Exercices corrigés mesure, Exercises of Mathematics

Download Exercices corrigés mesure and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity! Licence Mathématiques 3e année MATH602 : Intégration Tribus, Fonctions Mesurables Exercice 1 (Réunion et intersection dénombrables). 1. Déterminer les ensembles suivants : ⋃ n∈N∗ [ 0, 1− 1 n ] , ⋂ n∈N∗ [ 0, 1 n [ , ⋃ n∈N∗ [ 1 n , 1 + 1 n [ , ⋃ k∈N∗ ∞⋂ n=1 [ k − 1 n+ 1 , k + 1 n [ . 2. Soit (fn) et f des applications de E dans R. Interpréter l’ensemble suivant : ∞⋂ n=1 ∞⋃ k=1 ∞⋂ i>k { x ∈ E, |fi(x)− f(x)| 6 1 n } . Exercice 2. Soient X un ensemble non vide et (An)n∈N une suite de parties de X. On définit lim supAn = ⋂ n ⋃ k>n Ak, et, lim inf An = ⋃ n ⋂ k>n Ak. 1. Montrer que lim inf An ⊂ lim supAn. 2. Déterminer lim supAn et lim inf An dans les exemples suivants : • la suite (An)n∈N est croissante ; • la suite (An)n∈N est décroissante ; • ∀n ∈ N, A2n = A et A2n+1 = B où A ⊂ X, B ⊂ X ; • X = R et pour tout n, An = [ 2 + (−1)n+1, 3 + 1 n+1 ] . Exercice 3 (Points de discontinuité d’une fonction croissante). Soit f : R→ R une fonction croissante. 1. Montrer que f admet des limites à gauche lim y→x− f(y) et à droite lim y→x+ f(y) finies en tout point. 2. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de f est dénombrable. Indication : considérer, pour n > 1, les ensembles An = { x ∈ [−n;n] ; lim y→x+ f(y)− lim y→x− f(y) > 1 n } . Exercice 4 (Limite supérieure de suites). Soient (an) et (bn) des suites de R minorées par une constante. Montrer que lim sup(an + bn) 6 lim sup an + lim sup bn. Donner un exemple de suites bornées pour lesquelles l’inégalité ci-dessus est stricte. Que dire de lim sup(an − bn) ? Exercice 5 (Ensemble de convergence). Soit (E,A) un espace mesurable et (fn) une suite de fonctions mesurables de E dans R. Montrer que l’ensemble A = {x ∈ E, la suite (fn(x))n est convergente} est un élément de A. Indication : R est c- - - - - t ou alors lim sup Exercice 6. Donner un exemple de suite décroissante d’ensembles (An)n∈N telle que pour tout n, An est (de cardinal) infini et ∩nAn = ∅. Exercice 7 (Image et image réciproque). Soient E et F deux ensembles, f une application de E dans F . 1. Montrer que pour toute partie Y de F , on a f−1(Y c) = (f−1(Y ))c. Donner des exemples d’applications f : E → F et de partie X de E telles que (i) f(Xc) ⊂ f(X)c, (ii) f(Xc) ⊃ f(X)c, (iii) aucune inclusion n’est satisfaite. Ph. Briand & K. Kurdyka 1 Université Savoie Mont Blanc