Exercices corrigés mesure, Exercises of Mathematics

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Licence Mathématiques 3e^ année MATH602 : Intégration

Tribus, Fonctions Mesurables

Exercice 1 (Réunion et intersection dénombrables). 1. Déterminer les ensembles suivants :

⋃

n ∈N∗

[

0 , 1 −

n

]

,

⋂

n ∈N∗

[

0 ,

n

[

,

⋃

n ∈N∗

[

n

, 1 +

n

[

,

⋃

k ∈N∗

⋂^ ∞

n =

[

k −

n + 1

, k +

n

[

.

2. Soit (f n ) et f des applications de E dans R. Interpréter l’ensemble suivant :

⋂^ ∞

n =

⋃^ ∞

k =

⋂^ ∞

i > k

{

x ∈ E, |f i (x) − f (x)| 6

n

}

.

Exercice 2. Soient X un ensemble non vide et (A n ) n ∈N une suite de parties de X. On définit

lim sup A n =

⋂

n

⋃

k > n

A k , et, lim inf A n =

⋃

n

⋂

k > n

A k.

1. Montrer que lim inf A n ⊂ lim sup A n.
2. Déterminer lim sup A n et lim inf A n dans les exemples suivants :
   • la suite (A n ) n ∈N est croissante ;
   • la suite (A n ) n ∈N est décroissante ;
   • ∀n ∈ N, A 2 n = A et A 2 n +1 = B où A ⊂ X, B ⊂ X ;
   • X = R et pour tout n, A n =

[

2 + (−1) n +1, 3 + (^) n +1^1

]

.

Exercice 3 (Points de discontinuité d’une fonction croissante). Soit f : R → R une fonction croissante.

1. Montrer que f admet des limites à gauche lim y → x −^

f (y) et à droite lim y → x +^

f (y) finies en tout point.

2. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de f est dénombrable.

Indication : considérer, pour n > 1 , les ensembles A n =

{

x ∈ [−n; n] ; lim y → x +^

f (y) − lim y → x −^

f (y) >

n

}

.

Exercice 4 (Limite supérieure de suites). Soient (a n ) et (b n ) des suites de R minorées par une constante. Montrer que lim sup(a n + b n ) 6 lim sup a n + lim sup b n. Donner un exemple de suites bornées pour lesquelles l’inégalité ci-dessus est stricte. Que dire de lim sup(a n − b n )?

Exercice 5 (Ensemble de convergence). Soit (E, A) un espace mesurable et (f n ) une suite de fonctions mesurables de E dans R. Montrer que l’ensemble

A = {x ∈ E, la suite (f n (x)) n est convergente}

est un élément de A. Indication : R est c- - - - - t ou alors lim sup

Exercice 6. Donner un exemple de suite décroissante d’ensembles (A n ) n ∈N telle que pour tout n, A n est (de cardinal) infini et ∩ n A n = ∅.

Exercice 7 (Image et image réciproque). Soient E et F deux ensembles, f une application de E dans F.

1. Montrer que pour toute partie Y de F , on a f −^1 (Y c ) = (f −^1 (Y )) c. Donner des exemples d’applications f : E → F et de partie X de E telles que

(i) f (X c ) ⊂ f (X) c , (ii) f (X c ) ⊃ f (X) c , (iii) aucune inclusion n’est satisfaite.

Ph. Briand & K. Kurdyka 1 Université Savoie Mont Blanc

2. Soient (X i ) i ∈ I (resp. (Y i ) i ∈ I ) une famille de partie de E (resp. F ). Montrer que

f −^1

(

⋃

i ∈ I

Y i

)

=

⋃

i ∈ I

f −^1 (Y i ), f −^1

(

⋂

i ∈ I

Y i

)

=

⋂

i ∈ I

f −^1 (Y i ), f

(

⋃

i ∈ I

Y i

)

=

⋃

i ∈ I

f (Y i ).

Montrer également que

f

(

⋂

i ∈ I

Y i

)

⊂

⋂

i ∈ I

f (Y i ).

et que cette dernière inclusion est en général stricte et qu’il y a égalité si f est injective.

Exercice 8 (Fonction indicatrice). Soit E un ensemble, A,B, (A i ) i ∈ I des parties de E.

1. Déterminer (^1) ∅, (^1) E et calculer 1 − A^1 (J) pour J ⊂ R.
2. Montrer que

(i) A ⊂ B ⇔ (^1) A 6 (^1) B et A = B ⇔ (^1) A = (^1) B , (ii) (^1) A ∩ B = (^1) A (^1) B et (^1) Ac = 1 − (^1) A ,

(iii) (^1) A ∪ B = (^1) A + (^1) B − (^1) A (^1) B , (iv) (^1) A ∆ B = | (^1) A − (^1) B |.

3. Montrer que 1 ⋃ i ∈ I Ai^

= sup i ∈ I

(^1) Ai et 1 ⋂ i ∈ I Ai^

= inf i ∈ I

(^1) Ai.

Exercice 9 (Exemples de tribu). Si A ⊂ R, on note −A l’ensemble {−a ; a ∈ A}.

1. Montrer que A = {A ∈ P(R) ; A = −A} est une tribu sur R.
2. Soit f : R → (R, P(R)) définie par f (x) = x^2. Montrer que la tribu image-réciproque est A.
3. Caractériser les fonctions mesurables de (R, A) dans (R, A) et les fonctions mesurables de (R, A) dans (R, P(R)).

Exercice 10 (Tribu trace). Soit (E, A) un espace mesurable et B ⊂ E. Montrer que A B = {B ∩ A ; A ∈ A} est une tribu sur B rendant l’injection canonique mesurable. Montrer que si B ∈ A, A B = {A ∈ A; A ⊂ B}.

Exercice 11 (Tribu produit engendrée). Soit (E, A) et (F, B) deux espaces mesurables. On suppose que A est engendrée par E (σ(E) = A) et B est engendrée par F (σ(F) = B). On suppose de plus que E ∈ E et F ∈ F. Montrer que la tribu produit A ⊗ B sur E × F est engendrée par les ensembles qui s’écrivent A × B avec A ∈ E et B ∈ F.

Exercice 12. Soit (E, A) un espace mesurable et f , g des applications mesurables de E dans R+ muni de la tribu borélienne. On souhaite montrer que les ensembles suivants appartiennent à A :

A = {x ∈ E, f (x) < g(x)}, B = {x ∈ E, f (x) 6 g(x)}, C = {x ∈ E, f (x) = g(x)}.

1. Montrer que A = A =

⋃

q ∈Q

{x ∈ E ; f (x) < q < g(x)}. En déduire que la tribu A contient A.

2. En déduire que B et C appartiennent également à A.

Exercice 13. Montrer que la fonction suivante est discontinue sur Q est continue sur Q c^ :

f (x) =







1 si x = 0, 1 /q si x = p/q, p ∈ Z, q ∈ N∗^ premiers entre eux, 0 si x irrationnel.

Exercice 14 (Algèbre des fonctions étagées). Montrer que l’ensemble des fonctions étagées de (E, A) dans (C, B(C)) est une algèbre. On écrira notamment la stablilité par addition et multiplication.