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Jesús Sánchez Fernández
CAPÍTULO 6.- PROBABILIDAD
6.1 Introducción.
Como ya se ha visto, la Estadística es una Ciencia con la que se pretende buscar las regularidades existentes en el comportamiento de los datos. Sabemos que la Estadística se puede clasificar en dos grandes bloques: Estadística Descriptiva e Inferencia Estadística. Con el primero lo que se hace es dar un conjunto de métodos y herramientas que permiten estudiar esas regularidades cuando lo que observamos es toda la población. Es decir admitimos que es posible realizar esa operación de recuento exhaustivo. En tal caso lo que realizamos con la estadística es estudiar, describir, el comportamiento de una variable determinada. Esa observación exhaustiva nos permite realizar afirmaciones “categóricas” sobre las distintas características de la variable, tales como cual es su media , su dispersión, la forma de la distribución, etc.
Pero esa posibilidad de observación exhaustiva no siempre es posible. En la gran mayoría de los casos nos vemos limitados a realizar una observación parcial de la variable. Con ese conjunto limitado de datos intentaremos conocer las características de toda la población, es decir, intentaremos inferir su comportamiento. Así una empresa antes de lanzar un nuevo producto estará interesada en conocer cual puede ser su cuota de mercado, para lo cual realizará un sondeo de opinión entre algunos de sus potenciales clientes. Pero el resultado de ese sondeo, basado en una muestra (observación parcial), no le permite concluir cual será su verdadera cuota de mercado. La decisión que tome respecto a ese producto estará marcada por un cierto grado de incertidumbre.
Pero que duda cabe que, en esas situaciones, nuestras afirmaciones ya no pueden ser “categóricas” y las decisiones que se tomen puede que no sean las más acertadas como consecuencia de la información no contenida en la muestra. Más bien al contrario debemos admitir que nuestras conclusiones están sujetas a un margen de incertidumbre que es la consecuencia de nuestra observación parcial de la realidad. Ante tales circunstancias nuestro objetivo será doble: por un lado estudiar el comportamiento de la variable y de otro reducir en la medida de lo posible ese margen de incertidumbre o, al menos, intentar cuantificar esa falta de certeza en relación a las características de las variables. Una forma de cuantificar esa incertidumbre es
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haciendo uso del concepto de probabilidad. De hecho la probabilidad es un concepto con el que convivimos de forma diaria, incluso sin percatarnos de él. Cada vez que hacemos uso de las expresiones quizás , tal vez , es probable , puede que , etc. estamos implícitamente hablando en términos probabilísticos. La incertidumbre es una acompañante inseparable de todas las ciencias sociales e incluso de las físicas como señaló Heisenberg con el enunciado del principio de incertidumbre de la mecánica cuántica.
6.2 Conceptos previos.
Pero antes de dar la definición de probabilidad es aconsejable introducir una serie de conceptos previos que nos serán de gran utilidad. Empezaremos con el de fenómeno aleatorio. Como sabemos un fenómeno es algo observable y que en la mayoría de los casos es, además, cuantificable. Podemos decir que la estadística tiene por objeto el estudio y comportamiento de fenómenos. Estos fenómenos son a su vez el resultado de una experimentación, por lo que podemos hablar indistintamente de fenómenos y experimentos aleatorios. De forma específica se dice que un experimento aleatorio es aquel que puede concretarse en al menos dos resultados posibles, con incertidumbre en cuanto a cual de ellos tendrá lugar.
Los experimentos se pueden clasificar en deterministas y aleatorios. Los primeros son aquellos que repetidos en idénticas condiciones nos llevan siempre al mismo resultado. Por el contrario, para el segundo tipo de experimentos nos encontramos que, incluso aunque las condiciones del experimento no cambien, el resultado del experimento es impredecible antes de realizarlo. (Antes de lanzar una moneda al aire no sabremos si saldrá cara o cruz. También son experimentos aleatorios la cotización de las acciones de una empresa, sus beneficios, sus ventas, su periodo de actividad, etc. ). En general diremos que las características de un experimento aleatorio son las siguientes:
a) el experimento se puede repetir u observar de forma indefinida en circunstancias
prácticamente muy similares.
b) Aunque no podemos predecir el resultado particular del experimento, si que
podemos conocer el conjunto de todos los posibles resultados.
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B = {1, 2, 3, 5}, etc. A su vez el suceso seguro en este experimento es E = “que salga alguna cara” y está formado por E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sobre un experimento aleatorio se puede definir más de un suceso imposible, aunque todos ellos satisfacen la definición dada con anterioridad. Así en este ejemplo sería sucesos imposibles los siguientes: ∅ = “que sal la cara siete”, ∅ = “obtener la cara dos y medio”, etc. Finalmente el espacio muestral asociado a este experimento vendría dado por E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, es decir, el conjunto de todos los resultados posibles del mismo. En este caso se trata de un espacio finito y, por lo tanto, discreto.
Ejemplo 2. Sea el experimento que consiste en contar el número de mujeres en una muestra de 12 parlamentarios seleccionados al azar.
En este caso el espacio muestral correspondiente a este experimento viene dado por E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, que también es finito y discreto. Para este experimento también se puede definir distintos tipos de eventos como: A = “que el número de mujeres sea mayoría”; b = “que el número de mujeres sea al menos tres”; etc.
Ejemplo 3. Sea el experimento que consiste en contar el número de personas que llega a la caja de un supermercado durante un mes.
El espacio muestral de este experimento viene dado por E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ........}. En este caso estamos ante un espacio infinito numerable y, en consecuencia, también discreto.
Ejemplo 4. Sea el experimento que consiste en anotar el instante en que se recibe una llamada telefónica a lo largo de un día.
Si se admite que esa llamada puede ocurrir en cualquier instante de ese intervalo de 24 horas, entonces el espacio muestral será E = {el intervalo de tiempo correspondiente a las 24 horas}, que origina un espacio infinito no numerable, es decir, continuo.
Una vez que se ha dado el concepto de suceso o evento, a continuación se van a definir las operaciones más habituales que pueden realizarse con los mismos.
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a) Suceso contenido en otro. Se dice que A está contenido en B y lo indicaremos por A ⊂ B si todos los elementos de A pertenecen a B.
Ejemplo 5. A partir del experimento definido en el Ejemplo 2, vamos a definir los sucesos A = “que haya 8 ó 9 mujeres” y B = “que haya mayoría de mujeres”. En este caso se dice que A ⊂ B.
b) Igualdad de sucesos. Se dice que A y B son dos sucesos iguales si se cumple simultáneamente que A ⊂ B y B ⊂ A.
Ejemplo 6. Con el mismo experimento del Ejemplo 2 se puede definir los sucesos A = “mayoría de mujeres” y B = “al menos siete mujeres”. Aquí se cumple que A ⊂ B y B ⊂ A , por lo que A = B.
c) Unión de sucesos. Dados dos sucesos A y B , se define la unión de ambos como otro suceso, que indicaremos por A∪B , que está formado por los elementos pertenecientes a A , o a B o a los dos a la vez.
Ejemplo 7. Con el mismo experimento del Ejemplo 2 se puede definir los sucesos A = “al menos siete mujeres” y B = “más de cinco mujeres pero menos de diez”. En este caso:
A = {7, 8, 9, 10, 11, 12} B = {6, 7, 8, 9}
Por lo que
A∪B = {7, 8, 9, 10, 11, 12} ∪ {6, 7, 8, 9}={6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
d) Intersección de sucesos. Dados dos sucesos A y B , se define la intersección de ambos como otro suceso, que representamos por A ∩ B , compuesto por resultados comunes a A y B simultáneamente. Ejemplo 8. Con el mismo experimento del Ejemplo 2 se pueden definir los sucesos A = “al menos siete mujeres” y B = “más de cinco mujeres pero menos de diez”. En este caso:
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cuantificada de la verosimilitud de ocurrencia de un suceso frente a los demás sucesos del experimento. Pero que duda cabe que esta definición no es del todo buena, pues se utiliza el término verosimilitud para definir la probabilidad, cuando el mismo es un sinónimo de lo que se quiere definir. También podría hablarse del grado de incertidumbre en la ocurrencia de los resultados de un experimento. En cualquier caso la probabilidad de un suceso es una medida cuantificable que toma valores entre cero y uno a diferencia del concepto de posibilidad que es una medida cualitativa.
Una vez que se ha dado el concepto de probabilidad en sentido amplio debemos señalar que a lo largo de la historia podemos encontrar tres formas distintas de definir o interpretar la probabilidad. Cada uno de ellas responde a un tipo de experimento distinto. En concreto, supongamos que queremos calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:
- Obtener un seis al lanzar un dado honesto.
- Obtener un seis al lanzar un dado cargado.
- Que la tasa de crecimiento del VAB de España sea superior al 4%.
Para obtener esas probabilidades hay que recurrir a enfoque o definiciones distintas. En realidad esos enfoques sirven para establecer reglas de asignación de probabilidades a los sucesos más que para definir la probabilidad.
Probabilidad clásica o a priori (Regla de Laplace). Si el experimento que estamos realizando da lugar a un espacio muestral E que es finito y cuyos resultados son conocidos de antemano y equiprobables o simétricos, entonces, la probabilidad del suceso A perteneciente a E se define como el cociente de los resultados favorables a A respecto del total de resultados posibles.
( )
Númeroderesultadosposibles
PA =NúmeroderesultadosfavorablesaA
A esta expresión se le conoce como regla de Laplace.
Este concepto de probabilidad está íntimamente ligado a los juegos de azar. Esta definición satisface tres propiedades:
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1) No negatividad, P(A) ≥ 0.
2) Certeza, P(E) =.
3) Aditividad. Si A y B son dos sucesos del espacio E y ambos son mutuamente
excluyentes, entonces la probabilidad de C =A∪B será: P(C) = (PA)+P(B).
Antes de finalizar con este concepto de probabilidad hay que señalar la razón de su denominación. Así el adjetivo “clásica” hace alusión a que fue la forma en la que los primeros estadísticos abordaron este concepto. A su vez el término “a priori” se refiere a que la probabilidad de cualquiera de los sucesos de este tipo de experimentos es conocida incluso antes que los mismos tengan lugar. De hecho no es necesario realizar el experimento para conocer las probabilidades de sus resultados.
Probabilidad frecuencial o a posteriori. En este caso la probabilidad de un suceso A se define como el límite de una frecuencia relativa, cuando el experimento se realiza un número infinito de veces. Formalmente diremos que
P ( Ai ) =lim (^) n →∞ n ( nAi ), i=1,2,3,.....,k
Esta definición de probabilidad cumple también las tres propiedades enunciadas en el caso anterior.
Con este concepto de probabilidad lo que se pretende es dar respuesta a experimentos en los que no se cumplen los requisitos señalados antes, en especial el de equiprobabilidad o simetría de los resultados. Esta circunstancia conlleva que la probabilidad de cada resultado no sea conocido de antemano, siendo necesaria la realización del experimento para la cuantificación de la misma.
Con esta definición se puede determinar la probabilidad de: las caras de un dado cuando el mismo está cargado; pieza defectuosa en la producción de una empresa; accidente de tráfico; factura impagada; cliente moroso; que el cliente de un establecimiento comercial sea menor de 25 años; que los ingresos de una persona sea superior a la media; etc.
Jesús Sánchez Fernández f) P(A ∩ D) = (450/1000) = 0,
Probabilidad subjetiva. Hay determinados experimentos aleatorios que no son susceptibles de realizarse y sus resultados no son equiprobables. Imaginemos que se quiere determinar la probabilidad: de que la economía de España crezca en el próximo año un 3%; que las acciones de una empresa se revaloricen en un 10% en un mes; que una empresa presente suspensión de pagos; que un nuevo producto sea bien acogido en el mercado; que ocurra un accidente nuclear; etc.
En estas circunstancias, donde los experimentos solo se pueden realizar una vez o ninguna o que se puedan repetir pero en condiciones distintas, no son aplicables ninguna de las dos definiciones dadas anteriormente, por lo que no es posible asignar probabilidades mediante un procedimiento objetivo, debiendo recurrir a procedimientos de tipo subjetivo, a opiniones de expertos. En estos casos la probabilidad expresa un grado de creencia o confianza individual en relación con la ocurrencia o no de un determinado suceso. Se trata de un juicio personal sobre el resultado de un experimento aleatorio. Además debemos admitir la posibilidad de que distintos sujetos asignen probabilidades diferentes al mismo suceso. No obstante esta definición de probabilidad también satisface las tres propiedades vistas antes.
Probabilidad axiomática. Para dar esta definición es preciso, previamente, definir el concepto de σ-álgebra de Boole. Un σ-álgebra de Boole , que representaremos por A = P (E) , es una familia de sucesos no vacía, la cual contiene necesariamente los sucesos ∅ y E y que, además, es cerrada para las operaciones de complementación y de unión de infinitos subconjuntos numerables de E, sien E el espacio muestral del experimento. En base a este concepto, la probabilidad axiomática se define como una función de conjunto, que llamaremos P , cuyo dominio es el σ-álgebra de Boole y cuyo recorrido es el intervalo cerrado [0,1] si además satisface los tres axiomas siguientes ( axiomas de Kolmogorov ):
- Axioma de no negatividad. P(A)≥ 0 , para todo A∈ A_._
- Axioma de certeza. P(E) =.
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- Axioma de aditividad. Si A 1 , A 2 , …..es una sucesión numerable de sucesos pertenecientes a A, tales que entre si son mutuamente excluyentes, Ai∩Aj=∅
para todo i ≠ j , entonces P A (^) i P A ( ) i = i i
∞
^
U 1 =^ ∑ 1.
6.4 Teoremas básicos sobre probabilidad.
A continuación vamos enunciar una serie de teoremas sobre probabilidad, de gran utilidad, que se deducen de los axiomas anteriores.
- Para cualquier suceso A∈ A se verifica que la probabilidad de su
complementario P A
^ −
^
^ =1-P(A).
Para demostrar este teorema partimos de que:
E = A ∪ A y A ∩ A = ∅
Por otro lado según los axiomas segundo y tercero se tiene que:
1 = P ( A )+ P ( A )
por lo que:
P ( A )= 1 − P ( A )
- La probabilidad del suceso imposible es nula. P(∅)=
Si en el teorema 1 se hace que A = ∅, entonces E = A , por lo que
P ( ∅ )= 1 − P ( E )= 1 − 1 = 0
- La probabilidad P es monótona no decreciente, es decir, para cualesquiera sucesos A, B∈ A , tales que A ⊂ B , entonces P(A )≤ P(B).
Para demostrar este teorema se parte de que
B = A ∪ ( B ∩ A ) y que A ∩( B ∩ A )=∅
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Ejemplo 12. Sean A y B dos sucesos tales que: P(A∪B) = 3/4 ; P A
^ −
^
^ =^ 2/3^ y^ P(A∩B)
= 1/4. Hallar: a) P(A); b) P(B); c) P(A ∩ B
− ).
a) P(A) =1- P A
^ −
^
^ =1- 2/3 = 1/
b) P(B) = P(A∪B) - P(A) + P(A∩B) = 2/
c) P(A∩ B
− ) = P(A) - P(A∩B) = 1/12.
Ejemplo 13. La probabilidad de que las acciones de una empresa financiera coticen al alza es 0,8, mientras que esa probabilidad para una empresa del sector nuevas tecnologías es 0,4. A su vez, la probabilidad de que las dos coticen al alza es 0,3. Obtenga las siguientes probabilidades: a) que coticen al alza al menos una de las dos empresas; b) que ninguna de las dos cotice al alza; c) que solo cotice una al alza.
Para dar solución a este ejercicio vamos a proceder en primer lugar a definir los siguientes sucesos: A = la empresa del sector financiero cotiza al alza. B = la empresa del sector nuevas tecnologías cotiza al alza. C = al menos una empresa cotiza al alza. D = ninguna de las dos empresas cotiza al alza. E = solo una empresa cotiza al alza.
a) A partir del enunciado sabemos que P(A) = 0,8; P(B) = 0,4 y P(A ∩ B) = 0,3. Con ello tenemos que:
P(C)= P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,8 + 0,4 – 0,3 = 0,
b) El suceso D se puede expresar como:
D = A ∩ B = A ∪ B
Este resultado nos lleva a que
Jesús Sánchez Fernández P ( D )= P ( A ∪ B ) = 1 − P ( A ∪ B ) = 1 − 0 , 9 = 0 , 1
c) El suceso E se puede expresar como
E = ( A ∩ B ) ∪( A ∩ B )
Pero como se trata de la unión de dos sucesos disjuntos, entonces la probabilidad del suceso E es
P ( E )= P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B )
Ahora bien
A = ( A ∩ B ) ∪( A ∩ B ) porloque P( A ∩ B ) = P ( A ) − P ( A ∩ B )
A su vez
B = ( A ∩ B ) ∪( A ∩ B ) porloque P( A ∩ B ) = P ( B ) − P ( A ∩ B )
Todo ello nos permite escribir
P ( E )= P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) = P ( A )+ P ( B )− 2 P ( A ∩ B ) = 0 , 8 + 0 , 4 − 2 ( 0 , 3 )= 0 , 6
6.5 Probabilidad condicional, regla de la multiplicación e
independencia de sucesos.
Hasta ahora hemos definido la probabilidad de un suceso A referida a todo el espacio muestral E del experimento. Supongamos ahora la existencia de otro suceso B definido sobre E y que no sea incompatible con A , es decir que (A ∩ B) ≠ ∅. Esto significa que los sucesos A y B tienen partes en común. Supongamos adicionalmente que tenemos la certeza de que ha ocurrido el suceso B. Ahora estamos interesados en saber como
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A esta forma de dar la probabilidad de la intersección de dos sucesos se le conoce como regla del producto. Si en lugar de tener dos sucesos se tuvieran tres, entonces la probabilidad de la intersección de los tres vendrá dada por:
P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ) P ( B / A ) P ( C / A ∩ B )
o por cualquiera de las otras cinco ordenaciones posibles. Esta regla puede extenderse para el caso de que el número de sucesos sea mayor que tres.
La definición de probabilidad condicional pone de manifiesto que la ocurrencia de un suceso B puede modificar la probabilidad de otro suceso A. Si esto no ocurriera se diría que los sucesos A y B son independientes. Antes de dar una definición formal de este concepto haremos uso de un ejemplo donde queden claras estas ideas.
Ejemplo 14. Supongamos que se tiene un dado de seis caras construido de forma honesta. En tal caso todas las caras son equiprobables y el espacio muestral asociado al experimento que consiste en lanzarlo al aire es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A partir de este espacio muestral vamos a definir los sucesos: A = “obtener número par”; B = “obtener un dos o un cinco”; C = “obtener un 4”.
Para este experimento aleatorio, las probabilidades de los sucesos definidos antes son: P(A) = 1/2; P(B) = 1/3; P(C) =1/6. Ahora bien, si nos dijeran que al lanzar el dado ha tenido lugar el suceso C, entonces P(A/C) = 1, dado que (C ⊂ A ). Vemos como el conocer que ha tenido lugar C modifica la probabilidad de A. Por otro lado, si nos hubieran dicho que ha ocurrido B resulta ahora que:
( ) (^ ) ( ) P ( A )
PB
P A B = PA ∩ B = = =
/^16
En este caso la presencia de B no ha alterado la probabilidad del suceso A. En estas circunstancias se dice que la probabilidad de A no depende de la presencia de B. Esta idea se puede expresar también diciendo que A y B son dos sucesos independientes. Es decir, los sucesos A y B se dicen que son independientes cuando la presencia de uno de ellos no afecta a la probabilidad del otro.
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Si el resultado de este ejemplo lo lleváramos a la regla del producto definida antes se tiene entonces que:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B )
Pues bien, cuando se cumple esta última igualdad se dice que los sucesos son independientes. Esta condición de independencia entre sucesos es equivalente a que P(A) = P(A/B), o bien que P(B) = P(B/A). Pero que dos sucesos sean independientes no significa que sean mutuamente excluyentes. Este segundo caso se da cuando esos sucesos no pueden ocurrir simultáneamente y, por lo tanto, su intersección es el suceso imposible, por lo que su probabilidad será nula.
Si en lugar de tener los sucesos A y B se tuvieran los sucesos A, B y C, entonces se diría que los tres son independientes si lo son dos a dos y los tres a la vez. Es decir si se cumple que:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ), P ( A ∩ C ) = P ( A ) P ( C ) , P ( B ∩ C ) = P ( B ) P ( C )
P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C )
Ejemplo 15. En un departamento hay cuatro ordenadores numerados del 1 al 4. Si se seleccionan dos ordenadores al azar y se definen los sucesos A = {1, 2}, B = {1, 3} y C = { 1, 4} resulta que P(A) = P(B) = P(C) = 1/2. Además
P ( A ∩ B ) = 41 = P ( A ) P ( B ), P ( A ∩ C ) = 41 = P ( A ) P ( C ) , P ( B ∩ C ) = 41 = P ( B ) P ( C )
Este resultado nos permite decir que los sucesos son independientes por pares. En cambio:
P ( A ∩ B ∩ C ) = 41 ≠ 81 = P ( A ) P ( B ) P ( C )
Ello nos lleva a concluir que esos tres sucesos no son independientes.
Ejemplo 16. La probabilidad de que una empresa venda un producto defectuoso cuando la producción se somete a un proceso diario de control de calidad es 0,005. La
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b)
( ) (^ )
PD
PC D PC D
c)
P ( C / D ) = 1 − P ( C / D ) = 1 − 2000475 =^15252000 = 0 , 7625
d)
( ) (^ )
( 0 , 98 ) 0 ,^9645
/ = ∩ = / =^0 ,^950 ,^995 =
PD
PCPD C
PD
PC D PC D
e)
P ( C / D ) = 1 − P ( C / D ) = 0 , 0355
f)
( ) (^ )
/ = ∩ =PD / = 0,02^0 ,^7625 =
PC
PC D
PC
PD C PC D
g)
( ) (^ )
/ = ∩ = 1 − P ( D / C ) = 0 , 695
PC
PD C PC D
Para todos los apartados, puede apreciarse como influye de manera decisiva sobre la probabilidad inicial de los sucesos C y D (así como de sus respectivos complementarios) la información que se incorpora en el cálculo de las respectivas probabilidades condicionales. Así, mientras que P(C) = 0,95, en cambio, P(C/D) = 0,2375. Es decir, la probabilidad de que se realice un control de calidad es alta y, en esas circunstancias, es poco probable que se venda una pieza defectuosa (esa probabilidad no llega al 1%). Sin embargo, si se sabe que la pieza vendida es defectuosa entonces será poco probable que haya habido control de calidad, como de hecho se confirma con la nueva probabilidad. Este tipo de razonamiento es aplicable a todas las demás situaciones contempladas en este ejercicio.
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Ejemplo 17. Una empresa que se dedica a la venta de sus productos por internet está interesada en conocer cuales son sus clientes potenciales. Para ello realiza una encuesta a 1000 personas atendiendo a su edad y al número de horas semanales que navegan en al red, obteniendo los resultados que se dan en la tabla siguiente.
Edad Horas
Menores de 25 años
De 25 a 45 años
Mayores de 45 años
Total
Menos de 7 horas 100 250 100 450 De 7 a 14 horas 100 150 100 350 Más de 12 horas 100 50 50 200 Total 300 450 250 1000
A partir de la información de esta tabla se van a definir los siguientes sucesos: A 1 : persona menor de 25 años A 2 : persona de 25 a 45 años A 3 : persona mayor de 45 años B1: navegar menos de 7 horas a la semana B 2 : navegar entre 7 y 14 horas a la semana B 3 : navegar más de 14 horas a la semana.
Con esta notación, la tabla anterior se puede expresar como:
Edad Horas
A 1 A 2 A 3 Total
B 1 (A 1 ∩B 1 )=100 (A 2 ∩B 1 )=250 (A 3 ∩B 1 )=100 B 1 =
B 2 (A 1 ∩B 2 )=100 (A 2 ∩B 2 )=150 (A 3 ∩B 2 )=100 B 2 =
B 3 (A 1 ∩B 3 )=100 (A 2 ∩B 3 )=50 (A 3 ∩B 3 )=50 B 3 =
