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Cap´ıtulo 7
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
7.1. Introducci´on
Se denomina ecuaci´on lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las inc´ognitas no est´an elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s´ı, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuaci´on lineal con tres inc´ognitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 inc´ognitas representan una recta en el plano. Si la ecuaci´on lineal tiene 3 inc´ognitas, su representaci´on gr´afica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:
Figura 7.1: Representaci´on gr´afica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1 en el espacio
El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geom´etricamente representan la misma recta o plano.
7.2. Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:
a 11 · x 1 + a 12 · x 2 + a 13 · x 3 + · · · + a 1 n · xn = b 1 a 21 · x 1 + a 22 · x 2 + a 23 · x 3 + · · · + a 2 n · xn = b 2 .. . am 1 · x 1 + am 2 · x 2 + am 3 · x 3 + · · · + amn · xn = bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n inc´ognitas. Los n´umeros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan inc´ognitas (o n´umeros a determinar) y bj se denominan t´erminos independientes. En el caso de que las inc´ognitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x 1 y x 2 , y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x 1 , x 2 y x 3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las inc´ognitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simult´aneamente. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
7.3. Expresi´on matricial de un sistema
Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:
a 11 a 12 a 13... a 1 n a 21 a 22 a 23... a 2 n .. .
am 1 am 2 am 3... amn
m x n
x 1 x 2 .. . xn
n x 1
b 1 b 2 .. . bm
m x 1
La matriz A =
a 11 a 12 a 13... a 1 n a 21 a 22 a 23... a 2 n .. .
am 1 am 2 am 3... amn
se llama matriz de coeficientes, la matriz X =
x 1 x 2 .. . xn
se llama matriz de inc´ognitas, y la matriz B =
b 1 b 2 .. . bm
se llama matriz de t´erminos independientes.
La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:
(A|B) =
a 11 a 12 a 13... a 1 n a 21 a 22 a 23... a 2 n .. .
am 1 am 2 am 3... amn
b 1 b 2 .. . bm
se llama matriz ampliada del sistema y se representar´a por (A|B) o b ien porA∗.
Ejemplo: El sistema:
x + y − z = 5 x + y = 7 2 x + 2y − z = 12
escrito matricialmente es:
x y z
Resolver e interpretar el sistema: x + 2y = − 3 − 2 x − 4 y = 5
Por igualaci´on:
x = − 3 − 2 y x = 5 + 4y − 2
de donde:
− 3 − 2 y = 5 + 4y − 2
=⇒ 4 y + 6 = 5 + 4y =⇒ 0 y = −1 =⇒ 0 = − 1
lo cu´al es imposible y por tanto el sistema no tiene soluci´on, es un sistema incompatible y por tanto las rectas son paralelas. Geom´etricamente:
Figura 7.3: Sistema sin soluci´on. Rectas paralelas
Resolver e interpretar el sistema: x + 2y = − 3 3 x + 6y = − 9
Por sustituci´on, como x = − 2 y − 3 resulta 3(− 2 y − 3) + 6y = −9, es decir − 6 y − 9 + 6y = −9, por tanto 0y = 0, 0 = 0. Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.
Figura 7.4: Infinitas soluciones. Las rectas coinciden
Lo expresaremos as´ı. Como x = − 2 y − 3, dando valores a y se obtiene x. As´ı si le damos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremos la soluci´on como:
x = − 2 λ − 3 y = λ
siendo λ ∈ R
y como λ puede ser cualquier n´umero real, hay infinitas soluciones. Estos son los ´unicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos inc´ognitas, y su interpretaci´on geom´etrica.
Ejercicio: Estudiar la soluci´on de los siguientes sistemas e interpretarla geom´etricamente:
a)
x + y = 5 2 x − y = 7 b)
2 x + y = 1 3 x + 2y = 4 c)
x + 2y = 3 x − y = 4
7.5.1. Discuci´on de sistemas de 2 ecuaciones con 2 inc´ognitas
Si alguno de los coeficientes del sistema es desconocido, por ejemplo,
ax + 3y = 5 2 x − y = 6 , no estamos ante un s´olo sistema, sino ante infinitos, uno para cada valor de a, y cada sistema ser´a distinto en funci´on del valor que tome dicha letra (llamada par´ametro). Para estudiarlo, se resuelve el sistema como habitualmente y se estudian los distintos casos que se pueden dar. Por ejemplo , por reducci´on:
ax+3y= 6x-3y= ax+6x =
por tanto, x(6 + a) = 23. Entonces, si 6 + a = 0 no podremos despejar x, es decir si a = −6, obtenemos una ecuaci´on del tipo 0 = 23, es decir, imposible. Por tanto, si a = −6 el sistema es incompatible. En cualquier otro caso, podemos despejar x,x =
6 + a , y se puede sacar y sustituyendo, por tanto,
si a = −6, el sistema es compatible determinado.
Ejercicio: Discutir los sistemas en funci´on del par´ametro desconocido:
a)
x + y = 5 ax + 2y = 10 b)
ky + x =
y − 3 x = 5
7.6. Sistemas de 2 inc´ognitas y 3 ecuaciones
Podemos a˜nadir a los cl´asicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 inc´ognitas cuantas ecuaciones queramos para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o m´as ecuaciones. En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismos rese˜nados anteriormente. Al aumentar el n´umero de ecuaciones, la resoluci´on del sistema por alguno de los tres m´etodos cl´asicos se vuelve m´as farragoso, por lo que conviene aplicar ya el conocido m´etodo de Gauss para determinar el tipo de sistema. Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz ampliada asociada, que tendr´a 2 columnas y tantas filas como ecuaciones tengamos. Analizaremos tan s´olo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 inc´ognitas. La matriz ampliada gen´erica es:
(A|B) =
a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32
b 1 b 2 b 3
Aplicar el m´etodo de Gauss consiste en realizar transformaciones elementales mediante las filas de la matriz para obtener la matriz escalonada siguiente:
(A|B) =
a 11 a 12 0 a∗ 22 0 0
b 1 b∗ 2 b∗ 3
Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de la matriz (ecuaciones del sistema) eran:
Geom´etricamente, las tres rectas coinciden (son la misma):
b) Si b∗ 2 = 0, b∗ 3 = 0 o b ienb∗ 2 = 0, b∗ 3 = 0, aparece una ecuaci´on 0=0 (que no influye) y otra 0=k (que es imposible). El sistema es incompatible. Geom´etricamente: a) Dos rectas son paralelas y la otra las corta. b) Dos rectas coinciden y la otra es paralela.
c) Si b∗ 2 = 0, b∗ 3 = 0, hay dos ecuaciones 0=k que son imposibles, el sistema es incompatible. Geom´etricamente, las tres rectas son paralelas o dos son coincidentes y una paralela.
En cada uno de los casos, para determinar la posici´on concreta de las rectas, basta representarlas.
Ejemplo Estudiar el sistema siguiente, dando la interpretaci´on geom´etrica:
−x + 2y = 5 3 x + y = 7 2 x + 3y = 12
A partir de la matriz ampliada y aplicando el m´etodo de Gauss, obtenemos:
(A|B) =
−F−^2 −^ +3−−F→^1
F 3 +2F 1
−F−^3 −^ −−F→^2
En este caso aparece una ecuaci´on 0=0 que no influye y el elemento a∗ 22 es no nulo. El sistema es compatible determinado, tiene soluci´on ´unica. Geom´etricamente, puede ocurrir que: a) Dos rectas son coincidentes y la otra las corta. b) Las tres rectas se cortan en un mismo punto. Resolviendo y dibujando, obtenemos: −x + 2y = 5 7 y = 22
De donde y =
y sustituyendo es x =
(compru´ebalo). Dibujando las rectas:
Figura 7.5: Soluci´on del sistema. Las tres rectas se cortan en un punto: P=
(^ se observa que las rectas se cortan en un punto, precisamente el punto soluci´on del sistema:^ P^ = 9 7
Ejercicios a) Resuelve e interpreta geom´etricamente los sistemas:
a)
x + y = 0 −x + y = 2 x + 3y = − 2
b)
x − y = − 2 x + 2y = 1 4 x − 10 y = − 14
c)
2 x + y = 2 −x + y = − 3 y = − 2 x b) Discute y resuelve en funci´on del par´ametro:
a)
x − y = 1 x + 2y = − 1 2 x + my = 0
b)
2 x + y = 3 −x + 3y = 0 mx + 4y = 3
- Son coincidentes: Lo cu´al es f´acil de saber porque sus correspondientes ecuaciones tienen coefi- cientes de las inc´ognitas y los t´erminos independientes proporcionales, es decir, si los planos son: { α ≡ Ax + By + Cz = D β ≡ A′x + B′y + C′z = D′
entonces se verifica: A A′^
B
B′^
C
C′^
D
D′
(siempre que se puedan realizar las divisiones). Por ejemplo, los planos 2x + 3y − z = 5, y − 10 x − 15 y + 5z = −15 son coincidentes.
- Son paralelos: Tambi´en es sencillo de saber porque los coeficientes de las inc´ognitas son propor- cionales, pero los t´erminos independientes NO. Es decir, en este caso: { α ≡ Ax + By + Cz = D β ≡ A′x + B′y + C′z = D′
entonces se verifica: A A′^
B
B′^
C
C′^
=^
D
D′
(siempre que se puedan realizar las divisiones). Por ejemplo, los planos 2x + 3y − z = 5 y − 10 x − 15 y + 5z = 7 son paralelos.
- Son secantes: Simplemente los coeficientes no son proporcionales, es decir: { α ≡ Ax + By + Cz = D β ≡ A′x + B′y + C′z = D′
entonces se verifica: A A′^
=^
B
B′^
=^
C
C′^
=^
D
D′
(siempre que se puedan realizar las divisiones, y basta con que un par de ellas correspondientes a las inc´ognitas sean diferentes). Por ejemplo, los planos 7x + 3y − z = 5 y − 10 x − 15 y + 5z = 7 son secantes.
Puesto que podemos determinar la posici´on de los planos 2 a 2, podemos determinar en qu´e posici´on se encuentran los 3 a la vez, fij´andonos en los casos:
- Si el sistema es S.C.D. (Soluci´on ´unica), es que los tres planos se cortan en un punto, que es la soluci´on del sistema.
- Si el sistema es S.C.I. (Infinitas soluciones), puede ocurrir que:
a) Los tres planos se corten en una recta. b) Dos planos son coincidentes y el otro los corta en una recta. c) Los tres planos son coincidentes.
Y determinaremos la opci´on correspondiente estudi´andolos de dos en dos.
- Si el sistema es S.I. (Sin soluci´on), puede ocurrir que:
a) Los planos se cortan dos a dos. b) Dos planos son paralelos y el otro los corta. c) Los tres planos son paralelos. d ) Dos planos son paralelos y el otro coincidente con uno de ellos.
Y determinaremos la opci´on correspondiente estudi´andolos de dos en dos.
Ejemplo: Estudiar el sistema e interpretarlo geom´etricamente:
2 x + y − z = − 6 3 x − y + z = − 5 4 x + 2y − 2 z = − 1
Aplicando Gauss a (A|B) =
, se obtiene:
−^2 −F^2 −^ −−^3 −F→^1
F 3 − 2 F 1
2 x + y − z = − 6 − 5 y + 5z = 8 0 = 11
Lo que indica que el sistema es incompatible y por tanto no tiene soluci´on, los planos no tienen puntos comunes.
que vuelve a ser S.C.D. Si m = 1, al aplicar Gauss queda:
Se obtienen dos valores distintos de z, lo que es absurdo y el sistema en este caso no tiene soluci´on (S.I.) Conclusi´on:
- Si m = 1 S.I.
- Si m = 1 S.C.D.
Ejercicios:
- Discutir en funci´on del par´ametro desconocido los sistemas siguientes e interpretar geom´etrica- mente el resultado:
a)
x + y + az = 1 x + ay + z = 1 ax + y + z = 1
b)
x + y − 6 z = 0 x − 2 y + 6z = 0 3 x + −y + mz = 0
c)
3 x + y + 2z = 1 − a (1 + a)x + 2y + z = a ax − y + z = 1 − a
d)
x + y + az = a^2 x + ay + z = a ax + y + z = 1
- Dado el sistema
x + 2y − z = 8 2 x − 3 y + z = − 1 3 x − y + kz = 5
, se pide:
a) Hallar el valor de k que hace el sistema incompatible. b) Hallar el valor de k que hace el sistema compatible y adem´as z= -1. c) Para el valor de k hallado en b), resolver el sistema.
7.8. Aplicaci´on de las matrices y determinantes a la resoluci´on de
sistemas. Regla de Cramer
7.8.1. Aplicaci´on de las matrices
Si tenemos un sistema con el mismo n´umero de ecuaciones que de inc´ognitas ( un sistema de ese tipo de llama cuadrado), entonces la matriz A de coeficientes es cuadrada y podemos escribir el sistema matricialmente as´ı:
A · X = B donde A,X y B son las matrices ya definidas de coeficientes, inc´ognitas y t´erminos independientes respectivamente. Como el objetivo es calcular la matriz X de inc´ognitas, el problema estar´ıa resuelto si conseguimos despejar X de dicha ecuaci´on. Sabemos que eso se puede hacer s´olo cuando la matriz A posee inversa, y en ese caso aplicar´ıamos que: A · X = B =⇒ A−^1 · A · X = A−^1 · B =⇒ I · X = A−^1 · B =⇒ X = A−^1 · B es decir podr´ıamos calcular X, y el sistema tendr´ıa soluci´on ´unica. Si A no posee inversa, no podemos despejar X y el sistema no se puede resolver de esta manera.
Conclusi´on: En un sistema cuadrado y cuya matriz de coeficientes tenga inversa, la soluci´on del sistema viene dada por: X = A−^1 · B
Ejemplo: Resolver, aplicando la inversa, el sistema:
2 x + y − z = 11 x − 3 y = − 20 4 x + 2y + 5z = 8
La matriz de coeficentes es
Para poder aplicar lo anterior es necesario que A tenga inversa, lo que por ejemplo comprobamos haciendo det (A). Como det(A) = −49, no nulo, A tiene inversa. Por tanto y seg´un lo dicho,X = A−^1 · B , es decir:
x y z
− 1 ·
Si hacemos la inversa de A (¡compru´ebalo!), resulta:
A−^1 =
15 49
1 7
3 5 49 49
− 2 7
1 − 2 49 49 0
1 7
y por tanto, (^)
x y z
15 49
1 7
3 5 49 49
− 2 7
1 − 2 49 49 0
1 7
es decir x=1, y=7 , z=-2 , soluci´on que ya hab´ıamos obtenido utilizando el m´etodo de Gauss.
7.8.2. Regla de Cramer
En el caso de sistemas que cumplan las mismas condiciones que los del anterior apartado, es decir, que sean cuadrados y tales que su matriz de coeficientes tenga inversa (los sistemas que cumplen estas dos condiciones se llaman sistemas de Cramer ), se puede aplicar una regla muy sencilla para calular la soluci´on y que se basa en los determinantes, conocida como regla de Cramer. Si det(A) es cero, evidentemente la regla no se puede aplicar.
La regla de Cramer: Para un sistema de Cramer (cuadrado y con matriz regular) se verifica que la inc´onita n´umero k se calcula dividiendo entre el determinante de A el determinante que resulta de sustituir la columna k (correspodiente al lugar que ocupe la inc´ognita que se est´a calculando) por la columna de t´erminos independientes.
Ejemplo: Resolver el sistema
2 x + y − z = 11 x − 3 y = − 20 4 x + 2y + 5z = 8
Como el sistema es de Cramer puesto que det(A) = −49, aplicamos la regla de Cramer: Para x sustituimos la primera columna por la de t´erminos independientes pues x es la primera inc´ognita:
x =
7.10. Sistemas homog´eneos
Un sistema homog´eneo es aqu´el que tiene todos los t´erminos independientes nulos. Cualquier sistema homogeneo es evidente que es compatible, pues dando a cada inc´ognita el valor 0, se cumplen las ecuaciones. Esta soluci´on (que todas las inc´ognitas sean nulas) se llama soluci´on trivial. El problema entonces est´a en determinar si dichos sistemas son compatibles determinados o inde- terminados. Aplicando el teorema de Rouch´e s´olo podemos tener dos casos: a) Rg (A) = nº inc´ognitas. En este caso el sistema es compatible determinado, y por tanto tiene soluci´on ´unica que es la trivial (todas las inc´ognitas valen cero) b ) Rg(A)< nº inc´ognitas. En este caso el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones que se determinan de la manera conocida.
Ejercicios:
- Estudiar la soluci´on de los sistemas homog´eneos siguientes:
a)
x + y = 0 x − y = 0 b)
x + y + z = 0 2 x − y + z = 0 c)
x + y − z = 0 2 x − y + z = 0 4 x + y − z = 0
- Discutir el sistema homog´eneo:
6 x + 18y − bz = 0 7 x − 2 y − 4 z = 0 4 x + 10y − 6 z = 0
