12345, Apuntes de Administración de Empresas

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1

Introducción a laInferencia Estadística

Tema 2:

Introducción a la Inferencia Estadística

Prof. Rosario Martínez Verdú

2

Tema 2: Introducción a la Inferencia

Estadística

.^

Universo

,^

Población y Muestra

Sea

X

una variable o característica numérica.

(U

,U 1

,…,U^2

N

)^

Sea

Universo

: conjunto de unidades sobre las

que nos interesa medir X.

(x

, x 1

,..,x 2

N

)^

Sea

Población

: conjunto de observaciones

que esa característica toma en cada una de las unidades

del universo.

-^

Objetivo: estudiar características de esa población

(media, varianza, desviación típica, proporciones).•^

Inviabilidad de conocer toda la población (censo) por:

-^

alto coste económico

-^

alto coste en tiempo, problema falta de inmediatez

-^

imposibilidad

cuando

ocasiona

la

destrucción

de

las

unidades del universo.

Ante estas dificultades se plantea:1º Seleccionar un subconjunto de n unidades del universo (u

,u^1

,...,u 2

).n

2º Observar la característica numérica en las n unidades seleccionadas.

Se obtiene la muestra: (x

,x 1

,...,x 2

).n

3º Proceso de Inferencia: utilizar la información parcial que proporciona la

muestra

para

obtener

conclusiones

más

generales

sobre

las

características de la población. (temas 3 a 5)

-^

El proceso de inferencia no es fiable al 100%. Hay un riesgo decometer errores:

• errores de muestreo- errores sistemáticos, debidos a:
  • no respuesta- respuestas poco sinceras- preguntas mal planteadas- mecanismo de selección de la muestra no adecuado

-^

Desventaja muestreo aleatorio simple:

Una misma unidad puede ser seleccionada varias veces

en una misma muestra, por lo que no se incrementa lainformación.

Sin

embargo,

si

el

universo

es

muy

grande la probabilidad de que esto ocurra es muypequeña.

-^

Otros tipos de muestreo aleatorio:

• estratificado- por conglomerados- por etapas o polietápico(ampliar información en fichero: tipos de muestreo.pdf)

-^

MODELO DE GENERACIÓN No vamos a investigar a la población directamente, sino que vamosa modelizar el mecanismo que ha generado las observacionespoblacionales.Así,

supondremos

que

la

población

estará

modelizada

o

representada

por

una

variable

aleatoria

X,

la

cual

tiene

una

distribución de probabilidad.

X~F(x)

Se

renuncia

a

investigar

las

verdaderas

características

de

la

población y en su lugar se estudian las de la distribución de X.

-^

Definición formal de muestra aleatoria simple (m.a.s):^ Las observaciones muestrales (x

,x 1

,...,x 2

) procedentes de dichan

población constituyen una m.a.s si el procedimiento utilizado parasu

obtención

permite

considerarlas

como

concreciones

o

realizaciones de n variables aleatorias (X

,X 1

,...,X 2

) que cumplen lasn

siguientes condiciones:- son independientes- son idénticamente distribuidas- su distribución de probabilidad coincide con la de la población.

10

EJEMPLO DE ESTADÍSTICOS MUESTRALES

-^

Distribución de la media muestral:

11

ESTADÍSTICOS Y DISTRIBUCIONES ASOCIADAS

cualquiera

N(

μ,

σ

2 )

μ

desconocida

S

5

tn-

cualquiera

N(

μ,

σ

2 )

σ

2

desconocida

4

N(0,1)

cualquiera

N(

μ

,σ

2 )

σ

2

conocida

3

N(0,1)

grande

Bernouilli

Be(p)

2

N(0,1)

grande

Sin especificar^2 σ

conocida

1

Distribución

variablealeatoria

Variable aleatoria

Tamañomuestra

DistribuciónPoblacional

X X X X

2

(^1) - n χ

n

• / X = Z

σ

μ

/n p)

p(1-

p- X

= Z

(^1) - n / S

X

= T

n μ

• / X = Z

σ

μ

2 2

S n σ = Y

EstadísticoMuestral

13

TEMA 2: ESTADÍSTICOS Y DISTRIBUCIONES ASOCIADAS

tn-

Distribuci N(0,1) N(0,1)N(0,1)

ón variablealeatoria

Varianza de lapoblación

σ

2

cualquier

a

N(

μ,

σ

2 )

μ

desconocida

S

5

media de lapoblación

μ

cualquier

a

N(

μ

,σ

2 )

σ

2

desconocida

4

media de lapoblación

μ

cualquier

a

N(

μ

,σ

2 )

σ

2

conocida

3

Proporciónpoblacional

p

grande

Bernouilli Be(p)

2

media de lapoblación

μ

grande

Sin especificar

σ

2

conocida

1

Utilización de la variable aleatoria en

temas 3 y 4 en

problemasinferenciales relacionados con elparámetro poblacional

Variablealeatoria

Tamañomuestra

DistribuciónPoblacional

X X X X

2

(^1) - n χ

n

• X /

= Z

σ

μ

/n p)

p(1-

p- X

= Z

(^1) - n / S

X = T -^ n/ μ X = Z

σ

μ

2 2

S n σ = Y

EstadísticoMuestral

14

Distrib.variablealeatori N(0,1) N(0,1) N(0,1)

a

Cociente devarianzaspoblacionales:

cualquie

ra

N(

μ^1

,σ

(^21) ),N(

μ

, 2 σ

(^22) )

μ^1

,^ μ

2

desconocidas

10

Diferencia de

medias poblacionales:

μ^1

• μ

2

cualquie

ra

N(

μ^1

,σ

(^21) ),N(

μ

, 2 σ

(^22) )

σ^1

2 =

σ

(^22) desconocida

s

9

Diferencia de

medias poblacionales:

μ^1

• μ

2

cualquie

ra

N(

μ^1

,σ

(^21) ),N(

μ

, 2 σ

(^22) )

σ^1

2 ,

σ

(^22) conocidas

8

Diferencia deproporcionespoblacionales:

p^1

-p

2

grandes

Bernouilli Be(p

), Be(p 1

) 2

7

Diferencia de

medias poblacionales:

μ^1

• μ

2

grandes

Sin especificar σ^1

2 ,

σ

(^22) conocidas

6

Utilización de lavariable aleatoriaen temas 3 y 4 en

problemasinferenciales relacionados con

el parámetropoblacional

Variable aleatoria

Tamañomues-

tras

DistribuciónPoblacional

2 1 2 2 S S

2

1

X-

X

2

1

X-

X

2

1

X-

X

2

1

X-

X

2 2

21 1

2 1

2 1

n n

• ) X- X( = Z^

2

)

(^ σ+ σ

μ− μ

2

2

2

1

1 1

2 1

2 1

n

) p- ( p

n

) p- ( p

) p (p-

= Z^

) X- X(

− 2 2

21 1

2 1

2 1

n n

• ) X- X( = Z^

2

)

(^ σ+ σ

μ− μ

⎞⎟⎟⎠

⎛^ ⎜⎜⎝

−

2 1

2 1

22 2 21 1

2 1 2 1

n n (^2) - n+ n

S n Sn

(-) X- X( =T

1 1

) μ μ

(^2221) 2 1 2 2

2 1 1 2

S S (^1) - n

(^1) - n n n = F^

σ σ

2 n n^

2 1

t^

−

1 n, 1 n^

2

1 F

−

−

EstadísticoMuestral

(^2221) σ σ

muestras independientes