Algebra lineal primera parte de la asignatura 8-6-2011
1. Dar la definici´on de “matrices equivalentes”. Dar razonadamente el significado de este
concepto en t´erminos de aplicaciones.
Sea A m ×nen un cuerpo, r= rango A. Un teorema asegura que Aes equivalente a
cierta matriz “sencilla”, enunciarlo y demostrarlo.
2. Sea Aentera m×n. Un teorema asegura que existen matrices P,Qtales que son
enteras, tienen inversas enteras y P AQ =Ces de cierta forma “sencilla”, ¿cu´al es
dicha forma? Expresar este teorema en t´erminos de ciertas operaciones para matrices
y describir dichas operaciones.
Utilizando las propiedades de PyQ, probar que el conjunto de las soluciones enteras
de AX =b(bentera m×1) se puede obtener a partir del de otro sistema de matriz C.
Aplicar todo esto con A=1 4 7
−8 3 4 ,b=1
2para obtener las soluciones enteras.
3. Sea Fbilineal sim´etrica real en un Vde dimensi´on 4 tal que el rango de Fes 3 y la
signatura es 2. Responder las siguientes cuestiones (hay que demostrar las respuestas):
- ¿Tiene Valguna base formada por vectores is´otropos (F(v, v) = 0)?
- ¿Existe alg´un subespacio Stal que dim S= 2 y FSes nula?
- ¿Existe alg´un subespacio Ttal que dim T= 3 y FTes definida positiva?
4. Sea S=RhX, X2, X 3iyf:S→R2[X] la aplicaci´on lineal dada por f(p) = p′−p(1)2X.
- Hallar e
B1base de Sye
B2de R2[X] en las que la matriz de fsea del tipo IrO
O O .
- ¿Existe g:R2[X]→Slineal tal que f◦ges la identidad? Razonar que no existe o
hallarlas todas, d´andolas mediante sus matrices (usar par´ametros y decir en qu´e bases).
- Hallar todas las h:R2[X]→R2[X] lineales que cumplen que h◦f=f, expres´andolas
mediante sus matrices en la base e
B2(en funci´on de par´ametros). Usar la expresi´on
matricial de estas hpara ver que solo una de ellas cumple h(2X) = X. Dar la matriz
de esta ´unica hen la base 1, X, X 2y obtener h(c0+c1X+c2X2).
5. a) Sea Amatriz de una forma hermitiana Fdefinida positiva. Demostrar que det(A)
es un n´umero real positivo.
b) Considerando las siguientes matrices como matrices de formas cuadr´aticas reales,
obtener toda la informaci´on que dan los menores angulares sobre su car´acter, indi-
cando expl´ıcitamente las propiedades sobre menores utilizadas en cada caso:
A1=
331
331
112
A2=
−1 2 3
2−2−3
3−3−1
A3=
−3 2 0
2−3 0
0 0 −1
¿Existe alguna Bsim´etrica real cuyos menores coincidan con los de alguna de las
Aiy tenga distinto car´acter que esa Ai? Probar que no existe tal Bo dar una.
