Théorie puissances et racines, Study notes of Mathematics

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Puissances…

Théorie

20.08.2024 07:

Théorie 20.08.2024 | 4 1.1. 07:37 Puissances... CHAPITRE 1 : PUISSANCES ET RACINES Puissances Définition : Soit n un entier strictement positif et a un nombre réel. On appelle puissance n-iéme de a, ou a A la puissance n, le nombre noté @ = @ sag. n facteurs Le nombre @s'appelle Ia base de la puissance, et le nombre WS Sppellelexposant de la puissance Convention : a! =1 (440) Ay O° n'est pas defini, Exemples : a) 3'= 3-3-3524 b) (-2)8 = @2)-G2)-(-2 4-2) €2) = -32 ec) O18 = 0, ecaDe4 d) = A Propriétés : Soit m, n des entiers et a, b des nombres réels. Les propriétés des puissances sont : 2.| (a")™ = (a™)" =a™ ; 3 2 a) (2)* = 2°. 28 b) as? 2= (2°) - (23). 2" 23 . 22. 23%. 24 2 2 28 94 6+6e4 = a 3 (aby" =a"-p" ~ = 2 . As 3 a) (2-3)? = 27.3" 2 4.3 = 36 b) 23. (-1)8-5* = (2.Ga)-5) 7 3 5 = (-do) = ~J000 ay’ _ at t a ~mO a ‘ (F ge FO) nr ers 2 2 1\3 | (-4) cA gy? (2°) 3°" 3 é 9) Se »(4)-S5-4,-5 (2° 2 2 a 1 5. Sa (a 40) 26 >? 3 aH o52.5° so <3 S-9 a) po = Z b) eu = = = =S ° 5 = S = J oad a om -W oe 6. (a #0) av > a = a 3 aA A 4 eB 4383, 54%_ ALY 6) (5) = an > S48 > BS a) z= 2 22 iT (“yt S i ; 3 S39 8 Lts 42. LA b) 22°)" = 2°.x 2 2-x aGeL - mF -S Ss 62S = 4, = a7 A A a = xs ~ Q YRS Zs Sx aS 7. @P- F woe0 . 5 »('-@) Ee -8 (ey (BY. bo Lk yes ye (By. wee 7 B az ze gl? A AD cofai bits Exemples : Cot. merctedi 21.08 AS x At a vendrod 23.08 En utilisant les propriétés ci-dessus, simplifier les expressions suivantes : At ae 6 ‘ a8 ise words 21-08 ») aby® wt 8 of b* ght Lous apt 6 al (gaib?)" (a? 34 pk bt” Be” a. = oy 3 af zu ; -u py) (22 ue)" (arty ?\ 7 _ 2°x s 2x “4 3-U4Z 3 33-6 -F HAUSE ~10 >) . - = : = 3 x Bayo? 2y-> asxF ar’ - 10 4 )Racine carrée/ Définition : Soit 2 un nombre positif (a > 0). La racine carrée de a est ‘unique nombre positif r (r > 0) tel que r? =a Z roa @ r=a Notation : Ya= Va Exemples : d) V-a W exiche wo ( daus ey e) a= -2 a) vo = 3, b) v2= ineduckille, . -2 = c) O= 0 ) -V-T urmiske tn Ne pas confondre : Vi- 2 et e-15s-4-2;25 Propriétés : Soite,b ¢ RletkeR : 1 | ab = va-vb a) V5-V5= IZS = Ss c) Va-ya= Sa » wy b) i= [23 2 TR, a) V3-V21= Je. 13-4 = 3F G ue —~ 34 3 2. >= A A = 3 b) v0.25 = ¢-#-f-es nae wos A a Too ~ 20 7 3. | Vay = Va- Va... va =a & facteurs i 3 lnm s a) VF= (FRY = 3 = 24 b) Va2= (25 -({z) oi2-@ lz -ce-S2 - 2-2-0 = 4fz 2 i 4 far" - Tot = a- | va b=ave a) Vi8S= faz = [9-52 = Bz b) V75 -Ee = SE En utilisant les propriétés ci-dessus, écrire les expressions suivantes sous la forme ay'b, avec a et b deux Siz — Exemples : entiers, b le plus petit possible : a) 3v2410v2= (B4u0 Jz = Jalz =— b) VS-2V3+ VI8+3VI2= [U2 - 2.$F 4 (9-2 +2 fae = 202 gee (sve + ee = Siz ue 4 a Rationalisation: Eyfeser Qa race du danonre noceur La rationalisation consiste A rendre rationnel (enlever la racine) le dénominateur d'une fraction : Ex.14 abdela ‘yu —— natetads 2 K.08 A A » 4/27. & » 2 ee, Zhe fre "73 || > 3 Viz log Ki - = $ Gs gs _ 8 6 #3 34 Exsirz abed Racine n®™* Définition : Soit 2 un nombre réel (a € R). La racine n {n € N°). de a est Punique nombre réel r (r € R) tel que r® =a a svappelle le radicande. n Vindice ct {/ le radical. Remarque : Exemples : Waar = S a) v qa Ss b) WORT Wexiste por Cor Une udaoki 4 . OA, une Wwe pre S Propriétés des racines n*™* | vam = (way a) W272 Puissances A exposants fractionnaires ve (w s Ze \’ zB Introduction : 7? Si Que signifie 125 Uy - xs 857 2 (x? es” x Tess 2f- Ws = X =Nyes? avec a@€Rt et peZ.qeNt Remarque : Les propriétés des puissances restent valables. Exemples : 4k Ip ga oy tha Yuk Te (4 -(2*)*22*.2t.2 | 4 4 We \y, uy pts OY = eh ee (8029. A a8 as) A A A _A A ( 2p 3578 we ata = s 22> (qe 7 7-2 ° ae Mg “ea 3 3 (3) {) - =? 5 a) at at fared - Yat. fo - Vata - You oF. ot (te Mas Why = a ) = Ufqu é 4], 1 =a e at ius =z <6 2, \4 Me 4l Va" ) (a) faz Laz Vos (() = -o a) 4 ai My - 2 a4 A 4 pa A GES 7 “le Nd —_ f 4 ag 3 q van XX es ae — 3 —— Y, & by = 24 = 2 ‘(28 2 2J2 440 ab) cd) a) mF == 8=U-2 4-44 Oe) 0) adidk) wn pair --. 2 sof apt aro wy anpocc «A sok - aX ace ~a frie Oak Equations du type 2” =a@ *{*"*--. Ase2 Soit l'équation | = avec m € N (entier positif). Si apo . : Péquation posséde fieux solutions}: 2, = Wa et r, = — ya Exemple : Mu45 Xa =Q ry ab x,<—1) q = -2 . ‘m impair : Péquation posséde line solution|: 2 = Exemple O27 = S= (#238 Xx=4za = VP- x S={3)\ Sia2o: . léquation ne posséde (aucune solution) Exemple : 2? = —4 > Se p . m impair Péquation posside fine solution : « = ya Exemple:2*=-27> y J Vey . ay 2 -e S.2 Exemples : pir par oxi! Se = wtaoht a) O=15 eH} c) a= -15 b Z eh S-[+¥s'3 S=9 = _ b) 3r*-36=0 | 236 d) 32° +36 =0 | - 36 Bx? = 36 Jar B3x* = -36 worry, _ posh}. seogee £. -42 nigatil A sob A sob S: jor S S; _ vals ——— JMG aae A.20 4.24 A AF ald)