la théorie du portefeuille, Essays (university) of Economics

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La théorie du portefeuille

Philippe Bernard

Ingénierie Economique et Financière

Université Paris-Dauphine

Novembre 2007

1 Risque et analyse économique

La théorie financière moderne, dont le développement date des années 50, est le produit de la rencontre de l’économie mathématique classique et de la théorie des choix dans l’incertain. La fondation d’une théorie des choix rigoureuse s’est révélée particulièrement capitale. La théorie économique qui s’est progressivement développée du XIX`eme^ siècle jusqu’à Value and Capital de John Hicks [Hic39] (exclus) était essentiellement statique et suppo- sait une information parfaite, une absence de risque. En dépit des efforts de Bernouilli, les applications de la théorie des choix dans l’incertain à l’économie furent très rares. Parmi elles, on peut relever la théorie de l’assurance de Barrois [Bar34] 1 , celle d’Edgeworth [Edg88] sur la couverture des dépôts bancaires. Wicksell [Wic96], dans son chapitre VI, appliqua les raisonnements d’Edgeworth à la détermination de l’encaisse optimale des entreprises. Enfin, dans l’appendice de The nature of capital and income [Fis06], Irving Fisher, un des pères fondateurs de l’économie mathématique au Etats-Unis, analysa les rendements des actifs financiers en terme de distributions ; il y proposa notamment de me- surer par l’écart-type l’incertitude affectant les rendements d’un capital et ses rendements. Mais, vingt ans plus tard, dans le chapitre XIV de son Theory of Interest [Fis30] il affirma que l’analyse du risque ne relevait pas de l’analyse mathématique! Dans la théorie moné- taire des années 30, les travaux pionniers de John Hicks [Hic35] [Hic39], Jacob Marschak [Mar38] recoururent au critère espérance/variance. Marschak [Mar38] poussa même l’au- dace jusqu’à exprimer les préférences sur l’investissement par des courbes d’indifférence dans le repère moyenne / variance tout en avançant l’hypothèse :

“The unsatisfactory state of Monetary Theory as compared with General Economics is due to the fact that the principle of determinateness so well esta- blished by Walras and Pareto for the world of perishable consumption goods and labor services has never been applied with much consistency to durable goods, and still less, to claims (securities, loans, cash).” (Jacob Marschak, 1938, [Mar38] p.312) Néanmoins, en dehors de ces valeureux efforts, la théorie de la finance conservait une (^1) Mais cette étude recourait au critère pascalien de l’espérance mathématique.

On suppose qu’il existe différents agents i = 1, ..., I. Chaque agent est doté à la période 0 d’une richesse W i. Il peut investir celle-ci dans différents actifs risqués a = 1, ..., A. Chaque actif est défini par son prix qa (fixé à la période 0 ), par son revenu futur. Celui-ci est généralement incertain et donc représenté par une variable aléatoire Vea. Le prix et le revenu alétoire définissent donc le rendement aléatoire du titre Rea :

R^ ea = Vea qa^ (1) Le rendement espéré et la variance de l’actif a^ sont notés Ra et σ^2 a. Si un actif certain était présent, son indice serait 0. Chaque agent doit déterminer la part xia de sa richesse initiale à investir dans l’actif a. Si l’on note xi^ le vecteur colonne défini par ces différents choix :

xi^ =

xi 1 ... xia ... xiA

la contrainte (budgétaire) des choix possibles s’écrit : X a

xa = 1 >xi^ = 1 (2)

où (.)>^ est la transposé de (.). xia < 0 est supposé possible : économiquement, la vente à découvert est donc possible. Le revenu final de l’agent i s’écrit lui :

W^ f i^ = R.xi.W i^ (3)

où R est le vecteur ligne des rendements. L’hypothèse principale sur laquelle repose la théorie du portefeuille à la Markowitz ainsi que le MEDAF est qu’il est possible de représenter les préférences des agents sur les portefeuilles par des fonctions d’utilité ne dépendant que (de manière croissante) du rendement attendu de celui-ci et (de manière décroissante) de la variance du revenu de ce même portefeuille. Ainsi si l’on note fW et fW 0 deux profils aléatoires de revenus futurs, W et W 0 leurs espérances, σ^2 W et σ^2 W 0 leurs variances, alors l’hypothèse d’épérance - variance revient à supposer la propriété suivante :

Hypothèse 1 L’utilité d’une distribution de la richesse dépend uniquement de l’espérance et de la variance de la richesse terminale :

fW Â Wf 0 ⇔ U(W , σ^2 W ) > U(W 0 , σ^2 W 0 ) (4)

où Â est le pré-ordre “strictement préféré(e) à”, U est l’indice d’utilité ordinale représen- tant Â.

Grâce à cette hypothèse, l’analyse de portefeuille se résume à une analyse espérance variance. En effet, pour tout portefeuille x sélectionné, si l’on note Rp et σ^2 p le rendement espéré et la variance du portefeuille, l’utilité de l’agent considéré s’écrit U ¡RpW, σ^2 pW 2 ¢. Comme W est une donnée du problème, on peut alors redéfinir l’indice d’utilité uni- quement sur l’espérance et la variance du rendement du portefeuille. On peut en effet substituer à la fonction U la fonction V suivante :

V : < × <+ → < V ¡Rp, σ^2 p^ ¢^ = U ¡RpW, σ^2 pW 2 ¢ Cette hypothèse est vérifiée pour certaines restrictions couramment utilisées en finance et en économie. Nous en présentons ici trois exemples. Lorsque la fonction d’utilité élémentaire est quadratique, i.e. par exemple de la forme w − k.w^2 , le critère espérance s’applique puisque :

U = E [u( we)] = E £ we − k we^2 ¤^ = E [ we] − k. ¡E [ we]^2 + σ^2 w^ ¢

où : E [.] est l’opérateur espérance, σ^2 w la variance de la richesse. L’utilité dépend ainsi uni- quement de l’espérance et de la variance. Cette première spécification, utilisée notamment par Markowitz, a cependant certaines propriétés contradictoires avec les faits stylisés : (a) l’utilité n’y est pas toujours croissante croissante de la consommation ; (b) avec une telle fonction, l’actif certain (la monnaie) est un bien supérieur et sa part dans le portefeuille est croissante du revenu.

Une autre manière de justifier l’espérance - variance est de supposer que les rendements sont des variables aléatoires dont la distribution suit la loi normale. Comme le suggèrent

Fig. 3 — Evolution de l’indice des actions en France de 1990 à 1995 (données quotidiennes) et la distribution des rendements quotidiens. (source : Aparicio & Estrada (2001))

Fig. 4 — Evolution de l’indice des actions en Allemagne de 1990 à 1995 (données quo- tidiennes) et la distribution des rendements quotidiens. (source : Aparicio & Estrada (2001))

Fig. 5 — La distribution des rendements trimestriels de l’indice du Standard & Poor’s 500 de 1926 à 1995.

les figures 1, 2, 3, 4 pour l’Europe et le monde sur la période 1990-1995 et pour les Etats-Unis sur les figures 5 6, cette hypothèse gaussienne peut être acceptée en première approximation.^2 Le critère espérance / variance est également le bon critère lorsque les variables aléa- toires sont distribuées suivant la loi normale et que les préférences se caractérisent par une aversion absolue à l’égard du risque constante. Dans ce cas, la fonction d’utilité élémen- taire est l’exponentielle négative : u^ (^ we) =^ −e−a^ wh. Lorsque la distribution de la richesse we est normale, N (m, σ^2 w), maximiser l’espérance de l’utilité revient à maximiser E [ we]− a 2 σ^2 w. En effet, si la richesse est une variable aléatoire normale we d’espérance mathéma- tique m et d’écart type σ, l’utilité de von Neumann (espérance mathématique de l’utilité élémentaire) U s’écrit :

U = E(u) = − (^) σ√^12 π.

Z +∞

−∞ e−ν.w^ e−^12 .(^ w−σ^ m)^2 dw

Posons s = w−σm , on a alors :

w = σ.s = m, dw = σ.ds

L’espérance d’utilité peut donc être réécrite de la manière suivante :

U = − (^) σ√^12 π.

Z +∞

−∞ e−ν(σs+m)^ e−^ s^22 σ.ds

= −e

−νm √ 2 π.

Z +∞

−∞ e−^12 .(s^2 +2σνs)^ ds = −e

σm √ 2 π.

Z +∞

−∞ e−^12 .[(s+σν)^2 −^ σ^2 .ν^2 ]^ ds

= −e

−νm+ ν^22 σ^2 √ 2 π.

Z +∞

−∞ e−^12 .(s+σν)^2 ds

Posons : t = s + σν, dt = ds

On obtient alors :

E(u) = −e−νm+^12 .ν^2 .σ^2 × √^12 π

Z +∞

−∞ e−^ t^22 dt (^2) Cependant, les fréquences effectivement observées des valeurs extrêmes des rendements sont sensible- ment supérieures aux fréquences permises par des lois normales. Parmi les distributions les plus courantes, la distribution de Student apparaît fréquemment comme la meilleure approximation. Voir Aparicio & Estrada [2001] [AE01].

Le second membre est égal à 1. L’espérance d’utilité est donc reliée à la moyenne et à la variance de la manière suivante :

E(U) = −e−ν[m−^12 .ν.σ^2 ]

Maximiser l’espérance d’utilité revient donc à maximiser m − 12 .ν.σ^2. La courbe d’indiffé- rence (m, σ^2 ) correspondant au niveau d’espérance d’utilité U a donc pour équation :

m =^12 .ν.σ^2 + Log ν^ U Enfin, une dernière ligne de défense de l’espérance variance la présente comme une approximation. En effet, selon l’importance du risque de portefeuille, le problème général peut être approximativement assimilé soit au problème d’un agent neutre au risque, soit au problème d’un agent “quadratique” :

Proposition 1 Si la richesse finale est la somme du revenu aléatoire du portefeuille fW d’une richesse certaine W 0 , alors le problème financier de l’agent considéré est approxi- mativement : (i) de maximiser l’espérance de son revenu fW , EWf , si

³ (^) iW W 0

est uniformément suffi- samment petit^3 ; (ii) de maximiser une fonction V définie uniquement sur l’espérance et la variance de fW si

³ (^) wh W 0

est uniformément suffisamment petit. démonstration : On note W l’espérance de la richesse investie dans des actifs risqués, σ^2 W sa variance. (i) Si

³ (^) wh W 0

est petit alors u(W 0 + fW ) peut être approximé par un développement de Taylor d’ordre 1 autour de W 0 :

u(W 0 + Wf ) ≈ u(W 0 ) + u^0 (W 0 )fW

les termes d’ordre supérieur du développement limité étant négligeables. Comme u(W 0 ) et u^0 (W 0 ) sont fixes, l’espérance de l’utilité vérifie :

Eu

W 0 + fW

≈ u(W 0 ) + u^0 (W 0 )E

hf W

i

(^3) Rappelons que si^ ³^ WiW 0 ´^2 est petit alors tous les autres termes^ ³^ WiW 0 ´n , n > 2 , le seront aussi.

1. la première permet de déterminer la frontière d’efficience des portefeuilles, i.e. l’en- semble des portefeuilles minimisant les risques à rendement moyen donné ;
2. la seconde conduit à confronter ce que désire l’agent et ce que propose le marché, i.e. à confronter les préférences à la frontière des portefeuilles efficients. La première étape, sans doute la plus importante des deux, revient à analyser les opportunités qu’offre le marché en terme d’arbitrage rendement / risque.

3 La frontière des portefeuilles efficients

Le problème du détenteur du portefeuille est de choisir le rendement le plus élevé à risque donné, ou inversement pour un rendement donné de minimiser le risque. Dans ce dernier cas, pour chaque rendement (espéré) objectif Rb, la minimisation conduit à sélectionner un portefeuille. En balayant l’ensemble des rendements objectifs possibles, on détermine donc un ensemble de portefeuilles, les portefeuilles efficients. Dans l’espace rendement - risque, cet ensemble de portefeuille définit l’ensemble des couples rendement

• risque efficients, la frontière des portefeuilles efficients. Dans ce qui suit, nous présentons rapidement les principaux résultats de la théorie du portefeuille sur cette frontière. Tous les actifs financiers sont supposés risqués. Aussi, le problème de sélection est donc

pour chaque rendement objectif Rb de résoudre le problème suivant^4 :

P ( Rb) :

minx 1 ,...,xA^ PAa=1^ PAb=1 xaxbσab sous les contraintes : PA Pa=1^ xa.Ra^ ≥^ Rb Aa=1 xa = 1

Ce problème est un problème classique de minimisation d’une fonction de perte convexe sous des contraintes linéaires. Aussi, si l’on note $

x, λ, μ; Rb

le lagrangien associé à ce problème, ce dernier peut être écrit sans perte de généralité :

$

x, λ, μ; Rb

X^ A

a=

X^ A

b=

xaxbσab + λ

Ã

Rb −

X^ A

a=

xa.Ra

• μ

ÃX A

a=

xa − 1

où λ ≥ 0 , μ ≥ 0. Les conditions de premier ordre (cpo) suffisante de ce problème est :

2

X^ A

b=

xbσab − λRa + μ = 0, a = 1, ..., A (6)

ou encore : λRa = 2

X^ A

b=

xbσab + μ, a = 0, ..., A

Dans cette expression, PAb=1 xbσab est la covariance entre le rendement de l’actif a et le rendement du portefeuille :

cov

Rea, Rep

= cov

Ã

Rea, X a

xa Rea

X

b

xbcov

Rea, Reb

X

b

xbσab (^4) Si la matrice des covariances est

σ =

  

σ^21 ... σ 1 A ... ... ... σA 1 ... σ^2 A

  

le problème s’écrit aussi sous forme matricielle :

P (R) :

    

minx x>.σ.x sous les contraintes : x>. 1 = 1 R.x = R

— il peut être souhaitable de détenir un actif même si son rendement espéré est faible ainsi que son risque propre s’il est en moyenne sufisamment négativement corrélé avec les autres actifs, i.e. PAb 6 =a xbσab << 0 - λRa − 2 xaσ^2 a < 0 ; xa < 0 A l’optimum, le gérant doit donc faire des choix qui égalise la valeur nette des actifs. Si tel n’était pas le cas, on pourrait en effet, sans diminuer le rendement espéré, diminuer le risque totale du portefeuille. Cette dernière relation met en lumière les différents coûts et avantages de la sélection de chaque actif. L’analyse de ces conditions marginales permet aussi de déterminenr l’ensemble des couples variance / espérance efficients, i.e. l’équation de la frontière des portefeuilles efficaces. La propriété essentielle de celle-ci est d’être une parabole dans l’espace (va- riance,rendement espéré) comme le montre la figure 7. Les propriétés financières implicites à cette géométrie de la frontière sont les suivantes : — il existe un portefeuille efficace qui minimise le risque ; — la croissance de la (partie supérieure de la) frontière implique que l’on peut aug- menter le rendement espéré des portefeuilles (efficients) mais au prix d’un risque croissant - aussi lorsque l’on doit évaluer ex post la performance d’un titre, d’un portefeuille ou d’un gérant, il est nécessaire de prendre en compte les risques encou- rus, de corriger le rendement espéré du risque ; — la concavité de la courbe implique que l’augmentation de la variance a de moins en moins d’effet favorable - la morale de cette concavité est donc celle tirée par Fischer Black : “Pour obtenir des gains attendus plus élevés, vous devez prendre davantage de risque. Si vous voulez escalader une haute montagne, vous devez être préparé à souffrir.” ([Bla88], cité par [Ber95] p.210).

3.1 Le cas avec deux actifs

Aucun des deux actifs 1 et 2 n’est dominé : si le rendement espéré d’un actif est inférieur, son risque doit être également plus faible. Sans perte de généralité, on suppose par exemple que : R 1 > R 2 , σ^21 > σ^22

E [ R ]

Va r

p o r te f e u ille d e v a r ia n c em in im a le

F r o n tiè r e d e sp o r te f e u ille s e ff ic ie n ts

c o u r b e d 'in d iff é r e n c ed u g é r a n t d e p o r te f e u ille

Fig. 7 — La détermination du portefeuille optimale sur la frontière des portefeuilles effi- caces

Le problème de sélection du portefeuille s’écrit alors simplement :    

min 0 ≤x≤ 1 x^2 .σ^21 + (1 − x)^2 .σ^22 + 2.x(1 − x).σ 1 σ 2 ρ sous la contrainte : x.R 1 + (1 − x).R 2 ≥ Rb

où x est la part de la richesse investie dans l’actif 1 , 1 − x celle investie dans l’actif 2 , ρ le coefficient de corrélation. Le portefeuille donnant le rendement exigé Rb est dans le cas à deux actifs trivialement déterminé par la contrainte :

x.R 1 + (1 − x).R 2 = Rb ⇒ x

³ b R

Rb − R 2 R 1 − R 2

En substituant à x dans la formule de la variance on obtient alors l’expression de la variance σ^2 p du portefeuille efficient donnant R :

σ^2 p =

μ (^) R − R 2 R 1 − R 2

.σ^21 + ( (^) RR^ −^ R^1 1 −^ R 2 )^2 .σ^22 + 2

μ (^) R − R 2 R 1 − R 2

¶ μ (^) R 1 −^ R R 1 − R 2

σ 1 σ 2 ρ

Lorsque les actifs sont positivement parfaitement corrélés, alors ρ = 1 et la variance

E[R]

Frontière des portefeuilles efficients si = 1

Frontière des portefeuilles efficients si = -

courbe d'indifférence du gérant de portefeuille

R

R (^1)

2 1

2

Fig. 8 — La frontière des portefeuilles efficients pour deux actifs dans l’espace (écart-type, rendement espéré) en fonction du coefficient de corrélation ρ.

et donc : ¡R − R 2

¢ (^) σ 1 −^

¡R

1 −^ R

¢ (^) σ 2 = 0 Rmin = R^2 σ σ^11 ++^ Rσ 21 σ^2

Lorsque R = Rmin, σp = 0 si ρ = − 1. La figure 8 résume graphiquement l’ensemble des résultats.

Exercice 1 On considère le portfeuille formé des deux actifs suivant :

actifs 1 2 rendement esp´er´e 10% 40% ´ecart − type 4% 6% coef. de corr. − 0. 6

(1) calculez la covariance des rendements des deux actifs ; (2) tracez la courbe (variance,espérance des rendements) des différents portefeuilles ; (3) déterminez le portefeuille le plus sûr (composition, variance et rendement moyen) ; (4) calculez la frontière des portefeuilles efficients.

Correction 1 Notons la proportion de l’actif 1 : x. La contrainte de rendement espéré est donc :

1. 1 x + 0.4(1 − x) = R

d’où l’on obtient : x∗^ =^4 − 3 10 R

La variance de ce portefeuille est donc :

σ^2 p (x) = 16 x^2 + 36(1 − x)^2 − 28. 8 x(1 − x) (. 10 −^4 ) v(x) = 80. 8 x^2 − 100. 8 x + 36 (. 10 −^4 )

σ^2 p(^4 − 3 10 R) = 80. 8

μ 4 3 −^

3 R

− 98. 4 + 336R

= 45. 244 − 382. 22 R + 897. 78 R^2

∂x^ ∂ σ^2 p^ = 161.^6 x−^100 .8 = 0, et le portefeuille de variance minimale est donc^ x^ =^.^62376 , le rendement moyen de ce portefeuille étant R = 18.767%.