¡Descarga Álgebra 06 2011 y más Exámenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
EXAMEN 22/6/
- Realitza els càlculs següents:
a) Demostra que si ) 2
z ( 1 i llavors z^9 z.
b) Escriu en forma binòmica els següents nombres complexos: rad 3
c) Resol l’equació següent proporcionant totes les solucions en forma polar (els arguments els pots posar en graus o en radians): x^52430
Solució:
a) Sí, és veritat. Anem a fer la potència de z que ens demanen, per això primer passem z a polars:
4
z ( 1 i i ara substituïm a l’equació:
z z 4 2 4 4
8 4 9 9 4
9 4
(^9) ( 1 ) 1 1 1 1 1. Observem que coincideix amb el
que es diu a l’enunciat.
b) i^ i )^2222 i 2
4 4 (cos( 135 º) sin( 135 º)) 4 (^2 135 º
rad i i i 2
)) 3 (^3
) sin(^2 3 3 3 (cos(^2 3
2
c) x^5 243 0 x^5243 x^5243 Si ara passem a polar:
x^5 243 x^5 2430 º (^3) ( 0 º 360 º k )/ 5 i, per tant, fent k=0,1,2,3,4 trobem que les
cinc solucions són: (^30) º, (^372) º, (^3144) º, (^3216) º, (^3288) º
- Siguin A i B els subespais de R^3 generat pels conjunts de vectors següents: A ( a , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) , a R
B ( 1 , 0 , 3 ),( 2 , 0 , 2 )
a) Troba la dimensió de A en funció d’ a. Troba la dimensió de B. Troba una base per cada subespai. b) Determina si els vectors v=(-4,0,1) i w=(0,1,-3) pertanyen o no a A i a B. En cas que hi pertanyin, calcula’n les coordenades en les bases de l’apartat anterior.
Solució:
a) Calculem els rang de les matrius:
Per A: 0 0 1 1
a 1 0 però trobem el menor 0 1 1
. Així la dimensió d’A
és 2 independentment d’ a. Com a base podríem usar el segon i tercer vectors que són linealment independents (contenen el menor anterior): Base A {( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 )}
Per B: Tenim el menor 0 3 2
. Així la dimensió de B és 2 i com a base
podríem usar els dos vectors amb que està definit: Base B {( 1 , 0 , 3 ),( 2 , 0 , 2 )}
b) Per al vector v=(-4,0,1) i el subespai A tenim el sistema
y
x que ens dona el sistema d’equacions 1
x y
x que té per
solució: x=4, y=-3. Així doncs v A i les seves coordenades són (4,-3).
Per al vector v=(-4,0,1) i el subespai B tenim el sistema
y
x que ens dona el sistema d’equacions 3 2 1
x y
x y que té
per solució: x=-5/4, y=-11/8. Així doncs v B i les seves coordenades són (-- 5/4,-11/8).
Per al vector w=(0,1,-3) i el subespai A tenim que w Ï A. Això ho podem veure
plantejant el sistema:
a a a a a
3 2 7 4 1 2 3 18 224 4 7 48 8 48 66 198 0 3 1 8 1 6
a a a a a
Així doncs, tenim:
Cas I. a 3 rang A ' 3 rang A 2 SI Cas II a 3 rang A ' 2 rang A SCD
I en aquest últim cas la resolució, una vegada eliminades, per exemple, la 1a i la 2a equacions obtenim:
x y x y
que té solució x 1 i y 2.
- Sigui f : R^3^ R^3 l’aplicació lineal definida per f ( , x y z , ) ( 9 x 2 ,100 z x y 20 ,55 z x 12 ) z. a) Trobeu la matriu A de f en les bases canòniques. b) Calculeu el polinomi característic i els valors propis de f. c) Estudieu si f diagonalitza. d) En el cas en que f diagonalitza, trobeu una base formada per vectors propis.
Resolució:
a) La matriu de f en les bases canòniques és:
A.
b) Com que el polinomi característic de f és
2 2
( ) det( ) 100 1 20 (1 ) 55 12 55 0 12 (1 )( 3 2) (1 )( 1)( 2) (1 ) (2 )
t t Q t A tI t t t t t t t t t t t t
Els valors propis de f són 1 amb multiplicitat algebraica 2, i 2 amb multiplicitat algebraica 1.
c) La multiplicitat geomètrica del valor propi 1 és: 10 0 2 dim( ( )) 3 ( ) 3 100 0 20 3 1 2 55 0 11
Nucli A I rang A I rang.
Per tant la multiplicitat algebraica i la multiplicitat geomètrica per al valor propi 1 coincideixen. Per al valor propi 2, com que l’exponent de (2-t) en el polinomi característic és 1, automàticament la multiplicitat algebraica coincideix amb la multiplicitat geomètrica. Es compleixen, doncs, les dues condicions per a que f sigui diagonalitzable: que el polinomi característic de f descomposi en termes lineals i que les multiplicitats geomètriques i algebraiques coincideixin per a tot valor propi.
d) Per trobar els vectors propis de f de valor propi 1 i 2 cal resoldre els sistemes d’equacions lineals: (A-I)X=0 i (A-2I)X=0. O sigui: 10 0 2 0 11 0 2 0 ( ) 100 0 20 0 ;( 2 ) 100 1 20 0 55 0 11 0 55 0 10 0
x x x x A I y y A I y y z z z z
Les solucions són els subespais: <(1,0,-5), (0,1,0)> i <(-2,20,11)>, respectivament. La base formada per vector propis de f és doncs. {(1,0,-5), (0,1,0),(-2,20,11)}.
