Exerc´ıcios de Mecˆanica II - Aula 6
(O problema de Kepler e elementos de Delaunay)
IFUSP - Mar¸co 2023
Exerc´ıcio 1 Fa¸co referˆencia `as equa¸c˜oes enumeradas por (12) nas notas manuscritas mecanica aula6,
de energia e momento angular do movimento de Kepler em coordenadas polares:
E(r, θ) = 1
2˙r2+p2
θ
r2−1
repθ=r2˙
θ(1)
a. Use a conserva¸c˜ao de energia E(r, θ) = E, com E∈Ruma constante, para mostrar que a
´orbita r=r(θ)de Kepler satisfaz a seguinte equa¸c˜ao
dr
dθ =r
pθq2Er2+ 2r−p2
θ.(2)
b. Como (2) ´e separ´avel, integre esta equa¸c˜ao para E < 0e mostre que a ´orbita de Kepler r=r(θ)
descreve uma elipse.
Dica. O raio vetor x(t) = (r(t), θ(t)) da part´ıcula sobre o plano osculador em (1) est´a parametrizado
pelo tempo. Como pθ>0 ´e constante, θ=θ(t) ´e uma fun¸c˜ao mon´otona crescente e invers´ıvel.
Denotamos por t=t(θ) a inversa de θ=θ(t), r(θ) = r(t(θ)) = r◦t(θ) ´e a composta de r(t) com
a inversa t(θ). Para a resolu¸c˜ao do item a., use em (1) que a derivada de r(θ) satisfaz a regra da
cadeia r′(θ) = ˙r(t)t′(θ) juntamente com a regra de deriva¸c˜ao da fun¸c˜ao inversa: t′(θ)=1/˙
θ(t).
Exerc´ıcio 2 Considere o sistema de equa¸c˜oes de primeira ordem (veja eq. (13) das notas manuscritas
mecanica aula6)
˙r=pr
˙pr=p2
θ
r3−1
r2(3)
no plano de fase r×pr, relacionado com o problema de Kepler. Obtenha o retrato de fase deste
sistema utilizando o Mathematica (ou outro programa de computa¸c˜ao alg´ebrica de sua familiari-
dade), dado pelo gr´afico da fam´ılia de curvas onde residem as solu¸c˜oes deste sistema. As curvas
com E < 0s˜ao fechadas em torno do ponto cr´ıtico (p2
θ,0) e abertas para E > 0, incluindo sua
separatriz: E= 0.
Dica. Leia as notas manuscritas mecanica aula1-cont, p´ags. 33-38, sobre conserva¸c˜ao de energia e
plano de fase.
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