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- kann Spuren von Katzen enthaltennicht für Humorallergiker geeignetalle Angaben ohne Gewehr
Digitaltechnik
1 Moore’sches Gesetz
- alle 18-24 Monate verdoppelt sich die Anzahl der Transistoren auf gleicher Fl¨ache
- Exponentielles Wachstum der Transistorzahl, exponentieller R¨uckgange des Preises pro Tran- sistor
- Herstellungskosten (Fixkosten, Variable Kosten, Technologiefaktor), Entwicklerproduktivit¨at, Verlustleistungsdichte
2 Einheiten
Potenz Vorsatz
1012 T 109 G 106 M 103 k 102 h 101 da
Potenz Vorsatz
10 −^1 d 10 −^2 c 10 −^3 m 10 −^6 μ 10 −^9 n 10 −^12 p 10 −^15 f
Hz s−^1 N kgms−^2 J N m = V As W V A = Js−^1 C As V JC−^1 F CV −^1 Ω V A−^1 H V sA−^1
Bit
· 8 −−→ Byte
· 1024 −−−−→ kByte
· 1024 −−−−→ M Byte
3 Boolsche Algebra
3.1 Boolesche Operatoren (Wahrheitstabelle WT)
x y AND OR XOR NAND NOR EQV x · y x + y x ⊕ y x · y x + y x ⊕ y
0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 Konfiguration: f = c 1 + c 2 + c 3 ⇒ cov(f ) =
c 1 , c 2 , c 3
3.2 Gesetze der booleschen Algebra
Boolesche Algebra Mengenalgebra (0, 1; ·, +, x) (P (G); ∩, ∪, A; G, ∅) Kommutativ x · y = y · x A ∩ B = B ∩ A x + y = y + x A ∪ B = B ∪ A Assoziativ x · (y · z) = (x · y) · z (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) x + (y + z) = (x + y) + z (A ∪ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C) Distributiv x · (y + z) = x · y + x · z A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) x + (y · z) = (x + y) · (x + z) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Indempotenz x · x = x A ∩ A = A x + x = x A ∪ A = A Absorbtion x · (x + y) = x A ∩ (A ∪ B) = A x + (x · y) = x A ∪ (A ∩ B) = A Neutral x · 1 = x A ∩ G = A x + 0 = x A ∪ ∅ = A Dominant x · 0 = 0 A ∩ ∅ = ∅ x + 1 = 1 A ∪ G = G Komplement x · x = 0 A ∩ A = ∅ x + x = 1 A ∪ A = G x = x A = A De Morgan x · y = x + y A ∩ B = A ∪ B x + y = x · y A ∪ B = A ∩ B
3.3 Boolesche Funktionen
f : { 0 , 1 }n^ → { 0 , 1 } f (x) = f (x 1 , x 2 ,... , xn)
Einsmenge F von f : F = {x ∈ { 0 , 1 }n|f (x) = 1} Nullmenge F von f : F = {x ∈ { 0 , 1 }n|f (x) = 0}
Kofaktor bez¨uglich
- xi : fxi = f |xi=1 = f (x 1 ,... , 1 ,... , xn)
- xi : fxi = f |xi=0 = f (x 1 ,... , 0 ,... , xn)
Eigenschaften von f (x)
- tautologisch ⇔ f (x) = 1 ∀x ∈ { 0 , 1 }n
- tautologisch ⇔ f (x) = 1 ∀x ∈ { 0 , 1 }n
- kontradiktorisch ⇔ f (x) = 0 ∀x ∈ { 0 , 1 }n
- unabh¨angig von xi ⇔ fxi = fxi
- abh¨angig von xi ⇔ fxi 6 = fxi
3.4 Multiplexer
f = x · a + x · b (2 Eing¨ange a, b und 1 Steuereingang x) f = x 1 x 2 a + x 1 x 2 b + x 1 x 2 c + x 1 x 2 d (Eing¨ange: a, b, c, d Steuerung: x 1 , x 2 )
3.5 Wichtige Begriffe
Wichtige Begriffe: Definition Bemerkung Signalvariable x ˆx ∈
Literal li = xi oder xi i ∈ I 0 =
1 , ..., n
Minterme,0-Kuben M0C 3 mj =
i∈I 0
li |M0C| = 2n
d-Kuben MC 3 cj =
i∈Ij ⊆I 0
li |MC| = 3n
Distanz δ(ci, cj ) =
∣{l
∣ (^) l ∈ ci ∧ l ∈ cj^ }∣∣ (^) δij = δ(ci, cj ) Implikanten M I =
c ∈ M C
∣ (^) c ⊆ f
Primimplikanten M P I =
p ∈ M I
p 6 ⊂ c ∀c ∈ M I
M P I ⊆ M I ⊆ M C
SOP (DNF) eine Summe von Produkttermen Terme sind ODER-verkn¨upft POS (KNF) ein Produkt von Summentermen Terme sind UND-verkn¨upft CSOP (KDNF) Summe aller Minterme WT: 1-Zeilen sind Minterme CPOS (KKNF) Menge aller Maxterme WT: 0-Zeilen negiert sind Maxterme VollSOP (nur 1) Menge aller Primimplikanten Bestimmung siehe Quine Methode oder Schichtenalgorithmus MinSOP (min. 1) Minimale Summe v. Primimplikanten durch ¨Uberdeckungstabelle
FPGA: Field Programmable Gate Array LUT: Look Up Table
4 Beschreibungsformen
4.1 Disjunktive Normalform/Sum of products (DNF/SOP)
Eins-Zeilen als Implikanten (UND) schreiben und alle Implikanten mit ODER verkn¨upfen: Z = A · B + C · D
4.2 Konjunktive Normalform/Product of sums (KNF/POS)
Null-Zeilen negiert als Implikat (ODER) schreiben und alle Implikaten UND verkn¨upfen: Z = (A + C) · (A + D) · (B + C) · (B + D)
4.3 Umwandlung in jeweils andere Form
- Doppeltes Negieren der Funktion: Z = A · B + C · D
- Umformung “untere“ Negation (DeMorgan) : Z = A · B · C · D = (A + B) · (C + D)
- Ausmultiplizieren: Z = (A + B) · (C + D) = A · C + A · D + B · C + B · D
- Umformung “obere“ Negation (DeMorgan) : Z = AC · AD · BC · BD = (A + C) · (A + D) · (B + C) · (B + D)
Analog von KNF (POS) nach DNF (SOP).
5 Logikminimierung
5.1 Nomenklatur
- mi Minterm: UND-Term in dem alle Variablen vorkommen (aus KDNF)
- Mi Maxterm: ODER-Term in dem alle Variablen vorkommen (aus KKNF)
- ci Implikant: UND-Term in dem freie Variablen vorkommen k¨onnen
- Ci Implikat: ODER-Term in dem freie Variablen vorkommen k¨onnen
- pi Primimplikant: UND-Term mit maximal freien Variablen
- Pi Primimplikat: ODER-Term mit maximal freien Variablen
5.2 Karnaugh-Diagramm
Vorteile: sehr anschaulich Nachteile: Gray-Kodierung notwendig, nur wenige Inputvariablen Zyklische Gray-Codierung: 2dim: 00 , 01 , 11 , 10 3dim: 000 , 001 , 011 , 010 , 110 , 111 , 101 , 100 z xy^00 01 11
0 1 0 0 0 1 X 1 1 0
Gleiche Zellen zusammenfassen: z.B. xy + y · z
Don’t Care Werte ausnutzen!
5.3 Quine Methode
Vorteile: automatisierbar (DEA/FSM), beliebig viele Inputvariablen Nachteile: viele paarweise Vergleiche, Erweiterung auf KKNF oder KDNF notwendig, viele Min- und Maxterme geg.: DNF/KNF oder Wertetabelle von f (x) ges.: alle Primimplikanten pi (VollSOP)
Spezielles Resoltuionsgesetz: x · a + x · a = a Absorptionsgesetz: a + a · b = a
- kanonische Form (KKNF/KDNF) bestimmen (z.B. f (x, y, z) = xy = xyz + xyz)
- Alle Min-/Maxterme in Tabelle eintragen (Index von m ist (bin¨ar)Wert des Min-/Maxterms), sortieren nach der Anzahl der positiven Literale (=Klasse)
- 1-Kubus: Minterme die sich um eine Negation unterscheiden, zu einem Term verschmelzen (Resolutionsgesetz), dabei notieren aus welchen 0-Kuben er besteht und alle verwendeten 0-Kuben abhaken
- Der 1-Kubus muss zusammenh¨angend sein! (d.h. alle 1-Kubus Minterme m¨ussen zusam- menh¨angen)
- Wenn m¨oglich 2-Kubus bilden.
- Wenn keine Kubenbildung mehr m¨oglich → Nicht abgehakte Kuben sind Primimplikanten
Beispiel (Quine Methode):
0-Kubus A 1-Kubus R A 2-Kubus A m 1 x 1 x 2 x 3
x 2 x 3 m 1 &m 5 p 1 m 4 x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 m 4 &m 5
x 1 p 2 m 5 x 1 x 2 x 3
x 1 x 3 m 4 &m 6
m 6 x 1 x 2 x 3
x 1 x 3 m 5 &m 7
m 7 x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 m 6 &m 7
⇒ f (x 1 , x 2 , x 3 ) = p 1 + p 2 = x 2 x 3 + x 1
5.4 Resolventenmethode
Vorteile: Keine KDNF Notwendig, skaliert f¨ur viele Inputvariablen Ziel: alle Primimplikanten
Wende folgende Gesetze an: Absorptionsgesetz: a + ab = a allgemeines Resolutionsgesetz: x · a + x · b = x · a + x · b + ab
Anwendung mit Schichtenalgorithmus
- schreibe die Funktion f in die 0. Schicht
- bilde alle m¨oglichen Resolventen aus der 0. Schicht und schreibe sie in die n¨achste Schicht als ODER Verkn¨upfungen (Resolventen zu f ”hinzuf¨ugen”)
- ¨uberpr¨ufe ob Resolventen aus der 1. Schicht Kuben aus Schicht 0 ¨uberdecken(Absorbtion) und streiche diese Kuben aus Schicht 0
- Schicht i besteht aus den m¨oglichen Resolventen von Schicht 0 bis (i − 1). Abgestrichene Kuben aus vorherigen Schichten brauchen nicht mehr beachtet werden.
- Sobald in der i-ten Schicht +1 steht oder keine weiteren Resolventen gebildet werden k¨onnen, ist man fertig. ⇒ alle nicht ausgestrichenen Terme bilden die VollSOP
f (x 1 ,... , xn) Schicht
x · w + x · w + x · y · w · z + x · y · w · z + y · w · z 0 +w + y · w · z 1 +w · z 2 +w 3
5.5 ¨Uberlagerung Bestimmung der MinSOP
Geg: CSOP/KDNF (
mi) und VollSOP (
pi) Ges: MinSOP (Minimalform)
Uberdeckung:¨ C^ =^ (m^0 ⊆^ p^1 )^ ·(m^2 ⊆^ p^1 +^ m^2 ⊆^ p^2 )^
! = 1 C = τ 1 ·(τ 1 + τ 2 ) = τ 1 + τ 1 τ 2 = τ 1 Alternativ: Mit ¨Uberdeckungstabelle bestimmen. Bsp:
Minterme Primterme m 1 m 2... mN L(pi)
p 1
L(p 1 ) p 2
L(p 2 ) . . .
pK
L(pK ) K: Anzahl der Primterme N : Anzahl der Minterme L(pi): Kosten/L¨ange der Primimplikanten Vorgehen: erst alle ¨uberdeckenden Spalten, dann alle ¨uberdeckten Zeilen streichen.
6 Halbleiter
Isolator Metall undotiert N-Typ P-Typ Ladungstr¨ager Keine e−^ e−/e+^ e−^ e+ Leitf¨ahigkeit Keine Sehr hoch ∝ T Hoch Mittel
7 MOS-FET’s
Metal Oxide Semiconductor Field Effekt Transistor
n n
p
Substrat(Si)
i^ iGSi-Oxid
S iD
V DS
V GS
Source Drain
Gate (Poly-Si)
VP inch−Of f = VGS − Vth
Uth =UDS
UGS – Uth I (^) D
UGS
UGS =2V
UGS =4V
UGS =6V
7.1 Bauteilparameter
Verst¨arkung: β = K′^ WL mit K′^ = μεoxε t^0 0 x
[β] = A V 2 Kanalweite W Kanall¨ange L Elektronenbeweglichkeit μ μn ≈ 250 · 10 −^4 m
2 V s ,^ μp^ ≈^100 ·^10
− 4 m^2 V s rel. Dielektrizit¨at des Gateoxyds εox ≈ 3 , 9 Dielektrizit¨atskonstante ε 0 = 8. 8541878 · 10 −^12 V mA s Gateoxyddicke tox Verst¨arkung β =
μnεoxε 0 tox ·^
W L =^ K
′ W L =^
μnCG L^2 Kapazit¨at CG = εoxε 0 W Ltox
Verz¨ogerungszeit tpHL ∝
CLtoxLp Wpμpεox(VDD −|Vth|)
- große Kanalweite ⇒ große Drain-St¨orme ⇒ schnelle Schaltgeschwindigkeit (da id ∝ β ∝ WL ) Aber: große Fl¨ache.
- nMos schaltet schneller als pMOS, da nMOS und pMOS unterschiedliche Majo- rit¨atsladungstr¨ager haben. Die Beweglichkeit der L¨ocher ist im Allgemeinen geringer als die der Elektronen.
7.2 Drainstrom
nMos (p-dotiertes Substrat, n-dotierte Drain/Source), schlechter pull up (Pegeldegenerierung)
Id =
0 , f¨ur Ugs − Uth ≤ 0 (Sperrber.) β[(ugs − Uth) · uds − 12 u^2 ds], f¨ur 0 ≤ Ugs − Uth ≥ uds (linearer Ber.)
1 2 β^ ·^ (ugs^ −^ Uth)
(^2) , f¨ur 0 ≤ U gs −^ Uth ≤^ uds (S¨attigungsber.)
pMos (n-dotiertes Substrat, p-dotierte Drain/Source), schlechter pull down (Pegeldegenerierung)
Id =
0 , f¨ur Ugs − Uth ≥ 0 (Sperrber.) −β[(ugs − Uth) · uds − 12 u^2 ds], f¨ur 0 ≥ Ugs − Uth ≤ uds (linearer Ber.)
− 12 β · (ugs − Uth)^2 , f¨ur 0 ≥ Ugs − Uth ≥ uds (S¨attigungsber.)
7.3 pMos und nMos
S
S
G
G
D
V DD
GND
V GS
V DS
V GS
V DS
Transistor Source liegt immer am VGS , VDS , ID Substrat
pMos normally on
h¨oheren Potential < 0 +(VDD )
nMos normally off
niedrigeren Potential > 0 −(GN D)
8 CMOS - Logik
Vorteil: (Fast) nur bei Schaltvorg¨angen Verlustleistung - wenig statische Verluste Drei Grundgatter der CMOS-Technologie:
NOT (2 Trans.) NAND (4 Trans.) NOR (4 Trans.)
Z
V DD
A
GND GND
Y
A B
A
B
V DD
GND
A
A
B
B
V DD
Y
Falls GN D und VDD vertauscht w¨urden, dann N AN D → AN D und N OR → OR Allerdings schlechte Pegelgenerierung.
8.1 Gatterdesign
Netzwerk Pull-Down Pull-Up Transistoren nMos pMos AND Serienschaltung Parallelschaltung OR Parallelschaltung Serienschaltung
- M¨oglichkeit: Direkt; ggf. Inverter vor die Eing¨ange und Ausg¨ange schalten.
- M¨oglichkeit: Mit boolescher Algebra die Funktion nur mit NAND und NOR darstellen.
8.2 CMOS Verlustleistung
Inverterschaltvorgang VA : 0 → 1 :
V tn
I (^) short
V DD
VDD–|Vtp|
on off P
N
V (^) Z off on
V (^) A
I (^) stat
Dynamische Verlustleistung Pdyn = Pcap + Pshort Kapazitive Verluste Pcap = α 01 f CLV (^) DD^2 Kurzschlussstrom Pshort = α 01 f βnτ (VDD − 2 Vtn)^3
Schalth¨aufigkeit α 0 → 1 = Schaltvorg¨# Betrachtete Takteange(pos. Flanke)
Schalth¨aufigkeit (periodisch) α =
fswitch fclk Abh¨angig von den Signalflanken, mit Schaltfunktionen verkn¨upft ≈ VDD 1 / ∝ Schaltzeit:
VDD 2 VDD 1 =^
tD 1 tD 2 (bei Schaltnetzen^ tlog^ ) Verz¨ogerungszeit ∝
CLtoxLp Wpμpε(VDD −Vth) Steigend mit: Kapazitiver Last, Oxiddicke, Kanall¨ange, Schwellspannung Sinkend mit: Kanalweite, Ladungstr¨ager Beweglichkeit, Oxyd Dielektrizit¨at, Versorgungsspannung
Statische Verlustleistung Pstat: Sub-Schwellstr¨ome, Leckstr¨ome, Gate-Str¨ome Abh¨angigkeit: VDD ↑: Pstat ↑ Vth ↑: Pstat ↓ (aber nicht proportional)
9 Volladdierer (VA)/Ripple-C(u)arry-Adder
A B
C in
S
C out
Generate gn = an · bn
