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Polycopie du cours de la théorie des poutres
Typology: Exercises
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Notes de cours
RDM 1 : Théorie des poutres
a- Hypothèses sur le matériau
Pour toutes les études que nous allons menés, nous allons considérer que le matériau constitutif de la poutre est :
b- Hypothèse des petites déformations et comportement élastique linéaire
On suppose que les efforts sont appliqués sur la configuration déformée et que la structure peut reprendre sa forme initiale après déformation (On travaille dans le domaine d’élasticité).
c- Hypothèse de Navier-Bernouilli
Après déformation de la poutre, les sections droites normales à la fibre moyenne restent planes et orthogonales à la fibre moyenne déformée (On ne s’intéresse pas à la déformation des sections : C’est la théorie de Timoshenko qui en charge).
1.2 Étude de la Notion de contrainte
Une contrainte est un effort par unité de surface qui s’exerce sur un maté- riau.
Remarques :
Soit un solide (S) soumis à des forces (concentrées ou réparties) schématisé par la figure ci-dessous : Si on coupe le solide (S) en deux parties (S1) et (S2) et si on considére un point M entouré par une surface élémentaire dS. Le solide (S2) exerce une
action mécanique sur le solide (S1) notée
dF , que l’on peut modéliser aussi par un effort réparti et on a :
La connaissance du torseur de cohésion ou le torseur des efforts intérieurs est indispensable pour identifier les contraintes.
D’une part, les éléments de réduction du torseur de cohésion peuvent être décomposé dans une base −→ x , −→ y , −→ z comme suit
[−→ τ ](Σ , −→ x ) =
∣∣ ∣∣ ∣∣
R (^) x = N −→ x + Ty −→ y + Tz −→ z −→ M (
R ) /x = Mx −→ x + My −→ y + Mz −→ z
d’un autre part, le torseur de cohésion s’écrit en fonction du vecteur contrainte par rapport à une section
C (Σ , −→ x ) comme suit :
[−→ τ ](Σ , −→ x ) =
∣∣ ∣∣ ∣∣
R (^) x =
∫ Σ
C (Σ , −→ x ) ds − M → (−→ R ) /x =^
∫ Σ
− GM −→ ⊗ −→ C (Σ , −→ x ) ds (1.4)
Donc il existe une relation entre les différents efforts (normal et tranchant) et les moments (torsion et flexion ) d’une part et d’un autre part la résultante des contrainte.
1.3 Notion de déformation
Un solide soumis à un effort se déforme. Les déformations résultent et varient avec la charges appliquées. Les déformations sont traduites par une variation des dimensions du solide, et peuvent être élastiques ou plastiques.
Si le solide reprend sa forme initiale après l’arrêt de l’action des efforts, on dit que la déformation est élastique.
Les déformations sont dites plastiques si le solide reste déformé après l’arrêt de l’action des efforts.
La limite d’élasticité est une contrainte caractéristique du matériau. Elle ne dépend ni des dimensions de la pièce ni des sollicitations qui lui sont appliquées. Remarque importante Dans le cours de la résistance des matériaux, nous nous intéresserons ex- clusivement aux matériaux élastiques. Ceci veut dire que nous supposerons toujours que les sollicitations auxquelles sont soumises les structures étudiées sont suffisamment faibles pour que les déformations soient élastiques.
2.2 Contraintes Normales
On considère une barre rectiligne, de section S soumise à un effort
P de ces deux extrémités.
A l’aide de la méthode des sections, on aperçoit qu’il apparaît dans toutes les sections droites de la barre des forces normales N , c’est à dire que le torseur de cohésion s’écrit sous la forme :
[−→ τ ](Σ , −→ x ) =
∣∣ ∣∣ ∣∣
R (^) x = N −→ x + 0−→ y + 0−→ z −→ M (
R ) /x = 0−→ x + 0−→ y + 0−→ z
Chaque élément de surface ds supporte un effort de traction que l’on quantifie par une contrainte normale σ ( on rappelle que σ est la composante normal du vecteur contrainte −→ C ) parallèle à la ligne moyenne.
La contrainte normale est définie comme l’intensité de la force normale par unité de surface et elle est exprimée en unité de force par unité de surface ( N/mm 2 ) ou en (Pa ou MPa). La valeur de la contrainte normale dans une section droite arbitraire est de ce fait déterminée par le rapport de l’effort normal N à l’aire de la section S.
Remarque Dans le cas d’un barre (poutre) homogène soumise à ses extrémités à des efforts de traction, les contraintes aussi bien dans une section que dans la longueur, c’est à dire qu’on a une seule et même contrainte dans tous les points (hypothèse d’homogénéité).
σ =
2.3 Essai de traction
Il permet de déterminer la Limite élastique et la Résistance à la rupture des différends matériaux. Il permet de définir les caractéristiques de résistance des matériaux. L’essai de traction consiste à exercer sur une éprouvette normalisée des forces croissantes qui vont la déformer progressivement jusqu’à rupture. Pour ce faire, on utilise une machine de traction spéciale (Voir figure) qui permet de relever la déformation en fonction des efforts.
Dans la zone OA, il y a proportionnalité entre la charge, représentée par l’effort normal N et la déformation représentée par l’élongation ∆ l.
N ∝ ∆ l (2.3) Afin de s’abstraire de la forme de l’éprouvette, et de ses dimensions, on choisit deux autres grandeurs indépendantes de la forme. La division de N par la section droite de l’éprouvette S , ce ratio est la contrainte σ.
et on divise l’allongement ∆ l par la longueur initiale l 0 , grandeur que l’on appelle déformation ou allongement relatif (sans dimension).
La relation exprimant la déformation et la contrainte σ est appelée Loi de Hooke est donnée par :
σ = E (2.4)
Ce qui permet d’exprimer l’élongation (rétrécissement) par :
∆ l =
N.l 0 E.S
où E est le module de Young ou module d’élasticité, une caractéristique du matériau ; c’est l’équivalent en mécanique des milieux continus de la raideur d’un ressort.
Cette loi est valable pour l’étirement ou la compression d’une pièce.
Le tableau suivant représente quelques valeurs du module de Young des matériaux usuels :
2.4 Condition de résistance
La barre sollicitée à une traction doit pouvoir résister en toute sécurité, ou encore, les déformations doivent rester dans le domaine élastique. Aussi la
contrainte normale σ doit-elle être inférieure ou au plus égale à une contrainte admissible ( contrainte limite ) appelée souvent résistance pratique et notée σp. D’après le diagramme de traction , la limite d’élasticité est σe , de sorte que, pour des raisons de sécurité provenant surtout des hypothèses sur le matériau ( homogénéité et isotropie) et sur le mode d’application des forces, on doit avoir σp < σe , soit :
σp =
σe k
k coefficient de sécurité, peut varier de 2 à 5 (aciers) ; son choix dépend du type de la construction et il est en général laissé à l’initiative du constructeur. La condition de résistance à la traction est alors :
σ = σp (2.7)
2.5 Applications
