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Heilbronn, den 29.11.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/
Übungen zu Mathematik 2
Blatt 10 Zu bearbeiten bis 6.12.
Name: Matrikelnr.:
Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.
- Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.
- Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B. Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).
Aufgabe 1. Die lineare Funktion f ∈ R^2 → R^2 ist dadurch definiert, dass sie jeden Vektor ~x ∈ R^2 am Koordinatenursprung spiegelt, siehe Bild 1. Bestimmen Sie die Matrix A so dass f (~x) = A~x für alle ~x ∈ R^2 und berechnen Sie f
durch Matrix Vektor Multiplikation.
Abbildung 1: f (~x) ist die Spiegelung von ~x am Koordinatenursprung.
Aufgabe 2. Sei A ∈ R m × n^ und f ∈ R n^ → R m^ definiert durch f (~x) = A~x. Entscheiden Sie von beiden Linearitätsbedingungen, ob f sie erfüllt. Geben Sie jeweils eine kurze Begründung.
Aufgabe 3. Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag der komplexen Zahl z =
(−2 + j)^2 j + 3
Aufgabe 4. Berechnen Sie alle Lösungen z der Gleichung
z^3 =
(1 + j)^2 Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
Aufgabe 5. Zeigen Sie, dass für jede komplexe Zahl z ∈ C gilt
|e jz^ | =
eim( z )^
Aufgabe 6. Berechnen Sie ∫ (cos(t))^2 dt
in dem Sie die Cosinusfunktion durch komplexe e-Funktionen darstellen. Formen Sie das Ergebnis dann so weit um, bis keine komplexen Größen mehr darin auftreten.
Aufgabe 7. Ein Kondensator mit Kapazität C entlädt sich über einen zeitab- hängigen Widerstand mit
R(t) =
1 + t Ohm.
Der Widerstand wird also mit der Zeit immer kleiner, folglich muss sich der Kondensator schneller entladen als mit der bekannten e-Funktion für konstanten Widerstand. Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Spannung am Kon- densator u 0. Berechen Sie die Spannung des Kondensators u C (t) zu jedem Zeitpunkt t > 0.
Aufgabe 8. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
y′^ + xy cos(x^2 ) = x cos(x^2 ).
Aufgabe 9. Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der DGL
y′′^ + 4y′^ + 5y = sin(x).
Aufgabe 10. Zeigen Sie, dass ∫ (^) t
−∞
f (τ )dτ = (f ∗ σ)(t).
Zeigen Sie unter Verwendung der Rechengesetze für die Faltung, dass ∫ (^) t
−∞
(f ∗ g)(τ )dτ = (F ∗ g)(t)
wobei
F (t) =
∫ (^) t
−∞
f (τ )dτ.
Aufgabe 11. Sei
f (t) = e−| t | g(t) = t.
Berechnen Sie (f ∗ g)(t).
Was ist lim ε → 0 ε> 0
h(ˆt)?
Aufgabe 13. Seien f, g Funktionen mit
f (t) = 0 für t 6 ∈ [a 1 , b 1 ] g(t) = 0 für t 6 ∈ [a 2 , b 2 ]. Zeigen Sie, dass (f ∗ g)(t) = 0 für t 6 ∈ [a 1 + a 2 , b 1 + b 2 ].
Aufgabe 14. Sei ε > 0 und
g ε (t) =
4 ε^3 (t^2 − ε^2 ) für −ε ≤ t ≤ ε 0 sonst
t −ε (^) ε −ε (^) ε
t
1
gε(t) h(t)
−∞
g ε (t)dt = 1.
- Berechnen Sie h = σ ∗ g ε.
- Für t 6 ∈ [−ε, ε] gilt h(t) = σ(t). Die Faltung mit g ε (t) bewirkt eine Glättung des Sprungs so dass h(t) differenzierbar ist. Berechnen Sie h′(t) und erklären Sie, weshalb h′(t) zwar auf ganz R stetig ist aber nicht differenzierbar.
Aufgabe 15. Sei
f (t) =
cos(t) falls − π / 2 ≤ t ≤ π / 2 0 sonst und
g ε (t) =
/ ε falls 0 ≤ t ≤ ε 0 sonst.
Skizzieren Sie die Funktionen f (t) und h(t) = (f ∗ g ε )(t) in einem gemein- samem Koordinatensystem für ε = 2. Geben Sie alle Stellen an, an denen f bzw. h unstetig bzw. nicht differen- zierbar sind.
Aufgabe 16. Sei
F (t) =
∫ (^) t
−∞
f (τ )dτ, G(t) =
∫ (^) t
−∞
g(τ )dτ.
Zeigen Sie unter Verwendung der Rechengesetze der Faltung, dass
f ∗ G = F ∗ g.
Aufgabe 17. In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass man durch Faltung mit einem (beliebig schmalen) Rechteckimpuls mit Flächeninhalt 1 einen Knick in einer Funktion glätten und sie dadurch differenzierbar machen kann. Sei ε > 0 und
f (t) = |t|
g ε (t) =
2 ε falls^ −ε^ ≤^ t^ ≤^ ε 0 sonst.
h(t) = (f ∗ g ε )(t).
Hinweis: Sie müssen hierbei eine Fallunterscheidung machen ob t ≤ −ε, t ≥ ε oder −ε < t < ε. Der Rechenweg ist etwas länger als es zunächst den Anschein hat. Skizzieren Sie die Funktion h(t) für ein beliebiges ε und überzeugen Sie sich, dass der Knick der Betragsfunktion bei t = 0 im Bereich −ε < t < ε geglättet wurde, sich die Betragsfunktion ansonsten aber nicht verändert hat.
- Zeigen Sie, dass für alle t gilt
lim ε → 0 ε> 0
h(t) = f (t).
Hinweis: Sie müssen hier eine Fallunterscheidung machen ob t = 0 oder t 6 = 0.
- Berechnen Sie die Ableitung h′(t). Die Funktion f (t) ist an der Stelle t = 0 nicht differenzierbar. Was ist h′(t) an der Stelle t = 0?
Aufgabe 18. Sei
f (t) =
1 für 0 ≤ t ≤ 1 0 sonst g(t) = 1 − t^2.
Berechnen Sie (f ∗ g)(t).
Aufgabe 19. Sei
f (t) = δ(t − a) g(t) = δ(t − b).
