Oscillateurs exercices corriges, Exercises of Physics

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TD : oscillateurs mécaniques

 



Exercice 01 :  Détermination d’un coefficient de viscosité

1. — Systeme : bille de masse m — R´ef´erentiel d’´etude : r´ef´erentiel du laboratoire consid´er´e galil´eena l’´echelle de l’exp´erience Bilan des force : — poids m−→g — pouss´ee d’Archim`ede : −→ F (^) A = −ρℓV −→g = −ρℓ × 4 π 3

r^3 −→g — force de rappel ´elastique : −→ T = −k (ℓ(t) − ℓ 0 ) −→ez — la force de frottement : fluide

−→

f = − 6 πηr−→v A l’´^ ` equilibre le vecteur vitesse est nul et la somme des force ext´erieur est ´egale au vecteur nul. On peut traduire cela par :

m−→g +

−→

FA +

−→

T = −→ 0 =⇒ mg−→e (^) z − 4 π 3 r^3 ρℓg−→e (^) z − k (ℓeq − ℓ 0 ) −→e (^) z = −→ 0 Soit

ℓ´eq = ℓ 0 +

m − ρℓ 4 π 3 r^3 k g Si la bille est plus dense que le fluide, c’est-`a-dire :

ρℓ < ρ = m 4 π 3

r^3

=⇒ m − ρℓ 4 π 3

r^3 > 0

alors ℓ´eq > ℓ 0 : la masse ´etire le ressort. Si non ℓ´eq < ℓ 0 : la pouss´ee d’Archimede est plus importante que le poids et tenda comprimer le ressort.

2. Appliquons le PFD `a la masse m : m−→a = m−→g + −→ F (^) A + −→ T + −→ f Le mouvement ayant uniquement lieu selon −→ex , donc : −→v = ˙x−→ex et −→a = ¨x−→ex.

Ainsi m¨x = mg − 4 π 3

r^3 ρℓg − k (x(t) − ℓ 0 ) − 6 πrr x˙ Soit mx¨ + 6πηr x˙ + kx(t) = mg − 4 π 3

r^3 ρℓg + kℓ 0 | {z } =kℓ´eq Ainsi x ¨ + 6 πηr m x˙ + k m (x − ℓ´eq ) = 0

En posant X(t) = x(t) − x´eq, avec x´eq = ℓ´eq, on obtient :

X^ ¨ +^6 πηr m

X˙ + k m

X = 0

3. On identifie avec la forme canonique :

X^ ¨ + ω^0 Q X˙ + ω 02 X(t) = 0 Avec

ω 0 = k m

et ω 0 Q

=

6 πηr m

,

soit Q = m 6 πηr

ω 0 , soit encore

Q =

√

mk 6 πrηr

4. D’apr`es l’enregistrement, le r´egime transitoire de la masse est un r´egime pseudo-p´eriodique On en

d´eduit que Q >

L’´equation diff´erentielle pr´ec´edente n’ayant pas de 2 e^ membre, on n’aura pas de solution particu- lierea rechercher. Equation caract´´ eristique : r^2 + ω 0 Q r + ω^20 = 0

Discriminant :

∆ = ω 02 Q^2 − 4 ω 02 = 4ω^20

Å 1

4 Q^2

− 1

ã

or Q >

=⇒ ∆ < 0

l’´equation caract´eristique poss`ede deux racines complexes conjugu´ees :

r 1 , 2 = − ω 0 2 Q

±

j

p −∆ = − ω 0 2 Q ± jω 0 1 −

4 Q^2

La solution g´en´erale s’´ecrit : X(t) = e−t/τ^ (A cos(ωt) + B sin(ωt))

On pose ω = ω 0 1 −

4 Q^2

, la pseudo-pulsation et τ =

2 Q

ω 0 le temps caract´eristique du mouve- ment.

5. En utilisant le graphique, on peut lire :

X(0) = X 0 = 5, 0 cm et X˙(0) = 0 X(0) = A = X 0 donc X^ ˙ = e−^ τt

ï −

τ

(A cos(ωt) + B sin(ωt)) − AΩ sin(ωt) + Bω cos(ωt)

ò

A^ ` t = 0 : X˙(0) = − A τ

• Bω = 0, donc :

B =

A

ωτ

=

X 0

ωτ Ainsi X(t) = X 0 e−t/τ

Å

cos(ωt) +

ωτ sin(ωt)

ã

6. ´etablissons la formule fournie.

Commen¸cons par exprimer X(t + T ), avec T =

2 π ω

:

X(t + T ) = X 0 e

− t + T τ

Å

cos(ω(t + T )) +

ωτ sin(ω(t + T ))

ã

avec ωT = 2π, donc :

X(t + T ) = e−^ Tτ × X 0 e

− t τ

Å

cos(ωt) +

ωτ sin(ωt)

ã

| {z } =X(t) Ainsi X(t) X(t + T ) = e

T

τ (^) =⇒ δ = T τ

=

ω 0 T 2 Q Pour r´epondre `a la question pos´ee, exprimons T en fonction de ω 0 et : T = 2 π ω

=

2 π

ω 0 1 −

4 Q^2

Ainsi δ =

2 Q

×

2 π

1 −

4 Q^2

=

2 π p 4 Q^2 − 1

Soit 4 Q^2 − 1 =

4 π^2 δ^2 , soit encore :

Q =

π^2 δ^2

+

7. X(0) = 5 cm et X(0 + T ) = 2, 5 cm, on en d´eduit δ = 0, 47 On en d´eduit Q (en utilisant la valeur donn´ee par la calculatrice non arrondie pour δ ) : Q = 6, 7 La pulsation propre peut ˆetre d´etermin´ee `a partir de la valeur de Q et de la pseudo-p´eriode que l’on peut d´eterminer graphiquement : 4 T = 2, 25 s =⇒ T = 0, 5625 s. Or ω 0 = 2 π

T 1 −

4 Q^2

A.N :

ω 0 = 11, 2rad · s−^1

8. La valeur de ω 0 nous permet d’acc´eder `a la masse de la boule : m = k ω 02 , or m = ρ ×

πr^3 , soit

ρ = m 4 3 πr^3 Ainsi ρ = k 4 3 πr^3 × ω^20

= 9, 5. 103 kg · m−^3

L’expression de Q fait intervenir η, que l’on peut donc calculer connaissant Q :

η =

√

mk 6 πQr

=

k 6 πQT ω 0

= 0, 35 kg · m−^1 · s−^1

Unit´e de η :

[η] = [ force ] L.L.T

= M · L−^1 · T −^1

 



Exercice 02 :  Portrait de phase d’un oscillateur harmonique amorti

1. Il s’agit du r´egime pseudo-p´eriodique : pr´esence de frottements, la courbe de phase n’est pas ferm´ee. Elle se termine en un point d’´equilibre stable (ici le point O), appel´e attracteur.
2. Par lecture graphique on obtient : — Par lecture directe du diagramme :

x 0 = 3 cm et xf = 0 cm — De mˆeme, la pseudo-p´eriode vaut : Ta = 315 ms — Le d´ecr´ement logarithmique est :

δ = ln

Å (^) x(t) x(t + Ta)

ã = ln

Ç

3. 10 −^2

1 , 6. 10 −^2

å = 0, 628

3. L’´equation diff´erentielle du mouvement est : x ¨ + ω 0 Q x˙ + ω^20 x = 0 avec

ω 0 = k m

; Q =

mω 0 λ Sa solution est : x(t) = e−t/τ^ [A cos(ωt) + B sin(ωt)]

avec τ =

2 Q

ω 0 et ω = ω 0

4 Q^2

− 1

4. On montre que :

δ =

T

τ

=

ω 0 2 Q

.

2 π

ω 0

4 Q^2

− 1

=

2 π p 4 Q^2 − 1

soit

4 Q^2 = 4 π^2 δ^2

+ 1 =⇒ Q =

s π^2 Q^2

+

= 5

on sait que la pseudo-pulsation est :

ω = ω 0

4 Q^2

− 1 =

2 π Ta =⇒ ω 0 = 2 π 1 4 Q^2

− 1

= 20, 1rad.s−^1

on a aussi k = mω^20 = 201N.m−^1 et λ = mω 0 Q = 2kg.s−^1

 

 Exercice 03 : (^)  Résonance en vitesse

1. Systeme ´etudi´e : masse m R´ef´erentiel d’´etude : R´ef´erentiel terrestre consid´er´e galil´eena l’´echelle de l’exp´erience Bilan des actions m´ecaniques : — poids m−→g ⊥ −→ex — r´eaction normale du support

−→

RN ⊥ −→ex — force de frottement fluide :

−→

f = −h−→v = −h x˙−→ex — force de rappel ´elastique exerc´ee par le ressort 1 : − F→ 1 = −k 1 (ℓ 1 (t) − ℓ 10 ) −→e (^) x — force de rappel ´elastique exerc´ee par le ressort 2 :

−→

F 2 = −k 2 (ℓ 2 (t) − ℓ 20 )

−−→ex

A l’´^ ` equilibre : −→v = −→ 0 et la somme des forces est ´egale au vecteur nul. m−→g +

−→

RN +

−→

F 1 +

−→

F 2 +

−→

f = −→ 0 Soit −k 1 (ℓ´eq1 − ℓ 10 ) + k 2 (ℓ´eq2 − ℓ 20 ) = 0 or quand le point d’attache n’oscille pas L = ℓ´eq1 + ℓ´eq2. Ainsi k 1 ℓ´eq1 − k 2 (L − ℓ´eq1) = k 1 ℓ 01 − k 2 ℓ 02 soit ℓ´eq 1 = x´eq =

k 2 L + k 1 ℓ 01 − k 2 ℓ 02 k 2 + k 1

2. On applique le PFD `a M (m) dans le r´ef´erentiel terrestre galil´een :

m−→a = m−→g + − R→N + −→ F 1 + −→ F 2 + −→ f En projection selon −→ex : mx¨ = 0 + 0 − k 1 (ℓ 1 (t) − ℓ 10 ) + k 2 (ℓ 2 (t) − ℓ 20 ) − h x˙

On voit alors ais´ement : ℓ 1 (t) = x(t) − x 0 (t) et ℓ 2 (t) = L − x(t) Ainsi mx¨ = −h x˙ − k 1 x(t) + k 1 x 0 (t) + k 1 ℓ 10 + k 2 L − k 2 x(t) − k 2 ℓ 20 Soit mx¨ + h x˙ + (k 1 + k 2 ) x(t) = k | 2 L − k 2 ℓ{z 20 + k 1 ℓ (^10) } =(k 1 +k 2 )xcq

+k 1 x 0 (t)

Ce qu’on peut ´ecrire sous la forme : mx¨ + h x˙ + (k 1 + k 2 ) (x(t) − x´eq ) = 0 en posant X(t) = x(t) − x´eq , et en introduisant la pulsation propre ω 0 et le facteur de qualit´e Q :

X^ ¨ + ω^0 Q

X˙ + ω^20 X = k^1 m

x 0 (t)

avec

ω 0 = k 1 + k 2 m

et Q =

p m (k 1 + k 2 ) h

3. Pour ´etudier le r´egime sinuso¨ıdal forc´e, on introduit les grandeurs complexe associ´ees `a x 0 (t), X(t) et v(t) = X˙(t). — x 0 (t) = X 0 m exp(jωt), — X(t) = Xm exp(j(ωt + φ)), — v = Vm exp(j(ωt + ψ)) Amplitudes complexe : X 0 = X 0 m ; X = Xmejφ^ ; V = Vmejψ
4. En notation complexe, l’´equation diff´erentielle s’´ecrit :

jωv +

ω 0 Q v +

ω^20 jω v =

k 1 m x 0

Ainsi :

V =

k 1 m X 0 m

jω +

ω 0 Q

+

ω^20 jω Que l’on peut mettre sous la forme propos´ee en factorisant par ω 0 Q

au d´enominateur :

V =

k 1 Q mω 0

.

X 0 m 1 + Qj

Å (^) ω ω 0

−

ω 0 ω

ã

qui est bien la forme demand´ee, en posant :

α = k 1 Q mω 0

=

k 1 m

×

p m (k 1 + k 2 ) h

×

… (^) m k 1 + k 2

=

k 1 h

5. Pour d´eterminer l’existence d’une r´esonance, il faut rechercher l’existence d’un maximum de l’am- plitude Vm, c’est-`a-dire du module de V : Vm = α

1 + Q^2

Å (^) ω ω 0

−

ω 0 ω

ã 2

Vm est maximale quand son d´enominateur est minimal, puisque le num´erateur ne d´epend pas de ω. Le d´enominateur est minimal quand : ω ω 0

−

ω 0 ω

= 0

c’est-`a-dire quand il est nul, soit pour

ω = ω 0 = k 1 + k 2 m quelque soit le facteur de qualit´e, il se produit une r´esonance en vitesse (c’est-a-dire l’amplitude de la vitesse passe par un maximum) quand la pulsation de l’excitation est ´egalea la pulsation propre.  

 Exercice 05 : (^)  Portrait de phase d’un oscillateur harmonique amorti

1. A l’´equilibre, on ´etudie la masse M dans le r´ef´erentiel de la route suppos´e galil´een. Les forces en pr´esence sont uniquement le poids et la force de rappel ´elastique. On applique le PFDa l’´equilibre : −→ P +

−→

F = −→ 0 =⇒ −mg + k (zM,eq − zR,eq − ℓ 0 ) = 0 soit zM,eq = ℓ 0 + r −

mg k

2. On cherche a d´ecrire ici la r´eponsea un ´equivalent d’´echelon de tension pour cet oscillateur m´eca- nique amorti. On ´ecrit donc l’´equation diff´erentielle associ´ee `a la position de la masse M. On r´e´ecrit le PFD dans ces nouvelles conditions : d−→p dt = m−→a =

−→

P +

−→

F +

−→

F (^) d

soit m¨zM = −mg − k (zM − zR − ℓ 0 ) − α

Å (^) dz M dt

−

dzR dt

ã

soit avec zR = r + h apr`es avoir mont´e la marche, on peut r´e´ecrire l’´equation pr´ec´edente sous forme canonique : z ¨M + α m

z˙M + k m

zM = k m



ℓ 0 + r + h − mg k



On peut donc poser ω 0 = k m et Q = mω 0 α

.

La forme g´en´erale de la loi d’´evolution de zM(t) s’´ecrit donc :

zM(t) = Ae−t/τ^ cos(Ωt + φ) + zM,eq + h

avec τ =

2 Q

ω 0

et Ω = ω 0 1 −

4 Q^2

(que l’on retrouve `a partir du polynˆome caract´eristique). II n’est pas demand´e de r´esoudre l’´equation, mais au moins de respecter les conditions aux limites pour effectuer un trac´e. Sachant que zM

t = 0+

= zM

t = 0−

= zM,eq et z˙M

t = 0+

= 0 car on pr´ecise que la vitesse verticale est nulle. On calcule ω 0 = 6, 1rad · s−^1 et Q = 3, 03 donc Ω ≃ ω 0 D’o`u l’allure suivante, avec une tangente horizontale :

3. a) On a zs(x) = H cos(kx) = H cos

Å (^2) πx λ

ã est la forme classique d’un signal sinuso¨ıdal de p´eriode spatiale λ. Or, la vitesse est vx, constante, donc x(t) = vxt d’o`u :

zs(t) = H cos ωt avec ω = 2 πvx λ b) Ecrivons de nouveau le PFD projet´´ ee suivant l’axe vertical, mais en consid´erant que zR = r+zs :

mz¨M = −mg − k (zM − zR − ℓ 0 ) − α ( ˙zM − z˙R) soit en r´eorganisant les termes et sous forme canonique :

z ¨M +

ω 0 Q z˙M + ω^20 zM = ω^20



r + ℓ 0 −

mg k



• ω 02 z 5 +

ω 0 Q z˙s

En posant Z(t) = zM − zM, eq , on ´elimine la partie constante du membre de droite, d’o`u :

Z^ ¨ + ω^0 Q Z˙ + ω^20 Z = ω 02 zs + ω^0 Q z˙s = F (t)

c) La position Z est, en r´egime sinuso¨ıdal forc´e, sinuso¨ıdale de mˆeme pulsation que le for¸cage F (t), donc de pulsation ω. Puis avec v = ˙zM = Z˙, la vitesse est ´egalement sinuso¨ıdale de pulsation ω. d) On passe l’´equation pr´ec´edente en notations complexes, sachant que v = Z˙ donc V (^) m = jωZm : Å −ω^2 + j ωω 0 Q

• ω^20

ã Z = Fmejωt^ =⇒

Å

−ω^2 + j ωω 0 Q

• ω 02

ã (^) V m jω = Fm

donc en isolant V (^) m puis en prenant le module :

V (^) m =

Fm

jω +

ω 0 Q

+

ω 02 jω

=

FmQ ω 0 1 + jQ ω ω 0

− jQ ω 0 ω

d’o`u :

Vm =

FmQ Q

1 + Q^2

Å (^) ω ω 0

−

ω 0 ω

ã 2

e) En introduisant la pulsation r´eduire x = ω/ω 0 , il vient :

Vm(x) =

Q

ω 0 1 + Q^2

Å

x −

x

ã 2

dont l’allure graphique est donn´ee ci-apr`es.

f) On a vx, 0 = ω 0 λ 2 π = 4, 9 m · s−^1 = 18 km · h−^1. II vaut donc mieux soit plus lentement, soit plus vite que cette vitesse. Techniquement, il est difficile de rouler vraiment plus lentement, on a tout int´erˆet a avoir vx ≫ vx, 0 d’apres le graphique de Vm.  

 Exercice 06 : (^)  Étude de la suspension d’un véhicule (Bis)

1. Dans le r´ef´erentiel terrestre consid´er´e comme galil´een, le systeme S est soumisa : — son poids −→p = m−→g , — la tension du ressort

−→

F = −k(ℓ − ℓ 0 )−→u (^) z ; — la force de frottement fluide −→ f = −μ−→v. Le principe fondamental de la dynamique s’´ecrit m−→a = m−→g − k(ℓ − ℓ 0 )−→u (^) z − μ−→v ou en projection sur la verticale dirig´ee vers le haut

mz¨ = −mg − k (ℓ − ℓ 0 ) − μ z˙

A l’´equilibre z¨ = ˙z = 0 donc −mg − k (ℓeq − ℓ 0 ) = 0 ou encore ℓeq = ℓ 0 − mg k

.

En prenant la position d’´equilibre comme origine sur l’axe Oz, on a ℓ = ℓeq + z. Finalement en reportant dans l’´equation du mouvement, on en d´eduit :

z ¨ + μ m

z˙ + k m

z = −mg − k (ℓeq − ℓ 0 ) = 0.

2. L’´equation caract´eristique r^2 + μ m r + k m

= 0

admet comme discriminant

∆ =

 (^) μ m

 2

− 4

k m

= − 286 < 0

On a donc un r´egime pseudo-p´eriodique.

3. Les solutions de l’´equation caract´eristique sont

r =

μ 2 m ± j

k m

−

 (^) μ m

 2

donc

α =

μ 2 m et ω =

k m

−

μ^2 4 m^2 soit num´eriquement α = 1, 33 s−^1 et ω = 8, 46rad.s−^1.

4. La pseudo-p´eriode T est

T = 2 π ω

=

» 2 π k m −^ 1 4

(^) μ m

2 = 0,^ 74 s.

5. La vitesse s’´ecrit

z ˙ = A(−α cos(ωt + φ) − ω sin(ωt + φ))e−αt. Les constantes d’int´egration A et φ s’obtiennent en utilisant les conditions initiales z(0) = z 0 et z ˙(0) = 0 soit : z(0) = A cos φ = z 0 et z˙(0) = −A(α cos φ + ω sin φ) = 0. On en d´eduit tan φ = −

α ω et A =

z 0 cos φ

.

Or 1 + tan^2 φ =

cos^2 φ donc cos φ =

p 1 + tan^2 φ et finalement

A =

√

ω^2 + α^2 z 0 ω

.

Les applications num´eriques donnent φ = − 8 , 93 ◦^ et A = 5, 06 cm.

6. On a un r´egime ap´eriodique critique si le discriminant de l’´equation caract´eristique est nul soit :  (^) μ m

 2

− 4

k m

= 0

Donc k =

μ^2 4 m =⇒ μ = 2

√

mk = 5, 14 · 103 kg · s−^1.

7. La solution s’´ecrit

z = (At + B)e−αt. Les constantes A et B s’obtiennent `a partir des conditions initiales soit avec l’expression de la vitesse z ˙ = (A − αB − αAt)e−αt on obtient les relations :

z(0) = B = z 0 et z˙(0) = A − αB = 0.

On en d´eduit B = z 0 et A = αz 0. Finalement on a

z = z 0 (αt + 1)e−αt.

Par ailleurs μ = 2

√

mk et α = μ 2 m

=

k m

= ω 0 ,

on en d´eduit

z = z 0 (ω 0 t + 1) e−ω^0 t.

Comme le r´egime critique permet le retour le plus rapide a l’´equilibre, il est int´eressant de chercher ce type de r´egime de maniere a ce que la perturbation li´eea la bosse disparaisse au plus vite.