2 Bach Límite de Funciones, Apuntes de Matemáticas

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Apuntes

Matemáticas 2º de bachillerato

Tema 2

Límites de funciones

Matemáticas 2º de bachillerato

2.1 Límites de funciones

Def.: Dada una función f(x), diremos que su límite cuando x tiende hacia a es el número

L, y lo escribiremos, lim

f

x

= L si existen los límites laterales cuando x tiende hacia a

y ambos son iguales: lim

.

f

x

= lim

/

f

x

= L.

En caso contrario, diremos que no existe el límite en x = a.

Matemáticas 2º de bachillerato

3. lim

B−5x ·

F$

D

C$EL

G =

4. lim

$ → F

D

E=$EF

D

E M$ C N

5. lim

$ → A

B

D

C $ C A

=$ C A

G

O

P.O

6. lim

D

– $E=

√RC =$ E F

Ejercicios

1. lim

$ → A

S

EF$

D

E =

S

C =$

D

C $

2. lim

$ → E 1

x

F

− x

3. lim

;√x

+ 2x − √x@ =

4. lim

B 3 +

A

G

5. lim

B

F$

S

C R

$ C =

F$

S

E $

$ E =

G =

6. lim

$ → E 1

B 1 +

F

G

E$

7. lim

$ → A

S

E =$

D

C =$ C R

D

E M$EV

Matemáticas 2º de bachillerato

8. lim

$ → M

B

D

E W$E AX

$ E W

G

O

P .Y

9. lim

$ → X

B

D

– R$ C =

D

C =$

S

C =$ C A

S

C $

G =

2.2 Infinitésimos equivalentes

Def.: Una función f(x) se dice que es un infinitésimo cuando x ® a si se cumple:

Ejemplo: f(x) = sen x es un infinitésimo cuando x ® 0.

Ejemplo: f(x) = tg x es un infinitésimo cuando x ® 0.

Ejemplo: f(x) = 9 – x

es un infinitésimo cuando x ® 3.

Ejemplo: f(x) = 1 – sen x NO es un infinitésimo cuando x ® 0.

Def.: Dos infinitésimos f(x) y g(x) se dicen equivalentes cuando x ® a, si el límite de

los cocientes entre ambas es la unidad:

lim

Z($)

[($)

= 1 Þ f(x) ~ g(x)

Tabla reducida de infinitésimos:

Ejemplos:

1. lim

$ → X

]^ $

S

C =$

D

E F$

2. lim

$ → X

$ (AE_`\ $)

a^

S

($CA)

limf(x) 0

x a

=

®

Infinitésimos Equivalentes

f(x) ® 0

sen f(x) f(x)

tg f(x) f(x)

arcsen f(x) f(x)

1 – cos f(x)

(f(x))

b 1 + f(x)

c

f(x)

n

f(x) ® 1

ln f(x) f(x) – 1

Matemáticas 2º de bachillerato

2.3 Límites por L´Hôpital

Este método sirve para resolver indeterminaciones del

tipo e. Si f(x) y g(x) son derivables en un entorno

de a, tenemos que.

Antes de aplicar L´Hôpital sustituiremos, si es posible, algún infinitésimo por otro

equivalente más sencillo.

Ejemplos:

1. lim

$ → X

=]

P

E =

F$

2. lim

$ → X

= E =_`\

D

D

3. lim

$ → X

]^ $ – $ _`\ $

$ E $ _`$

Ejercicios

1. lim

$ → E 1

]

. P

D

2. lim

$ → X

a^ (]

P

C =$)

F$

3. lim

$ → X

a^(_`\ $

D

e

g´(x )

f´(x )

lim

g(x )

f(x )

lim

x ® a x®a

Matemáticas 2º de bachillerato

2.4 IND 0 · ¥

Cuando tengamos IND 0 · ¥ intentaremos convertirla en e para poder aplicar

L´Hôpital.

Ejemplos

1. lim

B2x ln

$ C F

G =

2. lim

$ → A

F$C=

$EA

ln (2x − 1 ) =

3. lim

x

F

e

E =$

Ejercicios de límites variados:

1. lim

]

SP

– ]

. DP

W$

D

2. lim

$ → E A

x + 1

ln (x + 1 ) =

3. lim

$ → X

D

C $

N C $ E F

4. lim

g

h

i[ R$

i[ F$

5. lim

$ → E =

$C=

√= E $ E =

6. lim

S

E F$

D

C W

S

E W$

D

C W$

Matemáticas 2º de bachillerato

3. lim

$ → X

cos 3x

e

SP

D

2.6 Definición de límite

Def.:

lim

f(x) = L = f(a) ⟺ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |x − a| < δ ⟶ |f(x) − f(a)| < ε

Coloquialmente diríamos que una función f(x) tiene por límite L = f(a) cuando x tiende

a “a”, cuando para cualquier valor de x tan próximo a x = a exista siempre un valor f(x)

tan próximo a L = f(a) como se desee. Es decir, podremos elegir siempre un ε tan

pequeño como se quiera, que para cada ε existirá siempre un valor de δ de manera que

las ordenadas de las x del intervalo [a - δ, a + δ] estarán dentro del intervalo

[f(a) - ε, f(a) + ε].

Gráficamente: si existe el límite, para cualquier franja roja tan estrecha como queramos,

hallaremos siempre una franja azul de ancho 2δ con centro en x = a, de forma que sus

valores estarán dentro de la franja roja.

Matemáticas 2º de bachillerato

Ejercicios

Calcula los siguientes límites:

1. lim

F$

D

E=$

D

CW

2. lim

D

E$E=

D

E=$EW

3. lim

B

$CF

D

CA

G

S

P.D

4. lim

$→A

D

C$C=E

D

CF

D

C$E=

5. lim

$→X

y^(AC$)

6. lim

$→X

B

A

i[$

A

]^$

G =

7. lim

zx · tg B

g

G} =

8. lim

y^(AC]

P

9. lim

$→E 1

xe

10. lim

xe

11. lim

P

EL

P/O

12. lim

B

RC$

F$CA

G

E$CF

13. lim

$→g

=i[

S

( $Eg

F;]^($Eg)@·(AE_`($Eg))

14. lim

$→A

F(√$EA)

D

y^$

S

) ·'~_]^($EA)

= (prueba sumando y restando 1 dentro de la raíz)

15. lim

$→X

e

CAE=

e

16. lim

]

P

E]

.P

]

P

C]

.P

17. lim

;√ 2 x

+ 3x − 2 − √ 2 x

+ 5x − 1 @ =

Matemáticas 2º de bachillerato

Ejercicios EBAU de la ULPGC (desde 2017)

1. Calcula los siguientes límites: a) lim

$→X

]

P

C ]

. P

E=_`$

]^($

D

b) lim

$→X

√W C $ – =E

P

e

D

(julio de 2017)

Ejercicios PAU de la ULPGC

2. Calcula: a) lim

$→X

AE_`$

D

b) lim

$→X

AE√AE$

D

c) Halla el valor de m de tal forma que

lim

(AE$)(=$CF)

D

CW

= 6 (Junio de 2014)

3. Resuelve los siguientes límites: a) lim

$→W

B

$C=

M

G

O

P.e

b) lim

$→X

B

D

EA

D

A

G (Julio 2013)

4. Resuelve el siguiente límite: lim

√$ C = E =

√=$ E F E A

= (Junio de 2013)

5. Resuelve el siguiente límite: lim

$ → X

]^ $ (A E _`\ $)

a^

S

($ C A)

= (Junio de 2012)

Matemáticas 2º de bachillerato

Ficha de repaso del tema 2

1. lim

$ → X

]^

D

F$

F$

D

= (Sol.: 3)

2. lim

$ → X

S

E $

$CN E F

= (Sol.: - 6)

3. lim

$ → A

D

E A

y^ $

= (Sol.: 2)

4. lim

$ → X

]

. P

E ]

P

F ]^ $

= (Sol.: - 2/3)

5. lim

$ → V

D

E N$ C AW

y^ ($

D

E M$ E M)

= (Sol.: 5/8)

6. lim

]

P

y^ ($ C A)

= (Sol.: ¥)

7. lim

$ → X

/

B

A

W$

$]

P

G = (Sol.: - ¥)

8. lim

√x

P

= (Sol.: 1)

9. lim

$ → X

cos x + sen x

O

P

= (Sol.: e)

10. lim

$ → X

]

P

E $ E _`\ $

]^

D

= (Sol.: 1)

11. lim

$ → X

]

P

E ]

. P

E =$

$ E ]^$

= (Sol.: 2)

12. lim

$ → X

y^ $

_`i[ $

= (Sol.: 0)

13. lim

$ → X

e

− x

O

P

= (Sol.: 1)

14. lim

$ → A

B

A

y^ $

A

$ E A

G = (Sol.: ½)

15. lim

$ → X

(cos 2x)

]^ $

D

= (Sol.: 1)

16. lim

O

D

AEi[

B



D

G

y^ (W$

D

= (Sol.: - p/4)

17. lim

$ → A

F '~_]^ ($ E A) ;y^ $

D

S

(A E _`($ E A))

D

= (Sol.: 96)