 2m 1 v2,anf

II.4.4 Drehungen

Drehmoment: M = r × F Drehimpuls: L = r × p Tr¨agheitsmoment: J =

∑n i=

miR^2 i =

V r

2 ⊥ρdV

Satz von Steiner: J = JS + M d^2 , Bei bel. Achse A: Summe vom JS der Rotation durch Schwerpunkt + M d^2 von Schwerpunkt um A Ekin(∆mi) = 12 ∆miv^2 i = 12 ∆mir^2 i⊥ω^2

Gesamte Rotationsenergie: Erot = lim N →∞

∑N

i

1 2 ∆mir

2 i⊥ω

1 2 ω

V r

2 ⊥dm F¨ur ein Teilchensystem: J =

i

mir^2 i⊥ ⇒ Erot = 12 Jω^2

II.5. Dynamik des starren K¨orpers

Massenschwerpunkt Rs = (^) M^1

i

miri

II.5.1 Tr¨agheitsmomente

Drehachse ist K¨orperachse: Vollzylinder: J = 12 mgesr^2 Zylindermantel: J = mgesr^2 Hohlzylinder: J = 12 mges(r^21 + r^22 )

Drehachse durch Mittelpunkt ⊥ K¨orperachse: Zylindermantel: J = 12 mgesr^2 + 121 mgesl^2 Vollzylinder: J = 14 mgesr^2 + 121 mgesl^2 D¨unner Stab: J = 121 mgesl^2 (Drehachse durch Mittelpunkt) D¨unner Stab: J = 13 mgesl^2 (Drehachse durch ein Ende) D¨unne Kugelschale: J = 23 mgesr^2 (Drehachse durch Mittelpunkt) Massive Kugel: J = 25 mgesr^2 (Drehachse durch Mittelpunkt) Massiver Quader: J = 121 mges(a^2 + b^2 ) (Drehachse durch Oberfl¨ache)

Masse des Zylindermantel: M ≈ 2 πRhdρ Energieerhalt. rollender Zylinder: Epot = Ekin,translation + Erotation → mgh = 12 mv^2 s + 12 Jω^2 ; s = rα, v = rω

II.6. Planetenbewegung

  1. Keplersches Gesetz: Planetenbahnen sind Ellipsen um Stern in einem der beiden Brennpunkte
  2. Keplersches Gesetz: In gleicher Zeit wird die gleiche Fl¨ache an einer Bahn aufgespannt dA dt =^

1 2 rvsinα^ =^

1 2 r^ ×^ v^ =^

1 2 m|L| ⇒^ Der Drehimpuls ist zeitlich konstant

  1. Keplersches Gesetz:

T 12 T 22

a^31 a^32

mit T: Umlaufzeit, a: Große

Halbachse

III. Wellenlehre und Optik

III.1. Schwingungen

Erzwungen: Amplitude A(ω) =

F 0 √^ m (ω 02 −ω^2 )^2 +(2γω)^2 mit Resonanzfrequenz ω 0 , Abklingkonstante γ = (^2) mb

Logarithmisches Dekrement Λ = ln xmxn = γ · T = √^2 πγ ω^20 −γ^2

(Maß

f¨ur D¨ampfungsverhalten) D¨ampfungsgrad D = (^) ωγ 0 G¨utefaktor Q eines Oszillators: Q =

ω 0 2 γ

Falls von Reibung dominiert: A = F^0 b

√ k m Uberlagerung^ ¨ von Schwingungen: x(t) = ∑ n

xn(t) = ∑ n

an cos ωnt + δn

III.2. Harmonische Schwingungen

x(t) = A cos(ω 0 t + Φ) mit Amplitude A, Kreisfrequenz ω [ rads ], Frequenz f [ (^1) s ] Schwingungsdauer T = (^1) f , Phasenkonstante φ

III.2.1 Federpendel

ω^2 = (^) EinheitsmasseR¨ucktreibende Kraft × Einheitsauslenkung = (^) mk → ω =

k m ω = 2πf → f = (^21) π

k m Energiebilanz: Eges = Epot + Ekin = 12 kx^2 + 12 mv^2

III.2.2 Mathematisches Pendel

F = −mg sin θ ≈ −mgθ Oft Kleinwinkeln¨aherung: Bis 15◦: Fehler < 0.01% x = lθ; F = − mgl x Hooke’sches Gesetz: Kraft proportional zur Auslenkung ω =

g l III.2.3 Torsionsschwingungen

Elastisches R¨uckstelldrehmoment M = −Dθ = Jα mit Torsionskonstante D und α = d

(^2) θ dt^2

θ + DJ θ = 0 ⇒ ω =

D J

III.2.4 Ged¨ampfter harmonischer Oszillator

Stoke’sche Reibungskraft: FR = −bv = −b

x Bewegungsgleichung:

x + 2γ

x + ω 02 x = 0; mit 2γ = (^) mb L¨osungsansatz mit Cosinus: x = Ae−γt^ cos(ω′t) mit ω′^ =

ω^20 − γ^2 , γ = 2 bm , ω 0 =

k m

schwache D¨ampfung: γ < ω 0 → x = Ae

− (^) tt L (^) cos(ω′t) aperiodischer Grenzfall: γ = ω 0 → ω′^ = 0 ¨uberkritische D¨ampfung: γ  ω 0 → ω′^ =

ω 02 − γ^2 = img. → Das System schwingt nicht, kehrt langsam in GGP zur¨uck tL = mittlere Lebensdauer, Zeit um auf (^1) e der Amplitude zur¨uckzukehren

III.3. Wellen

Allgemeine Wellengleichung: 1 c^2

∂^2 u ∂t^2

− ∆u = 0 Polarisation in Materie: P = χeε 0 E, mit χe: Elektrische Suszeptibilit¨at, Materialeigenschaft, i.A. komplex Longitudinale Welle: Auslenkung in Ausbreitungsrichtung Transversale Welle: Auslenkung normal zur Ausbreitungsrichtung

Geschwindigkeit Seilwelle: ν =

FT μ mit FT = Zugspannung, μ spezifische Masse

Masse m = μ · vt → μ = mvt

Elastizit¨atsmodul: E = F /A ∆l/l

Kompressionsmodul: K = (^) ∆−V /Vp

Ausbreitungsgeschw. νTransv. =

F μ ,^ νLongi.^ =

E ρ ,^ νl,Gas^ =

K ρ Schwingungsenergie des Teilchens: E = 12 kD^2 M

k = 4π^2 mf 2 ; E = 2π^2 mf 2 D M^2

m = ρV = ρAvt; ∆E = 2π^2 ρAv∆tf 2 D M^2

Durchschnittliche Leistung: P =

∆E

∆t

= 2π^2 ρavf 2 D^2 M

Intensit¨at: I =

P
A

= 2π^2 ρvf 2 D M^2

Intensit¨at sph¨arische Welle: I = Pˆ qπr^2 , mit^ DM^ ∝^

1 r

Schallpegel L = 10 log (^) II 0

dB mit I 0 = 10−^12 W m^2

, mit 1dB = 10Bel

Reflexion bei elektrischen Leitungen: r = Z ZLast−ZKabel Last+ZKabel

III.4. Geometrische Optik

f · λ = c Vakuumlichtgeschwindigkeit c 0 = 2, 99792458 · 108 ms = √ε^1 0 μ 0 Energie Photonen: h · c, mit Plank’schem Wirkungsquantum h Brechungsindex n = cv

Dielektrizit¨atskonstante ε = n^2 Brechungsgesetz von Snellius: sinsin^ θθ^1 2

= v v^1 2

= c/n c/n^1 2

= n n^2 1 Licht bricht immer zum Medium mit dem h¨oheren Index hin Fermatsches Prinzip: Licht folgt dem Weg mit der k¨urzesten Laufzeit: dtdx = 0; Optischer Weg:

γ n Optische Wand, parallelverschiebung um ∆d :

d = t · sin(α) ·

[

1 − √ cos^ α n^2 −sin^2 (α)

]

Totalreflexion: falls θ > θg : sin(θg ) =

n 2 n 1

Brechungsindex n ist frequenzabh. n(ω) Ausbreitungsgeschw. ist frequenzabh. v(ω) heißt Dispersion Maxwell Relation: n =

εr · μr ≈

εr =

1 + χe Elektrische Suszeptibilit¨at: P = N · p

x 0 = eE^0 m(ω 02 −ω^2 ) ω < ω 0 : Auslenkung in Phase, ω > ω 0 : Auslenkung gegen Phase Fel

Dipolmoment: |p(t)| = e · x(t) =

e^2 E 0 ·sin(ωt) m(ω^20 −ω^2 )

χe(ω) = N e

2 ε 0 (ω 02 −ω^2 )

Sellmeier Gleichung: n^2 (λ) = 1 +

B 1 λ^2 λ^2 −C 1

B 2 λ^2 λ^2 −C 2

B 3 λ^2 λ^2 −C 3 mit Bi und Ci (i ∈ 1-3) Sellmeier Koeffizienten, experimentell ermittelt Anormale Dispersion: n steigt mit λ Normale Dispersion: n f¨allt mit λ

III.5. Abbildung

Entweder reales Bild oder virtuelles Bild (z.B. Spiegel) Strahlenkonstruktion allgemein: (^1) b = (^) f^1 − (^1) g

fokale L¨ange f = r 2 , mit Gegenstandsweite g; Bildweite b Vorzeichen korrekt w¨ahlen: +: g, b, Krummungsmittelp. vor dem Spiegel Abbildungsmaßstab V = BG = −gb

bei V negativ: Bild umgekehrt

III.5.1 Linsen

Linsengleichung: Gegenstandseite: fg = (^) BB+G , Bildseite: fb = (^) GG+B

Dicke Linsen: 2 Hauptebenen mit eigenem f, b, g, Bi-konvex: 2 fn

Reziproke Brennweite = Brechkraft → Einheit Dioptrie [D]= 1dpt = (^) m^1 g > f : Reelles Bild; g < f : Virtuelles Bild Berechnung Brennweite: (^1) f = (n − 1)( (^) r^1 1

− (^) r^1 2

mit n = Brechungsindex der Linse, r Radien

III.5.2 Auge

Weitsichtigkeit: Bild naher Gegenst¨ande hinter Netzhaut → Korrektur durch Sammellinse Kurzsichtigkeit: Bild weiter Gegenst¨ande vor Netzhaut → Korrektur durch Zerstreuungslinse Stabsichtiges Auge (Astigmatismus): abnormale Hornhautverkr¨ummung → Korrektur durch Zylinderlinsen

Sehwinkel/r¨aumliche Aufl¨osung des Auges: εmin 0 ≈ 1” ⇒ ∆xmin = S 0 · εmino ≈ 70 μm Mikroskop: VMikroskop = (l−dfe)·Ld 0 ·fe

= βObjektiv · VOkular

Vergr¨oßerung Okular: VOkular = LFed Ld = deutliche Sehweite des Menschen, ca 250mm Aufl¨osungsgrenze bei ca 1000-facher Vergr¨oßerung

III.6. Abbildungsfehler (Abberationen)

III.6.1 Sch¨arfefehler

Sph¨arische Abberationen; Koma; Astigmatismus → Sinus ist nichtlinear

III.6.2 Lagefehler

Bildfeldw¨olbung; Verzeichnung → Sinus ist nichtlinear III.6.3 Farbfehler/Chromatische Abberationen

Farbl¨angsfehler; Farbquerfehler → Dispersion

III.7. Welleneigenschaft des Lichts

WWelle = Wel + Wmagn = 12 · ε 0 · E^2 + (^21) μ 0

· B^2

mit E = √μ^1 0 ε 0

· B = c · B → WWelle = ε 0 E^2 = B

2 μ 0 Permittivit¨at ε: Durchl¨assigkeit eines Materials f¨ur el. Felder magn. Permittivit¨at μ: Durchl¨assigkeit von Materie f¨ur magn. Felder ε = εr ε 0 ; μ = μr μ 0

Welleneigenschaften: Pointingvektor S = (^) μ^1 0

· E × B = E × H

zeigt in Ausbreitungsrichtung, Betrag = Intensit¨at der Strahlung Intensit¨at S = Energiedichte × Ausbreitungsgeschw., [S] = W m^2 Lichtwellen sind transversale e-m-Wellen mit E ⊥ B ⊥ k, mit k ‖ Achse E = E 0 · cos(k · z − ω · t − Φ) = E 0 · cos( (^2) λπ (z − c · t) − Φ) B ist direkt mit E verkn¨upft

III.7.1 Koh¨arenz

Gleiche Frequenz und eine feste Phasendifferenz erm¨oglicht die Interferenz Die meisten Lichtquellen sind inkoh¨arent. Laser stellen eine Ausnahme dar Bei inkoh¨arentem Licht mittelt sich die Interferenz zu null.

Leistung eines Dipols (max 10 −^10 m): P = 23 · e

(^2) ·ω (^4) ·d 2 4 πε 0 ·c^3 mit ω^2 · d = a ≡ Beschleunigung bei zirkularer Frequenz ω Lebensdauer atomare Schwingung: 1ns bis 10ns Koh¨arenzl¨ange (Wegstrecke in 1ns): 30cm Fabry-Perot-Interferometer: Wellenl¨angenaufl¨osung: ∆λλ = (^) Nn

Huygens-Fresnel-Prinzip: jeder Raumpunkt ist Ausgangspunkt f¨ur eine neue Kugelwelle (Elementarwelle)

III.7.2 Beugung am Einfachspalt

Interferenz falls Spalt breiter als λ Bedingung f¨ur Minima: a·sin θ = Z · λ, mit Z ∈ 1 , 2 , 3 , ... Bedingung f¨ur Maxima: a·sin θ = (Z + 12 )·λ, mit Z ∈ − 12 , 1 , 2 , 3 , ...

III.7.3 Beugung am Doppelspalt

Gangunterschied ∆s = q · sin α Konstruktive Interferenz f¨ur Richtungen mit: ∆s = Z · λ Destruktive Interferenz f¨ur Richtungen mit: ∆s = (Z + 12 )λ

III.8. Mikroskop

Aufl¨osungsverm¨ogen Mikroskop mit Spalt b: Ψmin = α = arcsin λb ≈ λ b (Abb´e Limit) f¨ur runde Linse mit Durchmesser D: Ψmin = D · sin α = 1, (^22) Dλ

III.8.1 R¨ontgenbeugung

Bragg-Bedingung f¨ur konstruktive Interferenz: nλ = 2d sin θ, n∈ N

III.8.2 Polarisation von Licht

E-M-Welle ist transversal, also E ⊥ k bzw B ⊥ k linear polarisiert → E-Feld steht nur in eine Richtung Die Richtung von E ist die Polarisationsrichtung und die von k,E aufgespannte Ebene die Polarisationsebene

Emmissionsakt eines einzelnen Atoms i.d.R. polarisiert, ungeregelte Uberlagerung¨ → unpolarisiert Zwei Polarisationen: S (Senkrecht) oder P (Parallel) zur Einfallsebene Einfallsebene: k und nˆ spannen Ebene auf F¨ur Interferenz gilt: Beide Quellen m¨ussen die gleiche Polarisation haben Polarisation ist linear, elliptisch und zirkular m¨oglich und auch eine Superposition mehrerer ist m¨oglich

Intensit¨at in bestimmter Polarisationsrichtung: I′^ = I · cos^2 α

IV. Hydromechanik

IV.1. Fl¨ussigkeiten und Gase

Dichte ρ = mV

Normalkraft FN senkrecht zur Oberfl¨ache A erzeugt Druck p =

FN A Schweredruck: ps = ρFl · h · g Kompressibilit¨at κ = − (^1) p · ∆VV → δVV = −κ · δp Kompressionsmodul K = (^) κ^1

Schallgeschwindigkeit in Fl¨ussigkeit: v 0 =

dp dρ =

1 ρκ Gewicht pro Volumen γ = ρg, Einheit [γ] = [ N m^3

]

zum Beispiel: γWasser = 998 kg m^3

· 9. 807 m s^2

= 9790 N

m^2 Auftriebskraft: FA = ρFl · g · VK mit Volumen VK VVerdr¨angt =

ρK ρF l ·^ VK^ ; Einsinken bis^ mv^ =^ mk ρk < (=) [>]ρFl: K¨orper schwimmt (schwebt) [sinkt] Oberfl¨achenspannung σ = FL = dEdA (auch γ) zum Beispiel σWasser = 0.073 Nm Kapillarspannung pkap = σ( (^) r^1 1

  • (^) r^1 2

kreisrunde Kapillare: pkap = (^2) rσ cos(φ), mit Kontaktwinkel φ ⇔ pS = ρ · g · hkap

IV.2. Str¨omende Fl¨ussigkeiten

laminare Str¨omung: kleine Geschwindigkeiten, große innere Reibung, geringe Reibung mit W¨anden turbulente Str¨omung: große Geschwindigkeiten, geringe innere Reibung, hohe Reibung mit W¨anden Kontinuit¨atsgleichung f¨ur inkompressible Fl¨ussigkeit: A 1 · v 1 = A 2 · v 2 , mit Querschnittsfl¨ache A Volumenstrom

V = dVdt = A · v ist konstant Bernoulligleichung: p + ρ · g · h + 12 · ρ · v^2 = const., mit geod¨atischer H¨ohe h Hydrodynamisches Paradoxon: Gleichgewicht bei mg = 12 ρv^2 A

ideale Gasgleichung:

ρ 0 P 0

M
RT

Luftdruck: p(h) = 1013hP a · exp − (^) hsh , mit hs = RTM g = 8428m

Kraft bei linearem Geschwindigkeitsprofil: F = η · A · vz , mit Abstand z Viskosit¨at η [P a · s] (stark Temperaturabh¨angig)

Str¨omung einer viskosen Fl¨ussigkeit durch ein Rohr: v(r) = p^14 ·−η·pl^2 · (R^2 − r^2 ), v steigt parabelf¨ormig zur Mitte hin an

Gesetz von Hagen-Poiseuille:

V = π·(p 81 ·η−·lp 2 )· R^4 (Volumenstrom f¨ur laminare Str¨omung)

Reynolds Zahl: Re = v·ρη· Lmit L: char. L¨ange/Durchm. des K¨orpers:

  1. f¨ur Re >> 1 : Newtonsches Reibungsgesetz F = cW · A · ρ·v

2 2

  1. f¨ur Re < 1 : Stokessches Reibungsgesetz F = b · v

Rein laminare Str¨V. Thermodynamikomung bei Re ≤ 0. 1

Beschreibung von Vielteilchensystemen durch Mittelung

W¨armemenge Q bei Erw¨armung: Q = Cp · (T 2 − T 1 ) mit Cp = W¨armekapazit¨at in (^) KJ Gaskonstante: R = Cp(mol) − Cv(mol), bzw. nR = Cp − Cp mit W¨armekapazit¨at Cp bei isobarer, Cv bei isochorer Zustands¨anderung spezifische W¨armekapazit¨at c = (^) mC = (^) ∆∆TQ ·m , mit W¨armezufuhr ∆Q, Temperaturerh¨ohung ∆T , Masse des K¨orpers m

Zustandsgleichung des idealen Gases: ρ · V = n · R · T = N · kB · T , mit n Stoffmenge in Mol, Gaskonstante R , Anzahl der Gasatome N

Kinetische Gastheorie pV = N m〈v^2 z 〉 mittlere kin. Energie der Teilchen eines idealen Gases E¯kin = 32 kB T Gesamte Translationsenergie eines idealen Gases: 32 RTM W = −

´ V 2

V 1 pdV^ ∆U^ =^

´ T 2

T 1 CdT

V.1. Haupts¨atze der Thermodynamik

  1. Zwei K¨orper im thermischen Gleichgewicht zu einem dritten → Alle stehen untereinander im Gleichgewicht
  2. ∆U = ∆Q + ∆W → Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art - Maschine mit >100% Wirkungsgrad Verschiedene M¨oglichkeiten f¨ur Zustands¨anderung: a) Isobarer Prozess, p = const. → im idealen Gas ist Cp konstant ⇒ Q 12 = Cp∆T b) Isochorer Prozess: V = const. → im idealen Gas ist Cv konstant ⇒ Q 12 = ∆U c) Isothermer Prozess: T = const. ⇒ W 12 = −Q 12 = nRT ln V V^1 2 Freiwerdende W¨arme: Q 12 = −W 12 d) Adiabatischer Prozess: ∆Q = 0 In differentieller Schreibweise: ∂U = ∂W + ∂Q
  3. Thermische Energie ist nicht in beliebigem Maße in andere Energie- arten umwandelbar. η < 1
  4. Nernst’sches Theorem: lim T → 0

S(T ) = 0 (Entropie bei 0 K ist 0)

V.2. Zustands¨anderungen, Thermodynamische Systeme

Vom System geleistete Arbeit: ∂W = −F ·ds = −p·A·ds = −p·dV Adiabatengleichung p · V κ^ = const., mit Adiabatenexponent κ = ( CpCv ) isotherme Zustands¨anderung: p · V = const. Carnotscher Kreisprozess: Idee der W¨armekraftmaschine Wirkungsgrad η = (^) Q|W^ | 12

, ηCarnot = T^2 T−T^1 2

V.3. Reversible und irreversible Prozesse

Reversibler Prozess: z.B. Carnot- oder Stirling- Motor → Abwechselnde Kompression/Expansion eines Gases f¨uhrt zu Temperaturver¨anderungen Irreversibler Prozess: ηirreversibel < ηCarnot → Es kann nicht mehr in

VI. Quantenmechanik

W¨armestrahlung: Gesetz von Stefan und Boltzmann: Strahlungsleistung Schwarzk¨orper Ps eines schwarzen K¨orpers = PS = σ · A · T 4 Stefan-Boltzmann-Konstante: σ = 5. 670 · 10 −^8 m 2 W·K 4

effektiv abgestrahlte Leistung: ∆Ps = σ · A(T 14 − T 24 )

F¨ur nichtideale K¨orper ∆Ps = εσ · A(T 14 − T 24 )

Wien’scher Verschiebungssatz: λmax = 2897 ,T^8 μ·K

VI.1. Welle-Teilchen-Dualismus

Der Photoeffekt: Metallplatte entl¨adt sich durch Beleuchtung mit kurz- welligem Licht Um ein Elektron abzul¨osen ist Austrittsarbeit WA = Eph − Ekin n¨otig

Teilchen haben Welleneigenschaften de Broglie-Wellenl¨ange p = hλ ⇒ λ = hp

Materialwellen: ℏ = 2 hπ ⇒ p = ℏ 2 π (^1) λ

aus der Wellenmechanik: 2 π (^) λ^1 = k → p = ℏk Impuls des Teilchens wird mit der Wellenzahl verkn¨upft

VI.2. Wellenfunktion

Ansatz: eben Welle f¨ur ein Teilchen mit Masse m 0 , das sich mit der Ge-

schwindigkeit v bewegt: E = ℏω, p = ℏk → ψ(x, t) = Cei(ωt−kx)

ψ(x, t) = Cei(^

E ℏ t−^

p h x)^ Die Phase ist das Argument des Imagin¨arteils der Exponentialfunktion! Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, bei der die zeitliche Anderung der Phase gleich 0 ist:¨ d dt (ωt^ −^ kx) = 0^ ⇒^ ω^ −^ kvph^ = 0 ⇒ vph = ωk

Phasengeschwindigkeit Vph ↔ Ausbreitungsgeschwindigkeit 12 vT y(x, t) = 2y 0 sin(kx − ωt) cos(∆kx − ∆ωt)

VI.3. Unsch¨arferelation

Ansatz: ψ(x, t)

´ k 0 + ∆ 2 k ko− ∆ 2 k

C(k)ei(ωt−kx)dk L¨osung: ψ(x, t) =

2 C

sin(u ∆ 2 k u Teil der L¨osung: u = (( dωdk )k 0 · t − x mit νgr = ( dωdk k 0

∆x · ∆k = 2π Breite der Wellenfunktion ∆x bei ∆k mit p = ℏm ∆x · ∆px ≥ ℏ Genauigkeit der Frequenzmessung h¨angt von der Lebensdauer des Zu- standes ab: ∆ω = (^1) τ

Zur Deutung von ψ(x, t): ”Wahrscheinlichkeitsdichte”|ψ(x, t)|^2 ψ(x, t) muss NORMIERT werden, da die Summe aller Wahrscheinlich- keiten zum Auftreten des Teilchens an allen Orten x und Zeiten t gleich 1 ist (100% !)

Allgemein im Raum:

VI.4. Schr¨odingergleichung

Erwin Schr¨odinger (1887 - 1961)

R¨aumliche und zeitliche Entwicklung von ψ und damit der Wahrschein- lichkeit W (x, t) = |ψ(x, t)|^2 Muss DGL erster Ordnung sein (damit an t 0 durch Anfangsbedingung bestimmt), muss homogen sein, L¨osungen sollten harmonische Wellen sein, damit man sie Superpositionieren kann (z.B. f¨ur Wellenpakete)

Ansatz:ψ(x, t) = Aei(kx−ωt)

ψ(x, t) = Ae

i ℏ (pxx−Ekint)^ Ziel ist DGL f¨ur ψ

S Station¨arer Fall: E h¨angt nicht von t ab: ψ(x) = Aeikx

Ekin + Epot = E Ekin = p

2 2 m =^

ℏ^2 k^2 2 m +^ Epot^ =^ E Zweimaliges Differenzieren von ψ:

∂^2 ψ(x) ∂x^2 =^ −k

(^2) ψ(x)

Station¨are Schr¨odingergl. in einer Dim.: − ℏ

2 2 m

∂^2 ψ ∂x^2

  • Epot = Eψ(x)

Verallgemeinerung auf 3 Dimensionen: − ℏ

2 2 m ∆ψ^ +^ Epotψ^ =^ Eψ mit Laplaceoperator ∆ = ∂

2 ∂x^2

2 ∂y^2

2 ∂z^2 und Hamiltonoperator Hˆ = − ℏ

2 2 m ∆ +^ Epot

Zeitabh¨angigkeit : dψ( dtx,t )= − (^) ℏi Ekinψ

Von vorher: ⇒ Ekin = ∂

(^2) ψ ∂x^2

2 2 m

Zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung: iℏ ∂ψ∂t = Hψˆ Hψ^ ˆ = Eψ

VI.5. L¨osung der Schr¨odingergleichung f¨ur verschiedene Po-

tentiale

F¨ur Epot = 0: Hψ¯ = iℏ ∂ψ∂t

F¨ur unendlichen Potentialtop: − ℏ

2 2 m

∂^2 ψ ∂x +^ Epotψ^ =^ Eψ Allgemeiner L¨osungsansatz: ψ = Aeikx^ + Be−ikx Mit Randbedinungen: ∂

(^2) ψ ∂x^2

definiert und ψ = 0 bei x = 0undx = a

Ergebnis: 0 = 2 Ai sin(ka), ka = nπ; n = 1 , 2 , 3 , ... und ψ = 2Ai sin( nπa x)

Wichtige Eigenschaft: Die Energien En sind diskret

Coulombsches Gesetz: Epot(r) = Q

2 4 πε 0 ·^

1 r

VI.5.1 Unendlicher Potentialtopf

∂^2 ψ ∂x^2 muss definiert sein ψ muss stetig und diff’bar sein bei x = a und x = 0 → ψ = 0 bei x = 0 und x = a

Ergebnis: 0 = 2Ai sin(ka), ka = nπ; n = 1,2,3,... ψ = 2Ai sin( nπa x)