¡Descarga Álgebra 01 2011 y más Exámenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
EXAMEN 22-01-
1. Realitza: a) Calcula el nombre complex següent en forma binomial (expressa’l de la forma a bi ): 2 1
i z b) Passa de forma binomial a polar o a l’inrevés, els nombres complexes:^24 i i^3
i^4 e c) Calcula el següent nombre complex en forma polar d) Resol l’equació següent donant totes les solucions possibles, en forma polar i binomial:
Resolució:
a) Multipliquem i dividim pel conjugat del denominador i després operem:
i i i i
i i
i i i
i i
i i
i i z
b) 2 4 i^25^ ei^1 ,^11 (argument aproximat en radians)
Desenvolupament: mòdul = r = ( 2 )^2 ( 4 )^22025 argument arctg ( 2 ) 1 , 11
ei i 2
Desenvolupament: ei i i i 2
(^431) ·(cos (^4) sin ) ·( ( ) )
c)^4
3 2 2 1
(^4) ei i
Multipliquem i dividim pel conjugat del denominador:
i z 1
4
z^4160
i i i i
i i
Ara passarem el nombre complex de forma binomial a polar:
mòdul = r =^44822 argument 4
arctg ( 1 )
d) 16 0 16 16 16 2 245 90 0123 4
z^4 z^4 z^44 180 º 180 º 360 º· k º º· k ; k ,,,
Les quatre arrels són:
(^245) º 2 2 i (^2135) º 2 2 i (^2225) º 2 2 i (^2315) º 2 2 i
2. Siguin els conjunts: A = {(1, 2 , 3), (0, a, 4), (1, 0,7)}, B = {(1, 2, 3), (0, 1, -2)} i C = {(1, 2, 3), (1, -1, -4)}. a) Troba el valor de a perquè A i B generin el mateix subespai. b) Demostra que, en aquest cas, el subespai generat per A no coincideix amb el generat per C****.
Resolució:
a) A =
detA = 4a+8 = 0 i d’aquí a = - b) Podem veure que (1, 2, 3), (0, -2, 4) generen A, i que (1, -1, -4) és linealment independent d’aquests dos vectors.
3. Discutiu i resoleu, quan sigui possible, el següent sistema d’equacions lineals per als diferents valors del paràmetre a R.
2 4 3 3 0 3 3 ( 1)
x y z x y z x y a z a
x y z x y z
que ens porta a la solució^3 2 , 7 3 , 3 3
x z^ y z z z.
4. Sigui a un paràmetre real i sigui fa^^ : R^^3 R^3 l’aplicació lineal definida per f ( , x y z , ) ( ax 2 ay 2 az ax , 2 ay 2 az , 2 ax 2 ay az ). a) Trobeu la matriu Ma de fa en les bases canòniques. b) Sabent que el polinomi característic de fa és Qa ( ) t det( M (^) a tI ) t^3 a t^2 , trobeu els valors propis de fa. c) Per a cada valor de a , estudieu si fa diagonalitza. d) En el cas en que fa diagonalitza, trobeu una base formada per vectors propis.
Resolució:
a) La matriu de f en les bases canòniques és:
a a a A a a a a a a
b) Com que el polinomi característic de fa és Qa ( ) t det( M (^) a tI ) t^3 a t^2 t t (^2 a^2 ) (0 t )( t a )( t a ) , aleshores els valors propis de fa són 0, a i – a.
c) Si (^) a 0 , aleshores Ma 0 i l’aplicació fa és l’aplicació zero, que diagonalitza. Si a 0 , aleshores fa té tres valors propis diferents. Com que les multiplicitats algebraiques són 1, les multiplicitats geomètriques també han de ser 1 (no poden ser més grans). Per tant tenim que el polinomi característic descomposa en factors lineals i les multiplicitats algebraiques i geomètriques de cada valor propi coincideixen. D’aquí es dedueix que fa diagonalitza.
d) Si a 0 , aleshores fa^0. Per a trobar els vectors propis cal resoldre el sistema d’equacions lineals: (^ M^ a 0 ) I X^0. Però com que Ma^0 , aleshores qualsevol vector és solució d’aquest sistema. Així, doncs, la base canònica, per exemple, és base de vectors propis de fa.
Si a 0 , per a trobar els vector propis de fa de valor propi 0, a i -a cal resoldre els tres sistemes d’equacions lineals: ( M (^) a 0 ) I X 0 , ( M (^) a aI X ) 0 i ( M (^) a aI X ) 0. O sigui:
a
a
a
x a a a x M I y a a a y z a a a z x a a a x M aI y a a a y z a a a z x a a M aI y a a a z a a
x y z
Usant que a 0 , es pot veure que: El subespai de solucions del primer sistema és: <(2,-3,2)>. El subespai de solucions del segon sistema és: <(1,-1,0)>. El subespai de solucions del tercer sistema és: <(1,-1,1)>.
Per tant, una base de vectors propis de fa és (2,-3,2), (1,-1,0),(1,-1,1).
