Formelsammlung Werkstoffe, Formelsammlungen von Werkstoffkunde

Nur auf Docsity: Lade Formelsammlung Werkstoffe und mehr Formelsammlungen als PDF für Werkstoffkunde herunter! 4ei** kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr Werkstoffe 1. Mathematische Grundlagen 1.1. Sinus, Cosinus sin2(x) + cos2(x) = 1 x 0 π/6 π/4 π/3 1 2 π π 1 1 2 π 2π ϕ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦ sin 0 1 2 1√ 2 √ 3 2 1 0 −1 0 cos 1 √ 3 2 1√ 2 1 2 0 −1 0 1 tan 0 √ 3 3 1 √ 3 ±∞ 0 ∓∞ 0 Additionstheoreme Stammfunktionen cos(x− π 2 ) = sin x ´ x cos(x) dx = cos(x) + x sin(x) sin(x + π 2 ) = cos x ´ x sin(x) dx = sin(x)− x cos(x) sin 2x = 2 sin x cos x ´ sin2(x) dx = 1 2 ( x− sin(x) cos(x) ) cos 2x = 2 cos2 x− 1 ´ cos2(x) dx = 1 2 ( x + sin(x) cos(x) ) sin(x) = tan(x) cos(x) ´ cos(x) sin(x) = − 1 2 cos2(x) sin(x± y) = sin x cos y ± sin y cos x cos(x± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y 1.2. Integrale ´ ex dx = ex = (ex)′ F (x) f(x) f ′(x) 1 q+1 xq+1 xq qxq−1 2 √ ax3 3 √ ax a 2 √ ax x ln(ax)− x ln(ax) a x 1 a2 eax(ax− 1) x · eax eax(ax + 1) ax ln(a) ax ax ln(a) − cos(x) sin(x) cos(x) ´ eat sin(bt) dt = eat a sin(bt)+b cos(bt) a2+b2´ dt√ at+b = 2 √ at+b a ´ t2eat dt = (ax−1)2+1 a3 eat ´ teat dt = at−1 a2 eat ´ xeax 2 dx = 1 2a eax 2 1.3. Exponentialfunktion und Logarithmus ax = ex ln a loga x = ln x ln a ln x ≤ x− 1 ln(xa) = a ln(x) ln( x a ) = ln x− ln a log(1) = 0 2. Einheiten SI-Präfixe Symbol Vorsatz Faktor Symbol Vorsatz Faktor Y Yotta 1024 d Dezi 10−1 Z Zetta 1021 c Zenti 10−2 E Exa 1018 m Milli 10−3 P Peta 1015 µ Mikro 10−6 T Tera 1012 n Nano 10−9 G Giga 109 p Piko 10−12 M Mega 106 f Femto 10−15 k Kilo 103 a Atto 10−18 h Hekto 102 z Zepto 10−21 da Deka 101 y Yokto 10−24 3. Konstanten und Basisgleichungen Naturkonstanten Lichtgeschwindigkeit c0 = 299 792 458 m s Elementarladung e = 1.602 177× 10−19 C Planck-Konst. h = 6.626 069 57× 10−34 J s ~ = h 2π = 1.054 57× 10−34 J s Elektr. Feldkonst. ε0 = 8.854 188× 10−12 Fm Magn. Feldkonst. µ0 = 4π × 10−7 Hm Avogadro-Konst. NA = 6.022 141× 1023 1mol Atomare Masse u = 1.660 539× 10−27 kg Elektronenmasse me = 9.109 383× 10−31 kg Protonenmasse mp = 1.674 927× 10−27 kg Neutronenmasse mn = 1.672 622× 10−27 kg Boltzmann-Konst. kb = 1.380 655× 10−23 JK allg. Gaskonstante R = kbNA = 8, 3144 J mol K 4. Aufbau der Materie Planck’sches Postulat In der Quantenmechanik kann der harmonische Oszillator mit der Schwingungsfrequenz f nur diskrete Energiewerte an- nehmen: En = hf ( n + 1 2 ) = ~ω ( n + 1 2 ) Heisenberg’sche Unschärferelation Ort und Impuls (bzw. Energie und Zeit) können nicht gleichzeitig scharf definiert werden. ∆x ·∆p ≥ ~ 2 und ∆t ·∆E ≥ ~ 2 Welle-Teilchen-Dualismus Materie kann sowohl Eigenschaften von Teil- chen als auch von Wellen haben. 4.1. Quanten Hierbei wird die Materie als Menge von Teilchen betrachtet. Sie haben eine Energie E und einen Impuls p sowie eine Masse m. Das Photon Für das Photon gilt: Eph = f · h = ~ · ω = hcλ = mphc 2 mph = ~ω c2 pph = mph · c = hλ 4.2. Materiewellen 4.2.1 Allgemeine Wellenfunktion Ψ(r, t) = C · ei(ωt−k·r) Im eindimensionalen Fall: Ψ(x, t) = C · ei(ωt−kx) Größe Beziehung Energie E = 1 2 mv2 = ~ω De-Broglie-Wellenlänge λ = h p Impuls p = mv = ~k Kreisfrequenz ω = 2πf = ~ 2m k2 Phasengeschwindigkeit vph = ω k = ~k 2m = vTeilchen 2 Wellenzahl k = 2π λ 4.2.2 Das Wellenpaket Der bewegten Korpuskel wird eine im Raum begrenzte Wellenfunktion zugeordnet, die sich aus der Überlagerung einzelner Wellen zu einem Wel- lenpaket ergibt. Ein Teilchenstrom entspricht der Folge einzelner Wellen- pakete. Ψ(r, t) = k0+∆k´ k0−∆k C(k) · ei(ωt−kr) dk Gruppengeschwindigkeit des Wellenpakets: vgr = dω dk = ~k m = p m = vTeilchen Phasengeschwindigkeit vph = ω k 4.3. Die Schrödingergleichung Beschreibt die Dynamik der quantenmech. Zustände eines Systems. Allgemeine Schrödingergleichung: E = Ekin + Vpot = p2 2m + V mit p = i~∇Ψ −i~ ∂ ∂t Ψ(r, t) = − ~2 2m ∆ Ψ(r, t) + V (r, t) · Ψ(r, t) Zeitunabhängige Schrödingergleichung: − ~2 2m ∆Ψ(r) = (E − V )Ψ(r) Herleitung Durch den Separationsansatz Ψ(r, t) = Ψ(r)Φ(t) lässt sich die Zeitabhängigkeit abtrennen. Aufenthaltswahrscheinlichkeit dw(r) = Ψ∗(r, t) · Ψ(r, t) · dτ Normierungsbedingung: ´ Volumen Ψ∗Ψ dr′ = 1 ⇒ Ci = √ 2 Li Herleitung der Schrödingergleichung • Aus De-Broglie-Beziehungen: ω = ~ 2m k2 −→ ~ω = ~ 2 2m k2 • Multipliziere beide Seiten mit Ψ und ersetze ω → ∂ ∂t sowie k2 → div grad es folgt: −i~ ∂ ∂t Ψ(r, t) = − ~ 2 2m ∆Ψ(r, t) • In einem Kraftfeld F (r, t) mit F (r, t) = − gradV (r, t) gilt: E = p 2 2m + V (r, t) mit p = i~∇Ψ • Die allg. Schrödingergleichung folgt aus Multiplikation mit Ψ und den Operatoren E → −i~ ∂ ∂t und p 2 2m → − ~ 2 2m ∆ 4.4. Potentialtopf Schrödingergleichung (im eindimensionalen Potentialtopf) • Seperation: Ist das Potential zeitunabhängig? Wenn ja⇒ v(r, t)→ v(r) • Bereichseinteilung: x < a a < x < b (im Topf) b < x • Aufstellen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung • Ansatz: Φ(x) = Aejkx+Be−jkx oder A sin(kx)+B cos(kx) • Bestimme Koeffizienten A,B und k über die Randbedingungen • Amplitude aus der Normierungsbedingung bestimmen • Einsetzen und Umformen E = k 2π2 2ma2 n2 mit k = π a n δ-Dim., unendl., zeitinvar. Potentialtopf: i = { x, y, ..., δ } Lösung der DGL: Ψ(r) = √ 2δ∏ Li δ∏ i=1 sin(ki · ri) Energie: En = ~2 2m · ∑ k2i für δ = 1 (eindimensionaler PT) En = ~2 2m k 2 n = h2n2 8mL2 = E1n 2 kn = nπ L 4.5. Moleküle - Bindungstypen Bindung Eigenschaften Energie Ionisch Elektronaustausch, stark, starr 3.4 eV Kovalent Gemeinsame Elektronen Metallisch ” Elektronensee“ Dipol Coulombkräfte von Partialladungen 4.5.1 Ionische Bindung Voraussetzung: unterschiedliche Atome,leicht zu ionisieren Ionisierung • Anion und Kation ziehen sich an bis auf einen Abstand der Ionenmit- telpunkte r0 = (rCl− + rNa+ ) (bis sich die Elektronenschalen gerade noch berühren) • Dabei wird die Energie frei: Eel = r0́ ∞ −e2 4π0r 2 dr = e2 4π0r0 • Bindungsenergie beträgt 3.4 eV Ionenpaar oder 328 kJ Mol • Coulombanziehung nicht gerichtet → positive und negative Ionen lagern so dicht aneinander wie möglich → Ionenkristall (nicht ver- formbar) • Elektronen sind an den Ionen lokalisiert → keine freien Elektronen vorhanden→ Isolator • Differenz der Elektronegativität meist ∆E > 1.7 4.5.2 Kovalente Bindung Spinabsättigung der äußeren Elektronenschale durch gemeinsame Elektro- nen • Valenz-Elektronen zwischen den Atomen lokalisiert • keine Kugelsymmetrische Ladungsverteilung mehr im Atom • Die Anzahl der Elektronen mit umgepaartem Spin zeigt an wie viel- fache kovalente Bindungen eingegangen werden können • treten bei und zwischen Elementen der IV. bis VII. Hauptgruppe auf • gerichtete Bindungen → mögliche Kristallstrukturen werden einge- schränkt • Differenz der Elektronegativität meist ∆E < 1.7 • kovalente gebundene Kristalle sind üblicherweise schlechte Leiter 4.5.3 Metallische Bindung Sonderfall der kovalenten Bindung, bei der die Valenz-Elektronen nicht lokalisiert sind. • Vorwiegend Elemente mit nur wenigen Außenelektronen • freie Elektronen → hohe elektrische Leitfähigkeit, hohe Wärmeleitfähigkeit • Bindung nicht gerichtet→ hohe Packungsdichte • Bindungen mit gleich- und ungleichartigen Metallen eingegangen wer- den • Metallische Bindung ist schwächer als die ionische oder kovalente Bindung • Bindungsstärke hängt von der Zahl der Leitungselektronen ab 4.5.4 Dipolbindung • zwischen Molekülen mit permanentem Dipolmoment→Moleküle mit positiver und negativer Ladung • Dipole ordnen sich im Dipolfeld der Nachbaratome so an, dass möglichst geringe Abstand und durch die Coulombkräfte gebunden werden 4.5.5 Van-der-Waals-Bindung: • Atome/Moleküle haben kein permanentes Dipolmoment • Bindung zwischen Dipolen durch statistische Fluktuationen der La- dungsschwerpunkte. • Sehr schwache Bindung 4.5.6 Wasserstoffbrückenbindung Vorraussetzung: Äußere Schale > vier Elektronen, zwischen 2 Atomen. • Bindungen über Wasserstoffbrücken der Form A-H-A • Das H-Atom geht eine kovalente Bindung mit Atom der Sorte A ein und gibt sein Elektron ab. Das Proton bleibt fest an Reaktionspartner gebunden und bindet nun zusätzlich das andere negative Atom • Bindungsenergie ist gering (0.1 eV) Homepage: www.latex4ei.de – Fehler bitte sofort melden. von LaTeX4EI - Mail: [email protected] Stand: 4. Februar 2019 um 22:43 Uhr 1 4.6. Das Periodensystem (Siehe Seite 4) Hauptquantenzahl n = 1, 2, . . . (= K, L, . . . - Schale ) Nebenquantenzahl l = 0, . . . , n− 1 (= s,p,d,f - Zuständen) Magnetische Quantenzahl m = −l,−l + 1, . . . , l− 1, l Spinquantenzahl s = ± 1 2 Zu jedem Wert n gehören n2 Zustände durch Variation von l und m. Außerdem ist jeweils ein Spin s = ± 1 2 möglich. Entartungsgrad: Kombination der QZ mit gleicher Energie: 2n2 4.7. Atome - Hundsche Regeln Legen fest, nach welchem Schema jedes einzelne Orbital eines Atoms mit Elektronen besetzt wird. 1. Die Schale wird so aufgefüllt, dass |S| = | ∑ si| = max 2. Quantenzahl |L| = | ∑ mi| = max 3. Falls die Schale weniger als halbvoll ist: • Bahndrehimpuls und Spin antiparallel • Gesamtdrehimpuls J : |J| = ||L| − |S|| Falls die Schale mehr als halbvoll ist: • Bahndrehimpuls und Spin parallel • Gesamtdrehimpuls J : |J| = ||L| + |S|| Merke: Volle Schalen liefern keinen Beitrag zu S, L und J Pauli-Prinzip: Alle Elektronen unterscheiden sich in mindestens einer Quantenzahl K L M N O P nl 0 = s 1 = p 2 = d m = 0 m = −1, 0, 1 m = −2,−1, 0, 1, 2 1:K ↑↓ 2:L ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 3:M ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 4.8. Kunststoffe Bestehen im wesentlichen aus C,H,N und O Polymerisation: Reaktion von Manomeren mit Doppelbindungen zu makromolekularen Ketten Polykondensation: Reaktion von Monomere mit reaktiven Endguppen unter Abspaltung von z.B H2O oder HCL Polyaddition: Venetzung von Epoxiden mit Aminen oder Alkoholen ohne weiteres Reaktionsprodukt 4.9. Legierungen und Schmelze 5. Mechanische Eigenschaften von Festkörpern a0 Gitterkonstante (≈ 10−10 m) N Anzahl Atome in EZ (Anzahl Atome geteilt durch die Zellen, die sich dieses Atom teilen) 5.1. Dichte Dichte: ρ = dm dV = mP4 3 πr3 = mN a30 = 1 V N NA Ar → Ar in kg Umrechnen! Packungsdichte: P = Volumen (Atome) Volumen (Einheitszelle) = N 4 3 r3π VEZ 5.2. Kristallstrukturen SC/PK simple cubic BCC/KRZ body-centered cubic FCC/KFZ face-centered cubic P = π 6 ≈ 0.52 P = √ 3π 8 ≈ 0.68 P = √ 2π 6 ≈ 0.74 rA = √ 4 4 a0 rA = √ 3 4 a0 rA = √ 2 4 a0 KZ = 6 KZ = 8 KZ = 12 HCP hexagonal Tetraeder Diamant P = π 3 √ 2 ≈ 0.74 P = π √ 3 16 ≈ 0.34 P = π √ 3 16 ≈ 0.34 Vhex = 3 √ 3 2 a2h VTetra = √ 2 12 a3 VDiamant = a 3 0 KZ = 6, 12 KZ = 4 KZ = 4 KZ: Koordinationszahl (Zahl der nächsten Nachbarn) Polymorphie: Ein Stoff hat mehrere Kristallgitterstrukturen. 5.3. Elastische Verformung Elastizitätsgrenze σE Streckgrenze σS Bruchgrenze σB (E = 0) Bruchdehnung εB ε˜ = εxx εxy εxzεyx εyy εyz εzx εzy εzz  Dehnung xx = ∂ux ∂x yy = ∂uy ∂y zz = ∂uz ∂z Scherdeformation xy = ∂ux ∂y + ∂uy ∂x yz = ∂uy ∂z + ∂uz ∂y xz = ∂ux ∂z + ∂uz ∂x Spannungen Normalspannungen σxx, σyy, σzz sind Zug bzw. Druck- spannungen. Tangentialspannungen (Scherspannungen) σxy, σyz Verallgemeinertes Hooksches Gesetz σ˜ = Cε˜ mit C ist 81 Komponenten Elastizitätstensor 4. Stufe Uniaxial: σxx = ( c− 2λ 2 c+λ ) εxx = E · εxx εxx = ∆ll |σ| = |F | A = EF cl = E · ∆l l = εE Hydrostatisch: (σxx = σyy = σzz = −p) Kompressionsmodul K = −V0 dp dV isotrop = E 3−6ν Metall ν ≈ 0.3 Mikroskopische Ebene: Bindungskräfte zwischen Atomen Potential V (r) = − α rn︸︷︷︸ anziehend + β rm︸︷︷︸ abstoßend m > n Zw. atomare Kraft F (r) = − dV (r) dr im GG-Fall F (r = r0) = 0 Elastizitätsmodul E := − 1 r dF dr = σ r0 ∆r = σ ε = n(m− n) α r n+3 0 Akustische Wellen in Festkörpern: v|| = √ c ρ v⊥ = √ µ ρ Gitterschwingungen / Phononen: (Für kleine k) ω1 = √ 2c( 1 M1 + 1 M2 ) ω2 = ka √ 2c M1+M2 6. Thermische Eigenschaften von Festkörpern Druck [p] N m2 Seebeck-Ko. [S] µV K Wärmeleitf. [λ] W m K Wärmemenge [Q] J = W s Wärmekapazität [C] J K Wärmeleitwert [G] K W Innere Energie [U ] J spez. Wärmekapazität [cm] J K kg Wärmekapazität C = ∂U ∂T = cn = cm ·m = cmρV Innere Energie U = 3NkBT für 1 mol: ∆U = ∆Tcm Spezifische Wärme für hohe Temp. cm = 3R = 24.9 J mol K Wärmemenge Q = CT Wärmeleitwert G = λA l Wärmestrom . Q = −λ grad(T )A = C . T = G∆T Wärmestromdichte w = . Q A = ∆Q A∆t = nvc∆T = −λ grad(T ) Phononen: λph = 1 3 CphvSchalllph Elektronen λel = 1 3 Celvellel Mittlere freie Weglänge l = vτ Cel ≈ 6nk2B T EF 6.1. Thermische Ausdehnung Ausdehnungskoeffizient α = β 3 = ∆l l · 1 ∆T Volumenänderung: ∆V V0 = 3α∆T = β∆T Grüneisenregel für Metalle: α ∝ 1 TS Schmeltemperatur TS 6.2. Ideales Gas Ideales Gasgesetz: pV = nmRT = NkbT = NvkBT Kinetische Energie Ekin = 1 2 mv2 = f 2 kBT Teilchendichte: N = n·NA V = ρNA Ar = p kBT Stoffmenge: n = N NA = m Ar Druck p = 1 3 Nmv2 Gaskonstante: R = kbNA = 8, 3144 J mol K 6.3. Freies Elektronengas Zustandsdichte 3D: D(E) = 1 V dZ dE = 2 √( 2m ~2 )3 √E 2π2 2D : D = m ∗ π~2a 1D: D = √ 2m∗ π~a2 1√ E−Ex,j−Ez,j Effektive Masse: 1 m∗ = 1 ~2 d2E(k) dk2 Wärmeleitfähigkeit: λel = 1 3 Celvellel Energieeigenwerte: Enml = ~2k2 2m∗e = ~ 2π2 2m∗eL 2 (n 2 +m2 + l2) Wiedemann-Franzsches Gesetz: λ σelT = L := π2k2B 3e2 = 2.44× 10−8 V2/K2 (L : Lorentzzahl) 7. Elektrische Eigenschaften von Festkörpern Spez. Wid. [ρ] = Ω m Leitfäh. [σ] = 1 Ω m [µ] = m 2 V s 7.1. Ladungstransport Je kleiner a0, desto flacher die Potentialbarrieren zwischen den Atomen, desto breiter werden die Energiebänder. Freies Teilchen Eingesperrtes Teilchen vgr ~ m k 1~ dE(k) dk vph E p 7.2. Widerstand R = ρ l A = 1 σ l A Fermiradius kF = √ 2mEF ~ σ = −en∆px m∗Ex = n e2 m∗ · τ Elektronen verbinden sich zu Cooper-Paaren 7.3. Elektrochemische Spannung, Korrosion kathodisch → edel → positives Potential anodisch → unedel → negatives Potential Das unedlere Metall wird zuerst in Wasser mit Efeld aufgelöst 7.4. Piezo-Effekt Mechanische Verformung erzeugt elektrische Spannung in Kristallen. D = −kp FAE σxx = c ∆l l + kpEx 7.5. Pyroelektrizität ∆P = λ∆T 8. Thermoelektrische Effekte elektrische Leitfähigkeit [σ] S m Wärmeleitfähigkeit [λ] W m K Seebeck-Koeffizient [S] µV K Durch thermische Teilchenbewegung entsteht eine Diffusionsstromdichte: jdiff = −e(n1v1x − n2v2x) = e d dT (Dn · n) dT dx Diffusionskoeffizient Dn = vxlx = v 2 xτ , Fermigeschw. v 2 x = 1 3 v2F Effektive Teilchengeschw. 1 2 m∗v2 = 1 2 kBT Seebeck Koeffizient: S := − e σ d dT (Dn · n) ∆U = S ·∆T 8.1. Peltier-Effekt Wärmestromdichte w = Π · j Peltierkonstante: Π = S · T Gütezahl Z = |∆S|2 · σ λ mit Gütefaktor ∆S = Π1 − Π2 8.2. Supraleitung Starke Abnahme des Widerstands um Faktor ≤ 10−14 bei einer Sprung- temperatur Tc Kritisches Magnetisches Feld: Hc = H0(1− ( TTC )2)→ siehe Tabelle Skript S.107 Londongl. E = λL . j s B = −λL rot js Londonsche Eindringtiefe ΛL = √ λL µ0 λL = m nse2 Homepage: www.latex4ei.de – Fehler bitte sofort melden. von LaTeX4EI - Mail: [email protected] Stand: 4. Februar 2019 um 22:43 Uhr 2