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TEMA 10
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
De este tema debes saber…
1. Conocer y aplicar el lenguaje de los sucesos así como sus operaciones y propiedades.
Ejercicio 1. Consideramos el fenómeno aleatorio de extraer una carta de una baraja española. Sean los sucesos A={sacar oro}, B={sacar rey} y C={sacar el rey de bastos}. Determina: a) A C’ b) AUBUC c) A B C d) AUB e) A’ f) B – C
2. Aplicar las leyes de la probabilidad para obtener la probabilidad de un suceso a partir de las probabilidades de otros.
Ejercicio 2. En el espacio muestral E = {A, B, C} se tiene que P(A)=2·P(B) y P(C)=1/4. Halla P(A).
Ejercicio 2. Sean A y B dos sucesos tales que P(A)=3/8; P(B)=1/2 y P(A B)=1/4. Halla: a) P(AUB) b) P(A’ B’)= c) P(A – B)
3. Conocer los conceptos de sucesos compatibles o incompatibles, dependencia e independencia de sucesos, probabilidad condicionada, compuesta, probabilidad total y probabilidad “a posteriori”, y utilizarlos para calcular probabilidades.
Ejercicio 3. Sabiendo que P(A)=0’5; P(B)=0’5 y P(AUB)=0’75 determina: a) Si los sucesos A y B son compatibles o incompatibles. b) Si los sucesos A y B son dependientes o independientes.
Ejercicio 3. ¿Son independientes los sucesos de sacar una figura y sacar una espada al tomar una carta de una baraja española?
4. Calcular probabilidades en experiencias simples o compuestas descritas mediante un enunciado.
Ejercicio 4. Se lanzan cinco dados sobre una mesa. a) Calcula la probabilidad de que salgan todos números pares. b) Calcula la probabilidad de que salga al menos un seis. (Sol: 0’03125 y 0’5981)
Ejercicio 4. Un dado ha sido trucado de manera que la probabilidad de sacar un nº par es doble que la de sacar un nº impar. Se pide: a) Probabilidad de obtener un 5. b) Probabilidad de obtener un nº par. c) Si se lanza el dado trucado junto con otro correcto, probabilidad de obtener un nº par y otro impar. (Sol: 1/9, 2/3 y 1/2).
Ejercicio 4. Siete personas escriben por separado un número de 1 a 10. Halla la probabilidad de que las siete hayan escogido números distintos. (Sol: 0’06048)
Ejercicio 4. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es de 0’6, la de que apruebe Lengua es de 0’5 y la de que apruebe las dos es de 0’2. Halla la probabilidad de que: a) Apruebe al menos una asignatura. b) No apruebe ninguna asignatura. c) Apruebe Matemáticas y no Lengua. (Sol: 0’9; 0’1 y 0’3)
Ejercicio 4. El despertador de Andrés no funciona muy bien y el 20% de los días no suena. Cuando esto sucede hay una probabilidad de 0’9 de que llegue tarde a clase y cuando suena, la probabilidad de que llegue tarde a clase es de 0’2. a) Halla la probabilidad de que suene el despertador y llegue tarde a clase. b) Halla la probabilidad de que llegue temprano a clase. c) sabiendo que Andrés llegó tarde a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador? (Sol: 0’ 16 , 0’66 y 0’47)
5. Calcular probabilidades planteadas mediante enunciados que pueden dar lugar a una tabla de contingencia.
Ejercicio 5. En una universidad hay tres facultades: Ciencias, Letras e Ingeniería. En total hay matriculados 1000 alumnos/as de los cuales 400 son hombres. En la facultad de Ciencias está el 20% del total del alumnado y de ellos 50 son hombres. En la facultad de Letras hay 300 mujeres y 200 hombres. Escogiendo un alumno al azar: a) Halla la probabilidad de que estudie Ingeniería. a) Halla la probabilidad de que estudie Ciencias y sea mujer. a) Sabiendo que es hombre, halla la probabilidad de que estudie Letras. (Sol: 0’3; 0’15 y 0’5)
6. Calcular probabilidades totales o “a posteriori” utilizando un diagrama en árbol o las fórmulas correspondientes.
Ejercicio 6. Laura y Javier se reparten los ejercicios que les ha propuesto su profesora. Laura se queda con el 45% y Javier con el resto. Además sabemos que Laura resuelve incorrectamente un 10% de los ejercicios que intenta y Javier un 8%. a) Halla la probabilidad de que al elegir la profesora un ejercicio al azar esté mal resuelto. b) Si la profesora ha elegido un ejercicio que estaba mal resuelto, halla la probabilidad de que haya sido resuelto por Javier. (Sol: 0’089 y 0’4944)
Ejercicio 6. Un autobús recorre diariamente un trayecto de ida y vuelta entre dos ciudades. La probabilidad de que tenga un accidente un día sin lluvia es de 0’004 y con lluvia de 0’08. Cierta semana llovió 2 días. Sabiendo que dicha semana ocurrió un accidente, averigua la probabilidad de que fuera un día sin lluvia. (Sol: 0’1111)
Ejercicio 6. La urna A contiene 2 bolas blancas y 3 negras, la B 4 blancas y 1 negra y la C 3 blancas y 2 negras. Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras se extrae una bola de la urna A, si sale una cara y una cruz se extrae una bola de la urna B y si salen dos cruces se extrae una bola de la urna C. Halla la probabilidad de que la bola extraída sea blanca. (Sol: 13/20)
Ejercicio 6. Un médico dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecografías. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determina la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.
