Mecânica Quântica II – Lista de exercícios 2
1. Considere uma partícula de massa 𝑚 presa a uma caixa cúbica de lado 𝐿. Essa caixa é
dividida em oito pequenos cubos iguais de lado 𝐿/2 por paredes bem finas. Com base
nisso:
a) Escreva a hamiltoniana para esse sistema.
b) Obtenha os autovalores dessa hamiltoniana para o estado fundamental e
primeiro estado excitado, usando teoria de perturbação até primeira ordem.
2. Seja um sistema descrito por uma Hamiltoniana H, hermitiana, cujos autovalores e
autoestados são dados por 𝐸 e |𝑛⟩, com 𝑛 = 0,1,2, …. Mostre que a grandeza 𝐸
=
𝜑𝐻𝜑
𝜑𝜑≥ 𝐸, se o estado |𝜑⟩ for ortogonal ao estado fundamental dessa hamiltoniana.
3. Use o método variacional para estimar a energia do primeiro estado excitado de um
poço infinito unidimensional de largura 𝐿. Discuta a escolha da função de onda
estimada. Compare com o valor verdadeiro. Obs: não é permitido o uso de funções
senos ou cossenos para estimativa do estado.
4. Considere uma partícula de massa 𝑚 em um potencial de oscilador harmônico
truncado, isso é, 𝑉(𝑥)=
𝑘𝑥, para 𝑥 ≥ 0 e 𝑉(𝑥)= ∞ para 𝑥 < 0. Calcule a energia
do estado fundamental desse sistema usando o método variacional. Use como
estimativa para a função de onda ⟨𝑥|ψ⟩= 𝑥𝑒 , onde 𝑏 é um parâmetro livre.
Compare o resultado obtido com o valor exato e discuta.
5. Considere um sistema de dois níveis cuja hamiltoniana tenha autovalores e
autoestados dados por 𝐸, 𝐸 e |1⟩ e |2⟩, respectivamente. O sistema sofre uma
perturbação descrita pelo potencial 𝑉 = 𝑉 (|2⟩⟨1| + |1⟩⟨2|).
a) Obtenha os novos valores de energia para esse sistema de forma exata.
b) Obtenha os novos valores de energia para esse sistema usando teoria de
perturbação até segunda ordem.
c) Obtenha a energia do estado fundamental desse sistema usando método
variacional.
d) Compare os resultados dos itens a), b) e c). Discuta.
6. Considere o mesmo sistema não perturbado da questão 4 mas que agora estará
sujeito a uma perturbação dependente do tempo na forma 𝑉 = 𝑉𝑐𝑜𝑠(ω𝑡) (|2⟩⟨1| +
|1⟩⟨2|). No instante 𝑡 = 0 o sistema encontra-se no estado fundamental |1⟩.
Considerando que a diferença entre os níveis de energia não é próxima a ℏω, deduza a
expressão para a probabilidade de encontrar o sistema no estado excitado |2⟩ para um
instante de tempo qualquer, 𝑡 > 0.
