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ALGEBRA I

UNIDAD I INTRODUCCION A LA LOGICA

SIMBOLICA

INDICE:

• Prologo Introducción
• Proposición Valor de verdad de una proposición
• Términos de enlace o conectivos lógicos Clases de proposiciones
• Operaciones proposicionales Formulas proposicionales
• Formulas lógicamente equivalentes Propiedades de las operaciones proposicionales
• Aplicac Inferencia lógicaión a la teoría de circuitos eléctricos
• Tablas de inferencia Métodos para deducir la validez de razonamientos
• Esquemas proposicionales Cuantificadores
• Razonamiento deductivo con el uso de cuantificadores Bibliografía

esquemas cuantificadores. proposicionales, en una y dos variables y los

Consideramos tendrá problemas para aprender que sí el alumno ciencias exact aprende lógicaas y será capaz dematemática no programar computadoras, ya que un programa de computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona establece para resolver un problema determinado. Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un so camino para llegar al resultado. El camino puede ser mas largo olo más corto dependiendo de las reglas de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones como alumnos se ten en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante tengaga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los solución, porque en la vida cada quien resuelve sus conocimientos y obtener el resultado

INTRODUCCION Todo desarrollo matemático exige razonar en forma válida acerca .- de cosas trascendentes y particularmen Hay que comenzar por eliminar, las ambigüedades del lenguajete abstractas. ordinario, introduciendo símbolos y conectivos cuyo uso adecuado descarte las contingencias, aporte claridad y economía de pensamiento. En esta unidad introducimos el concepto de proposición, las operaciones proposicionales y sus propiedades, reglas de inferencia y la cuantificación de esquemas proposicionales cuyo uso estará presente en todas las unidades posteriores. PROPOSICION.- La proposición es un elemento fundamental de la ló DEFINICIÓN.- gica matemática. Una proposición es una oración declarativa de la cual podemos decir que es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. También una proposición es toda expresión verbal o escrita de la cual tenga sentido afirmar es verdadera o falsa. Una proposición e de las cuáles tiene sentido afirmar si es verdadera o falsa.s una colección de palabra, números o símbolos, Las oraciones interrogativas e imperativas no son proposiciones. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Ejemplo Indicar cuáles de l.- as siguientes expresiones son proposiciones y luego explique el porque de su respuesta. 1.- “La tierra es cuadrada”

 representar así:(p) = F, se lee valor de verdad de p falso, también (p) = . se suele TERMINOS DE ENLACE O CONECTIVOS LOGICOS términos de enlace o conectivos lógicos son: .- Los “y”, “o”, “no”, “si ….., entonces ……”, “….. si y solo si …..” CLASES DE PROPOSICIONES simples o atómicas y compuestas o .- Las proposiciones se clasifican en moleculares. PROPOSICIONES SIMPLES O ATOMICAS que no se pueden descomponer en otras más sencillas. Son .- Son proposiciones proposiciones completas sin términos de enlace o conectivos lógicos. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLE combinaciones de las proposiciones simples mediante los términos CULARES.- Las de enlace o conectivos lógicos, conforman las proposiciones compuestas Ejemplo simples y cuáles son compuestas. Justif .- Identificar cuáles de las siguientes proposiciones sonicar su respuesta.

1. 2.-- “Juan es estudioso”“Todo alumno estudia”
2. 4.-- “Algunos números son primos”“Hoy no es jueves”
3. 6.-- ““La Luna es r 25 = 5 si y solo si 5edonda y de queso”^2 = 5 ” 7.- “Mañana estudiamos o trabajamos” Res La proposición 1. puesta.- - es una proposición simple, pues no tiene término de enlace. La proposición 2.- es una proposición simple, pues tampoco tiene el término de enlace. (Es una proposición universal) La proposición 3.- es una proposición simple ya que no tiene término de enlace. (Es una proposición existencial). La proposición 4.- es una proposición compuesta, ya que tiene el conectivo “no”. La proposición 5.- es una proposición compuesta, pues tiene el termino de enlace si y solo si. La proposición 6,- es una proposición compuesta, ya que tiene el termino de enlace “y”. La proposición 7.- es una proposición compuesta, pues tiene el término de enlace “o”.

OPERACIONES PROPOSICIONALES.-

LA NEGACION proposición obtenida enunciando .- Se llama negación de “p” a continuaci la proposiciónón de “ pla palabra” a la “no”. Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica su complemento o negación (falso). esta operación se obtendrá NOTACION siguiente manera: .- La negación d “p”, y se lee “no p”e la proposición “p”, se simboliza de la VALOR DE VERDAD DE LA NEGACION “p” es verdadero, el valor de verdad de “p. ” es falso. - Si el valor de verdad de Si el valor de verdad de “p” es falso, el valor de verdad d verdadero. e “p” es O sea que simbólicamente tenemos: (p) = V si (p) = F (p) = F si (p) = V TABLA compuesta nos presenta el valor de verdad de esta, cons DE VERDAD.- La tabla de verdad de una proposicióniderando todas las simples componentes. combinaciones de valores de verdad de las proposiciones Si la proposición compuesta esta simples, el número de combinaciones formada de valores de verdad de las por “n” proposiciones proposiciones simples componentes es 2 demostrada posteriormente en la unidad III).n. (Esta expresión será Para determinar cada una de las se puede seguir del siguiente modo. combinaciones de valor de verdad Supongamos que la proposición compuesta proposiciones simples, entonces n=3 y el número esta integrada por de combinaciones tres de valores de verdad será 2^3 , es decir ocho.

Para la proposición u: u : “La aceleración de la gravedad no es 9.81 m/seg (^2) ” (u) = F Para la proposición r: r : “no, 15 no es múltiplo de 2” (r) = F Ejemplo negación. .- Hacer la tabla de verdad de (p), es decir de la doble LA La (^) conjunción de las proposiciones “p”, “q” CONJUNCION O PRODUCTO LOGICO es .- la proposición obtenida enunciando “q” a continuación de “p”, unidas ambas por la letra “y”. Se utiliza para conectar dos proposiciones que se para que se pueda obtener un resultado verdadero. deben cumplir NOTACION de la siguiente manera: .- La conjunción “p (^) qde la proposición “p”,”, y se lee “p y q” “q”; se simboliza VALOR DE VERDAD DE LA ambas proposiciones son verdaderas. CONJUNCION (pq) = .- (^) F, cuando al menos(pq) = V, cuando una de TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCION las proposiciones es falsa. .-

V^ p^ V q^ p V^ q V F VF FF F F F Ejemplo Dada la proposición “Pedro es .- estudioso y María es no es casada”, expresarla simbó Solución.- licamente. p: “ q: “María es no es casada”Pedro es estudioso” Expresión simbólica: p  (q) Ejemplo Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes .- proposiciones compuestas. a) “ log 100=2 y 102 =100” b) “ c) “todo número divido por cero es cero y cinco es cuadrado- 3 - 7=- 10 y 3/2 es número irracional” perfecto”

LA DISYUNCION O SUMA LOGICA.-

Para la disyunción exclusiva se presentan dos clases: la inclusiva y la LA DISY La disyunción inclusiva UNCION INCLUSIVA de las propo .- siciones “p”, “q” es la proposición obtenida enunciando “q” a continuación de “p”, unidas ambas por la letra “o”, en el sentido inclusivo (la una, la otra o ambas). cuando alguna de las proposiciones es Con esta operación se obtiene un resultado verdadero verdadera. NOTACION simboliza de la siguiente manera: .- La disyunción inclusiva “p de la proposición “p”, “q”; seq”, y se lee “p o q, en el sentido inclusivo”, es decir p o q o ambas. VALOR DE VERDAD DE LA DISYUNCION INCLUSIVA.- (pq) = F , cuando ambas proposiciones son falsas.  TABLA DE VERDAD DE LA (pq) = V, cuando al menos una de ellas es DISYUNCION INCLUSIVA verdadera. .-

V^ p^ q V^ p V q V F FV VV F F F DISYUNCION EXCLUSIVA La disyunción exclusiva de las proposiciones “p”, “q” .- es la proposición obtenida enunciando “q” a continuación de “p”, unidas ambas por la letra “o”, en el sentido exclusivo (la una, la otra pero no ambas). Con esta operación se obtiene un resultado verdadero cuando ambas tienen valores de verdad diferentes. NOTACION simboliza de la siguiente manera: .- La disyunción exclusiva “p de la proposición “p”, “q”; se⊻ q”, y se lee “p o q, en el sentido VALOR DE VERDAD DE exclusivo”, es decir p o q DISYUNCION , pero no ambas EXCLUSIVA.-

(p ⊻ q) = F, cuando ambas proposiciones simples son falsas. (pq) = V, cuando al menos una de ellas es verdadera.

Ejemplo compuesta: .- Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición [(pq)r], si (p) = V IMPLICACIONES ASOCIADAS La Reciproca: La Reciproca de (. p - (^) Las condicionales asoci q) es (q  p) adas son: La Contraria: La Contraria de La Contra-reciproca: La contra (p-reciproca de  q) es (p (p q)q) es (q  p) PROPOSICIONES EQUIVALENTES equivalentes si tienen la misma tabla de verdad. Es decir si tienen el .- Dos proposiciones son mismo valor de verdad para las mismas opciones de valor de verdad de las proposiciones simples que la componen. Ejemplo lógicamente equivalentes. .- Establecer cuales de las condicionales asociadas son LA La bi BI condicional de dos proposiciones p, q es la proposición CONDICIONAL.- de la forma “p si y solo si q” NOTACION La bicondicional de las proposiciones p, q se simboliza de la .- siguiente manera: ‘“p “p si y solo si q” q” y se lee: “p es condición suficiente y “q es condición necesaria y suficiente para p” necesaria par q” VALOR DE VERDAD DE LA tiene un valor de verdad falso, cuando el valor de verdad de ambas BICONDICIONAL.- La bicondicional proposiciones es falso y el valor de verdad de la bicondicional es verdadero, cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. (pq) = F, cuando (p) ≠ (q) (pq) = V, cuando (p) = (q) TABLA DE VERDAD DE LA BICONDICIONAL.- V^ p^ q V^ p^ V q V F FV FF F F V La bicondicional se define también com condicional y la reciproca, es decir: po la conjunción dq  (pq)  (qe lap)

FORMULAS PROPOSICIONALES DEFINICIÓN.- Una formula proposicional .- es la combinación de letras y conectivos lógicos de manera tal que al sustituir las letras por proposiciones se obtiene una proposición. Ejemplo.- (pq)  (qp) CLASIFICACION DE LAS FORMULAS PROPOSICIONALES^ (pq)^ ^ (qp) .- Se clasifican en Tautológicas, antitautologicas y contingencias. TAUTOLOGICAS.- Son formulas proposicionales que siempre son verdader las proposas cualquiera sea la combinación de valores de verdad deiciones componentes, es decir tienen su tabla de verdad llena de verdades y solo de verdades. ANTITAUTOLOGICAS.- Son formulas proposicionales que siempre son falsas cualquiera sea la combin las proposiciones componentes, es deciración de valores de verdad de tienen su tabla de verdad llena de fal CONTINGENCIAS sedades y solo de fal .- Son formulassedades. proposicionales que no son tautológicas ni antitautologicas Ejemplo.- Determinar la tabl.a de verdad de las formulas proposicionales siguientes y luego clasificarlas. 1.-  ((pq)p) 2.- [(pq) (qp)]((qr)

1. FORMULAS LOGICAMENTE EQUIVALENTES - [q(pq](p) .- Dos formulas son lógicamente valores de verdad cualquiera sea la combinación de los valores de equivalentes si toman los mismos verdad de las proposiciones Dos formulas son lógicamente equivalentes si y solamente si la simples componentes. bicondicional entre ellas es una verdad Ejemplo .- Demostrar la equivalencia lógica lógica (Tautológica de las ).siguientes formulas proposicionales (pq) y (pq)

p pTF  (^) FT pF  p PROPIEDAD 11. p -  COMPLEMENTACION p  F p T p F T Ejemplo que las siguientes formulas son lógicamente equivalentes. .- Usando las propiedades de las proposiciones demostrar a) b)  [(p{  [ (^)  p (^)  q)  (p  (^)  q]  (^) q) ] }  (p   q) F  q Solución Para demostrar la equivalencia .- lógica de las formulas dadas, vamos ha partir del miembro de la izquierda para llegar al de la derecha usando en forma sucesiva propiedades de las operaciones proposiciona a) les que sean pertinentes.  [(p   q)   q]   ( p( p q)q)  q( q) Ley de MorganDoble negación   [((  pp )  (^)  q )( q )] q (^)  q Implicación materialLey de Morgan  (p  q )  q (lqqd) Doble negación dos veces a ) {  [  p   (p   q) ] }  p  (p  q) Doble negación   pp  [ p(pq)( q)] NDobleeg. d e condicionalnegación   (F p  q p)  q Asociativa de laComplementación 

Ejemplo.- Usando las propie^ dades de las proposiciones^ F^ (lqqd)^ Identidad demostrar la ley de absorción. (p  q)  p  p Solución (p  q)  .p-  (p  q)  (pT)] Identidad   pp  (qT  T) Distributiva en sentido inversoIdentidad  p (lqqd) Identidad

APLICACIÓN A LA TEORIA DE CIRCUITOS ELECTRICOS.-

Cada formula proposicional se puede representar por un circuito eléctrico. Para ello primero estableceremos las componentes del circuito. Los interruptores: (o llaves) Representan las proposiciones de las formulas proposicionales. La proposición es verdadera cuando el interruptor esta cerrado y es una representa proposición gráficamente de la siguiente forma: falsa cuando el interruptor esta abierto. Se

La bombilla Representa el valor de verdad de la formula proposic eléctrica.- ional asociada al circuito cuando la bombilla se apaga., es verdadera cuando la bombilla se Se representa de la siguiente manera: enciende y es falsa

Los cables Permiten las conexiones entre los interruptores eléctricos.- , se representan por líneas. La fuente de Da vida al circuito, y se energía.- representa por:

Los combinaciones de ambos. circuitos se pueden conectar en serie o en paralelo y

CIRCUITO EN SERIE.- (Conjunción) p V (^) q V (^) p V q V F FV FF F F F

Si (p) = F Si (q) = V

p q (pq)

INFERENCIA LOGICA.-

El proceso de inferir una S 1 , S 2 , S 3 ,……, Sn, se proposición t de las proposiciones dadas llama razonamiento y se representa mediante el esquema siguiente:

t conclusión

premisas s.

ss

s

n

32

1

Con esto queremos significar que como las proposiciones ….., sn son verdaderas, por lo tanto t es verdadera. s 1 , sA 2 , slas 3 , proposiciones razonamiento y a “t” conclusión. s 1 , s 2 , s 3 , ….., sn se las denomina premisas del Se dice que tal razonamiento es valido si y solamente si: (s 1  s 2  s 3  ….. sn)  t es una formula tautológica. Ejemplo p: “José es responsable” .- Sean las proposiciones q: “José formó en la Gabriel” s :qp s 2 : 1 p q 

Este condicional la conclusión es una formula tautol razonamiento es valido si la conjuncióógica.n de las premisas p V (^) q V (^) p V q (p V q)  p [(p  q) V p]  q V F FV (^) VF FF VV F F V F V Como tautolog podemosía. observar la formula [(pq)p]q es una

Por lo tanto el razonamiento es valido. TABLAS DE INFERENCIA.- REGLA 1 Método que afirma el consecuente afirmando el anteced .- Modus ponendo ponens.- PP ente pq p q 

REGLA Método que niega el antecedente negando el consecuente 2 .- Modus Tollendo Tollens.- TT qp p q 

REGLA 3 .- Modus Tollendo Ponens.- TP

pq

p q 



pq

p q

REGLA 4 .- Regla de simplificación.- S p pq p qq REGLA 5 .- Regla de Adjunción.- A pq q

p   qq p

p   REGLA 6 .- Ley del silogismo hipotético.- SH qp rr p q  

REGLA 7 .- Ley de adición.- LA REGLA 8 .- Ley del silogismo disyuntivopp^ q pq^ q .- SD