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Cálculo matricial: conocimientos previos
1. Álgebra de matrices
De nición
Se llama matriz de orden m×n sobre el cuerpo R de los números reales a todo conjunto de m · n
elementos de R dispuestos en m las y en n columnas.
Podemos de nir los siguientes tipos de matrices:
Matriz la
1
Matriz columna
2
Matriz nula
3
Matriz opuesta
4
Matriz traspuesta
5
Submatriz
6
Matriz cuadrada 7
Dentro del conjunto de matrices cuadradas, podemos de nir los siguientes tipos de matrices:
Matriz diagonal 8
Matriz escalar 9
Matriz identidad 10
Matriz triangular superior
11
Matriz triangular inferior
12
Matriz simétrica
13
Matriz antisimétrica
14
(^1) Se llama matriz la a toda matriz de orden 1 × n. 2 Se llama matriz columna a toda matriz de orden n × 1. (^3) Se llama matriz nula de orden m × n, y se representa por Θ mn, a la matriz de orden^ m^ ×^ n^ cuyos elementos son todos
nulos. (^4) Dada una matriz A de orden m × n, se llama matriz opuesta de A, y se representa por −A, a la matriz del mismo
orden cuyos elementos son los opuestos (en el cuerpo R) de los de A. (^5) Dada una matriz A de orden m × n, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz de orden
n × m que se obtiene intercambiando en A las las por las columnas. (^6) Dada una matriz A m×n, se llama^ submatriz^ de ella a toda matriz que se obtenga eliminando las, columnas o ambas
de la matriz A. 7 Se llama matriz cuadrada a toda matriz que tenga el mismo número de las que de columnas. 8 Se llama matriz diagonal a toda matriz cuadrada en la que son nulos todos los elementos situados fuera de la diagonal
principal. 9 Se llama matriz escalar a toda matriz diagonal en la cual todos los elementos diagonales son iguales entre sí. 10 Se llama matriz identidad, y se representa por I, a toda matriz escalar en la cual los elementos diagonales son iguales
a 1. 11 Se llama matriz triangular superior a toda matriz cuadrada en la cual son nulos todos los elementos situados por
debajo de la diagonal principal. 12 Se llama matriz triangular inferior a toda matriz cuadrada en la cual son nulos todos los elementos situados por
encima de la diagonal principal. 13 Se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada que coincide con su traspuesta. 14 Se llama matriz antisimétrica a toda matriz cuadrada cuya traspuesta coincide con su opuesta.
De nición
Dadas dos matrices del mismo orden, Am×n = {aij } y Bm×n = {bij }, se llama matriz suma de
ambas, y se representa por C = A+B, a la matriz del mismo orden cuyos elementos veri can cij = aij +bij
para todo i = 1, 2 ,... , m y para todo j = 1, 2 ,... , n.
15
(Aquí puedes ver las propiedades de la suma de matrices)
De nición
Se llama producto de una matriz Am×n por un escalar (número real) α, y se representa por
α · A, a otra matriz del mismo orden que A cuyos elementos son el producto de los elementos de A por
el escalar α.
(Aquí puedes ver las propiedades del producto de una matriz por un escalar)
De nición
Dadas dos matrices Am×n y Bn×p, se llama producto de ambas matrices, y se representa por A · B,
a otra matriz C cuyo elemento cij se obtiene sumando todos los productos de los elementos de la la
iésima de la matriz A por los correspondientes elementos de la columna jésima de la matriz B.
16
(Aquí puedes ver las propiedades del producto de matrices)
De nición
Una matriz cuadrada A se llama regular si posee elemento simétrico respecto del producto de ma-
trices; dicho elemento simétrico se denomina matriz inversa de A, se representa por A − 1 y veri ca que
A · A − 1 = A − 1 · A = I. Una matriz cuadrada A se llama singular si no posee matriz inversa.
De nición
Se llama matriz ortogonal a toda matriz cuadrada cuya inversa coincide con su traspuesta.
De nición
Sea A un matriz cuadrada y sea n un número entero positivo. Se de nen las potencias de exponente
entero de matrices cuadradas como:
A
n = A · A
n) · · · A
A
−n = (A
− 1 )
n (sólo si A es regular)
A
0 = I
(Aquí puedes ver las propiedades de las potencias enteras de matrices)
2. Determinantes
De nición
Si A es una matriz cuadrada de orden dos, se llama determinante de dicha matriz al número:
∣ ∣ ∣ ∣
a 11 a 12
a 21 a 22
= a 11 · a 22 − a 12 · a 21
Antes de de nir el determinante de una matriz de orden mayor que dos necesitamos de nir algunos
conceptos previos:
15 Véase el archivo suma.swf 16 Véase el archivo producto.swf
Teorema
Toda matriz regular puede convertirse en la matriz identidad aplicando transformaciones elementales
sólo de las.
Teorema Método de GaussJordan
La matriz inversa de una matriz regular A se obtiene aplicando sobre la matriz identidad I las mismas
transformaciones elementales de las y en el mismo orden que aplicamos sobre A para convertirla en I.
4. Sistemas de ecuaciones
De nición
Dado un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, se llama matriz de coe cientes a la matriz de
orden m × n formada por los coe cientes de las incógnitas, matriz de términos independientes a
la matriz de orden m × 1 formada por los términos independientes y matriz ampliada a la matriz de
orden m × (n + 1) formada al añadir la columna de términos independientes a la matriz de coe cientes
del sistema.
De nición Clasi cación de los sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible si no posee ninguna solución, compatible de-
terminado si posee una única solución y compatible indeterminado si posee más de una solución.
Discutir un sistema consiste en averiguar a cuál de los tres tipos de sistemas pertenece; resolver un
sistema consiste en obtener todas las soluciones que posee.
De nición
Se llama sistema homogéneo a todo sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de términos inde-
pendientes es una matriz nula.
Teorema
Todo sistema homogéneo es compatible, puesto que siempre posee la denominada solución trivial, en
la que todas las incógnitas son nulas. Un sistema homogéneo es indeterminado si además posee soluciones
distintas de la trivial.
Método de Gauss
De nición
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Teorema
Si en la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales aplicamos una transformación elemental
de las, obtenemos la matriz ampliada de otro sistema equivalente al dado.
Teorema Método de Gauss
Aplicando transformaciones elementales de las sobre la matriz ampliada, transformamos ésta hasta
conseguir que la matriz de coe cientes sea escalonada. Se resuelve entonces el sistema de forma recursiva,
partiendo de la última ecuación y resolviendo las anteriores de forma consecutiva hasta llegar a la primera.
Teorema de Rouché
Teorema Teorema de Rouché
La condición necesaria y su ciente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es
que la matriz de coe cientes y la matriz ampliada tengan el mismo rango. Si, además, el rango común
coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado, y si es menor, es compatible
indeterminado.
Teorema
Fijado un menor no nulo de orden igual al rango de la matriz de coe cientes, todas las ecuaciones
cuyos coe cientes no están en dicho menor se pueden eliminar (puesto que son combinación lineal de las
demás), y todas las incógnitas cuyos coe cientes no están en dicho menor se consideran parámetros y se
pasan a los términos independientes.
5. Ejercicios propuestos
Ejercicio 1.
Resolver matricialmente el sistema
2 A + 3B = M
−A + 5B = N
, siendo las matrices M =
y
N =
Solución: A =
1
13
( 2 − 9
− 5 − 5
)
y B =
1
13
( 3 6
− 1 12
)
Ejercicio 2.
Calcular A y B sabiendo que:
A + B =
(^) A + At^ =
(^) B − Bt^ =
Solución: A =
0 − 1 − 2
1 0 − 1
2 1 0
(^) y B =
1 3 5
3 5 7
5 7 9
Ejercicio 3.
Una matriz cuadrada es nilpotente de índice p si p es el menor número natural para el que A p = θ.
Dada la matriz A =
(a) Probar que A − I es nilpotente.
(b) Utilizando el resultado anterior, hallar A − 1 .
Solución: A − 1 =
1 1 0
0 1 1
0 0 1
(c) Calcular A n , utilizando el método de inducción.
Solución: A
n
1 −n 1 2 n(n + 1)
0 1 −n
0 0 1
Ejercicio 4.
(b) Resolver
1 x 1
1 1 x 2
Solución: x = ± 1
Ejercicio 8.
Calcular, según los valores de los parámetros, el rango de las siguientes matrices:
(a) A =
2 1 a b
1 0 3 b
Solución: rg(A) =
{ 4 si a 6 = 7 y b 6 = 0
3 en otro caso
(b) B =
1 −a 1
1 − 1 − 1
2 − 1 b
0 1 1
Solución: rg(B) =
{ 2 si a = b = − 1
3 en otro caso
Ejercicio 9.
(a) Discutir el sistema
ax + y = 2
ay + z = − 2
y + az = 2
según los valores de a.
Solución:
{ S.C.D. si a 6 = 0, ± 1
S.C.I. en otro caso
(b) Calcular la inversa de la matriz de coe cientes para a = 3.
Solución: A − 1 =
1
24
8 − 3 1
0 9 − 3
0 − 3 9
(c) Resolver el sistema para a = 3 utilizando el resultado del apartado anterior.
Solución: x = 1, y = − 1 , z = 1
(Examen febrero, curso 20042005)
Ejercicio 10.
Dadas las matrices A =
1 a − 1
1 − 1 0
(^) y B =
b
, se pide:
(a) Discutir el sistema A · X = B para los distintos valores de a y b.
Solución:
S.C.D. si a 6 = 0
S.C.I. si a = 0 y b = 1
S.I. si a = 0 y b 6 = 1
(b) Resolver el sistema A · X = B para a = 0 y b = 1.
Solución: x = α, y = α − 1 , z = α − 3 para todo α ∈ R
(c) Sabiendo que para a = 1 se cumple que A
3 − 3 A
2
− 1 .
Solución: A
− 1
− 1 1 2
− 1 1 1
− 2 1 3
(Examen 1
er parcial, curso 20042005)
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Propiedades de la suma de matrices
Dadas tres matrices A, B y C del mismo orden y la matriz nula Θ de ese orden, se veri can las siguientes
propiedades:
Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
Conmutativa: A + B = B + A
Elemento neutro: A + Θ = A
Elemento simétrico (opuesto): A + (−A) = Θ
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Propiedades del producto de una matriz por un escalar
Dadas dos matrices A y B del mismo orden y dos números reales α y β, se veri can las siguientes
propiedades:
(α + β) · A = α · A + β · A
α · (A + B) = α · A + α · B
(αβ) · A = α(β · A)
1 · A = A
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Propiedades de las potencias de matrices
Sea A una matriz cuadrada, regular cuando sea necesario, y sean m y n dos números enteros positivos.
Entonces, se veri can las siguientes propiedades:
A
m · A
n = A
m+n
(A
m )
n = A
m·n
A
−n = (A n ) − 1
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Propiedades de los determinantes
El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
Si una la (o columna) de una matriz está formada por ceros, su determinante es nulo.
Si los elementos de una la (o columna) de una matriz están formados por dos sumandos, se puede
descomponer su determinante en la suma de dos determinantes, cada uno de los cuales contiene
uno de los dos sumandos y coinciden en el resto de las (o columnas).
Si multiplicamos todos los elementos de una la (o columna) de una matriz por un número real, su
determinante queda multiplicado por dicho número.
Si una matriz tiene dos las (o dos columnas) iguales, su determinante es nulo.
Si en una matriz se intercambian entre sí dos las (o dos columnas), su determinante cambia de
signo.
Si los elementos de una la (o de una columna) de una matriz son combinación lineal de los elementos
de las demás las (o columnas), su determinante es nulo.
Si a los elementos de una la (o columna) les sumamos una combinación lineal de los elementos de
las demás las (o columnas) a ella, su determinante no varía.
Teorema de Binet-Cauchy: El determinante del producto de matrices es igual al producto de sus
respectivos determinantes.
La condición necesaria y su ciente para que una matriz sea regular es que su determinante sea
distinto de cero.
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